Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f" (x) = (f' (x)) '.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n -й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾ (x) = (f^(n-1) (x)) ', n ϵ N, f⁽⁰⁾ (x) = f (x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf (x) = d (d^{n -1} f (x)), d ⁰ f (x) = f (x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d ² x = d ³ x =... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf (x) = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx) ⁿ.

Правило Лопиталя. Асимптоты, функции. Формула Лагранжа.

Правило говорит, что если функции и обладают следующим набором условий:

1. или ;

2. ;

3. в некоторой окрестности точки ,

тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .
Эта формула называется формулой Лагранжа.

З акон больших числ. Вывариваное, нормальное, показательное распределения.

Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.Всегда найдётся такое конечное число испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью меньше 1 относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.

Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

Равномерное распределение Непрерывная случайная величина x, принимающая значения на отрезке [ a, b ], распределена равномерно на [ a, b ], если ее плотность распределения px (x) и функция распределения Fx (x) имеют соответственно вид: , . Экспоненциальное (показательное) распределение Непрерывная случайная величина x имеет показательное распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределения px (x)и функция распределения Fx (x) имеют соответственно вид: , . Нормальное распределение Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Случайная величина x нормально распределена с параметрами a и s, s >0, если ее плотность распределения px (x) и функция распределения Fx (x) имеют соответственно вид: , , Mx = a, Dx = s ^2. Часто используемая запись x ~ N (a, s) означает, что случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a и s. Говорят, что случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и s = 1 (x ~ N (0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид: , , Mx = 0, Dx = 1. Здесь - функция Лапласа. Функция распределения нормальной величины x ~ N (a, s) выражается через функцию Лапласа следующим образом: . Если x ~ N (a, s), то случайную величину h = (x-a)/s называют стандартизованной или нормированной случайной величиной; h ~ N (0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение