Производные более высокого порядка

Определение. Производной второго порядка функции в точке называют число = , если этот предел существует.

Из определения следует, что вторая производная функции является производной от первой производной, то есть = . Аналогично, третья производная является производной от второй производной и т. д.

 

Пример. Вычислим вторую производную функции = . Пер-

вая производная = = = . Вторая производная = + = + = = .

 

Дифференцирование функции, заданной неявно.

 

Принято говорить, что равенство

= 0 (8)

задаёт как функцию , то есть . Для того, чтобы вычислить производную = необходимо продифференцировать равенство (8) по переменной , считая функцией .

Пример. Вычислим , если задана следующим уравнением

. (9)

Дифференцируя равенство (9) по и, используя правило дифференцирования сложной функции, получим, .

Выразив из последнего равенства через и , получим = . Чтобы вычислить вторую производную, дифференцируем последнее равенство по , и получаем

 

= .

 

Можно выразить только через и , заменив её выражением через и .

Дифференцирование функции, заданной параметрически.

 

Говорят что равенства

= , = , где , (10)

задают как функцию параметрически. Если параметр есть время, тогда говорят, что равенства (10) задают закон движения материальной точки на плоскости (так как эти равенства позволяют в каждый момент времени определять координаты точки).

Для вычисления первой и второй производных = , = используем тот факт, что дифференциал функции равен .

Следовательно, производная равна частному дифференциалов = = . Аналогично, получим формулу для вычисления второй производной функции по переменной , а именно: = = = = = = = .

Окончательные выражения для , примут вид: = = , = = = .

 

Пример. Пусть функция определена равенствами = . Тогда из выведенных формул получим = = = = = , а производная = = = = = .

Дифференциал и его свойства

 

Из определения производной функции в точке следует, что = или = 0. Обозначим , где при . Из последнего равенства находим, что = = + . Обозначив , из последнего равенства окончательно получим = , где при . При фиксированном выражение является линейной функцией одной переменной и называется дифференциалом функции , соответствующим приращению аргумента . Дифференциал обозначают или кратко .

Следовательно, по определению, = . Так как , то дифференциал принято записывать в инвариантной форме = .

 

Пример. Вычислим дифференциал функции при =1, = 0,1. По определению дифференциала = = = . В точке =1 получаем , а для = 0,1 будет = (3,5)(0,1) = 0,35.

 

Перечислим основные свойства дифференциала.

1. , где C – произвольная постоянная.

 

2. .

 

3.

 

4. .

 

5. Инвариантность формы дифференциала. Если является независимой переменной, тогда = . Если же зависимая переменная, то есть , тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, (так как = ). Следовательно, форма дифференциала не зависит от того, является ли независимой или зависимой переменной.

 

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 2

 

ЗАДАНИЕ 1. Построить график функции

 

0. ; 1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. .

 

ЗАДАНИЕ 2. Вычислить данные пределы по правилу Лопиталя

 

0. а) , б) ;

1. а) , б) ;

2. а) , б) ;

3 а) , б) ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ;

6. а) , б) ;

7. а) , б) ;

8. а) , б) ;

9. а) , б) .

 

ЗАДАНИЕ 3. Вычислите частные производные второго порядка функций.

0. ; 1. ; 2. ;

3. ; 4. ; 5. ;

6). ; 7. ;

8. ; 9. .

 

ЗАДАНИЕ 4. Дано: функция , точка и вектор .

Требуется: 1) вычислить градиент и производную функции по направлению вектора функции в точке ; 2) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , ; 3) найти точки локального экстремума функции .

 

0. , (–1,2), ;

1. , (2,1), ;

2. , (1,1), ;

3. (0,1), ;

4. + , (1,–1), ;

5. , (2,–3), + ;

6. , М (1,1), ;

7. + , (–1,3), ;

8. , (–2,1), ;

9. , (–1,–2), .

 

ЗАДАНИЕ 5.

0. Найдите размеры прямоугольного участка наибольшей площади, который можно огородить забором длины L.

1. Найдите размеры аквариума (без верхней крышки), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда объёма V, на изготовление которого требуется наименьшее количество стекла.

2. Для изготовления цилиндрического бака (без верхней крышки) объёма V использовали материалы стоимостью C (на изготовление дна) и C (на изготовление боковой стенки) рублей за квадратный метр. Какими должны быть радиус основания и высота бака, чтобы стоимость расходованного материала была наименьшей.

3. Найдите размеры ящика (с крышкой), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, наибольшего объёма, который можно изготовить из S м железа.

4. Найдите размеры открытой цилиндрической ванны с полукруглым поперечным сечением и площадью поверхности S м , имеющей наибольшую вместимость.

 

5. На сфере найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от двух данных точек A(2,–1,1), B(–1,3,4) была бы наименьшей.

6. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объёма, который можно вписать в полушар радиуса R.

 

7. Найдите размеры прямоугольника (стороны которого параллельны полуосям) наибольшей площади, который можно вписать в эллипс .

 

8. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объёма, который можно вписать в прямой круговой конус высоты h и с радиусом основания r.

9. Найдите размеры прямоугольника с периметром P, который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объёма.

ЗАДАНИЕ 6. Вычислите данные неопределённые интегралы.

 

0. а) , б) , в) , г) ;

1. а) , б) , в) , г) ;

2. а) , б) , в) , г) ;

3. а) , б) , в) , г) ;

4. а) , б) , в) , г) ;

5. а) , б) , в) , г) ;

6. а) , б) , в) , г) ;

7. а) , б) , в) , г) ;

8. а) , б) , в) , г) ;

9. а) , б) , в) , г) .

 

ЗАДАНИЕ 7. Вычислите определённые интегралы.

 

0. а) б) ;

1. а) , б) ;

2. а) , б) ;

3. а) , б) ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ;

6. а) , б) ;

7. а) , б) ;

8. а) , б) ;

9. а) , б) .

 

ЗАДАНИЕ 8. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

0. а) , б) ;

1. а) , б) ;

2. а) , б) ;

3. а) , б) ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ;

6. а) , б) ;

7. а) , б) ;

8. а) , б) ;

9) а) , б) .

 

ЗАДАНИЕ 9.

0. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

1. Найдите площадь эллипса .

 

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды и прямой = 0.

 

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линией , .

 

5. Перейдя к полярным координатам, найдите площадь фигуры, ограниченной линией .

 

6. Найдите длину дуги кривой . 7). Найдите длину одного витка винтовой линии .

 

8. Найдите объём тела, полученного вращением фигуры вокруг оси OX.

 

9. Найдите объём эллипсоида .