Раздел VI. Исследование функций с помощью производных

Как уже говорилось выше, основное применение производной состоит в том, что она помогает исследованию самой функции , т.е. исследованию характера зависимости переменной от переменной , выраженного соотношением . Что же именно чаще всего интересует при исследовании характера зависимости одного фактора от другого? Приведем пример. Пусть имеется функциональная зависимость объема урожая (в тоннах, килограммах, граммах – у кого как) от количества внесенных удобрений (в тех же единицах), выраженная формулой . Допустим, мы внесли какое-то количество удобрений и ждем соответствующий урожай в количестве . Пусть появилась возможность дополнительно внести удобрения в количестве единиц. Стоит ли это делать? Будет ли урожай больше или мы уже внесли столь много удобрений, что дальнейшее увеличение его количества только нанесет вред урожаю? Вопрос сводится к следующему: будет ли при увеличении аргумента (с до + ) увеличиваться и значение функции или же оно будет уменьшаться? Это зависит от самого значения , Точнее, принадлежит ли оно так называемому интервалу возрастания функции или интервалу ее убывания. Нахождению таких интервалов и поможет производная (дальше, в разделе «Монотонные функции»). Ну и конечно же нас должен интересовать вопрос о том, какое количество удобрений является оптимальным (т.е. при таком количестве удобрений урожай максимален). Это сводится к нахождению такой точки (числа) , чтобы значение функции в этой точке (т.е. число ) было бы больше, чем в остальных точках. Нахождению таких чисел тоже поможет производная (в разделе «Экстремумы функции»).

 

Монотонные функции

 

Пусть нам задана некоторая функция . Обратимся к ее геометрическому образу, каковым является график этой функции. Пусть эта функция имеет график, изображенный на рисунке.

 

 

 

 

Из графика видно, что над интервалом оси график идет вниз, а над интервалом вверх. Попробуем разобраться, как это сказывается на характере зависимости от . Возьмем произвольные две точки и из интервала (так что > ) и с помощью графика определим значения и функции в этих точках (см. рисунок). Поскольку кривая графика идет вниз, то число на оси будет ниже числа , а потому
< . Итак, видно, что если график над некоторым интервалом оси идет вниз, то большему значению из этого интервала соответствует меньшее значение функции (т.е. для любых чисел и из этого интервала: > => ). Естественно назвать такой интервал интервалом убывания функции . Аналогично возьмем произвольные две точки и из интервала (так что > ) и с помощью графика определим значения функции в этих точках (см. тот же рисунок). Поскольку кривая графика идет вверх, то значение на оси будет выше значения , а потому
> . Итак, видно, что если график над некоторым интервалом оси идет вверх, то большему значению из этого интервала соответствует большее значение функции (т.е. для любых чисел и из этого интервала: . Естественно назвать такой интервал интервалом возрастания функции . Для сокращения записи вводятся следующие обозначения: – функция ) убывает на интервале , – функция возрастает на интервале . Функция называется монотонной на некотором интервале , если она является возрастающей на всем этом интервале или убывающей на всем этом интервале. Понятно, что одна и та же функция на одних интервалах может возрастать, а на других убывать. Для приведенной выше функции интервалами монотонности будут интервалы и . А, например, интервал таковым не будет, так как на одной его части функция убывает, а на другой возрастает. Как же находить интервалы монотонности? Конечно, если имеется график функции, то эти интервалы просто видны. Но чаще всего графика нет, а есть только формула ,выражающая зависимость от . В этом случае опять помогает производная. Обратимся к рисункам.

 

 

На левом рисунке изображен график возрастающей на соответствующем интервале функции, а на правом − убывающей. Попробуем почувствовать разницу. Берем произвольную точку на интервале возрастания функции (левый рисунок) и проводим касательную к графику функции в соответствующей точке. Тогда в случае возрастания функции из рисунка видно, что касательная образует острый угол с осью . По геометрическому смыслу производной . Поскольку тангенсы острых углов положительны, то . Аналогично, берем произвольную точку на интервале убывания функции (правый рисунок) и проводим касательную к графику функции в соответствующей точке. Тогда в случае убывания функции из рисунка видно, что касательная образует тупой угол с осью (напомним, что угол меряется от оси против часовой стрелки). По геометрическому смыслу производной снова . Поскольку тангенсы тупых углов отрицательны, то . Итак, мы наглядно убедились в том, что если функция возрастает на некотором интервале, то во всех точках этого интервала производная (если она существует) положительна (возможно, обращаясь в некоторых точках в 0), а во всех точках интервала убывания производная отрицательна. Справедлива соответствующая

Теорема. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда (соответственно, ) тогда и только тогда, когда (соответственно, ) для всех значений из этого интервала.

Отсюда следует, что для нахождения интервалов монотонности функции не обязательно иметь перед глазами ее график. Достаточно найти ее производную и определить ее знаки. На тех интервалах, где производная положительна (точнее, неотрицательна), функция возрастает, а на интервалах отрицательности производной сама функция убывает.

Пример 1. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. Эта функция выбрана в качестве примера потому, что хорошо известен ее график (парабола, см. рисунок). Поэтому, даже не пользуясь приведенной теоремой, можно заранее сказать, что и . Попробуем получить этот же результат с помощью приведенной теоремы, не обращаясь к графику. В нашем примере , а потому . Понятно, что выражение для производной положительно для всех положительных х и отрицательно для всех отрицательных. Поэтому производная для отрицательных и для положительных . И делаем на основании теоремы тот же вывод об интервалах монотонности: и .

Экстремумы функции

 

Пусть нам задана некоторая функция . Снова обратимся к ее геометрическому образу, каковым является ее график (см. рисунок).

 

Мы уже выяснили, что означает движение графика вниз и вверх над разными интервалами на оси (интервалы монотонности). Теперь обратим внимание на самые высокие и самые низкие точки графика (точки А, B и С). Спроектируем эти точки на ось , получим точки (числа) , , и . Чем числа-точки интересны? Найдем (по графику), например, значение функции в точке . Мы снова дойдем до самой высокой точки С и спроектируем ее на ось . Получим значение на оси . Если найдем теперь (тоже по графику) значения функции в близких к точках справа или слева, то их значения получатся уже меньше, чем . Поэтому точка характерна тем, что значение функции в ней больше, чем значения функции в ближайших к ней точках. Естественно такую точку назвать точкой максимума функции . Точкой максимума является и точка . А вот точка характерна тем, что значение функции в ней меньше значений функции в ближайших к ней точках (именно ближайших, поскольку есть точки – подальше справа от , в которых значения функции еще меньше). Такую точку естественно назвать точкой минимума функции . Итак, примем следующее определение. Точка (число) называется точкой максимума (соответственно, минимума) функции , если значение функции в этой точке больше (соответственно, меньше) значений функции в ближайших к точках (т.е. точках из некоторой окрестности точки ). Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции. У функции, график которой изображен выше, три точки экстремума: , , и . Как же находить точки экстремума функции? Если имеется график функции, то снова проблем не возникает – достаточно спроектировать на ось самые высокие и низкие точки графика. Если же графика нет (как это обычно и бывает), а есть только формула ,выражающая зависимость от , то здесь опять помогает производная.

Снова обратимся к графику той же функции (см. рисунок). Мы уже знаем, что для выяснения роли производной надо строить касательные к графику и использовать геометрический смысл производной. Построим касательные к графику в интересующих нас точках А, B и С. Они отличаются от касательных в других точках графика тем, что оказываются параллельными оси . Параллельные прямые образуют друг с другом нулевой угол. Поэтому, по геометрическому смыслу производной, ее (производной) значения в этих точках равны тангенсу нуля (который равен 0): , , . Итак, мы получили, что в точках экстремума производная обращается в 0 (если она, конечно, в этих точках вообще существует). Этот факт выражает следующая

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Пусть функция задана на интервале , содержащем точку , в которой существует производная . Тогда если является точкой экстремума, то .

Утверждение теоремы можно переформулировать так: если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо
1) производная в этой точке существует и равна нулю: ,

либо
2) производная в этой точке не существует.

Точка , удовлетворяющая хотя бы одному из этих условий, называется критической точкой функции . Точка , удовлетворяющая первому условию (т.е.: ),называется стационарной точкой функции . В критической точке касательная либо параллельна оси (если это стационарная точка), либо ее (касательной) вовсе не существует. Таким образом, из теоремы Ферма следует, что экстремумы функции, заданной на интервале , могут находиться только среди ее критических точек на этом интервале. Скажем несколько слов о ситуации, когда производная функции в некоторой точке не существует. Если функция все же непрерывна в этой точке, то отсутствие производной означает, что график функции в соответствующей точке испытывает «излом», т.е. нет плавного перехода графика через эту точку. Рассмотрим в качестве иллюстрации следующий

Пример 1. Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Найдем выражение для производной этой функции: . Стационарных точек у функции нет (числитель дроби не обращается в 0 ни при каких значениях ), однако, в точке производная не существует (делить на 0 нельзя). Поэтому – единственная критическая точка функции (в ней производная не существует). Каково же поведение графика функции в окрестности такой точки? График функции приведен на рисунке слева. В начале координат виден излом графика. Касательной к графику в начале координат не существует. Единственная критическая точка есть точка минимума функции (что видно из приведенного графика).

Не следует думать, что любая критическая точка функции даёт либо максимум, либо минимум. В некоторых критических точках экстремума может не оказаться вовсе. Параллельность к оси касательной к графику в некоторой его точке с координатой (что эквивалентно выполнению условия ) не обязательно делает эту точку точкой максимума или минимума. Пример подобной ситуации представлен на рисунке. Для соответствующей функции точка является критической (точнее, стационарной), так как касательная к графику в соответствующей точке параллельна оси Ох (а потому ). Однако, как видно из графика, точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. В качестве примера конкретной функции с таким свойством можно привести функцию , график которой изображен на рисунке слева. Ее производная обращается в 0, очевидно, при . Поэтому – стационарная точка функции (касательная к кубической параболе в начале координат просто совпадает с осью − см. рисунок), но экстремума в этой точке, очевидно, нет.

Из сказанного выше повторим 2 основных вывода.

1. Все экстремумы находятся среди критических точек.

2. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Отсюда следует, что для нахождения экстремума функции необходимо решить 2 задачи:

а) все найти критические точки функции,
б) исследовать каждую из них на наличие в них экстремума (максимума или минимума).

Первая задача решается вычислением выражения для производной функции, с помощью которого находятся критические точки функции. Для решения второй задачи необходимо понять, что отличает критическую точку, в которой экстремум есть, от критической точки, в которой экстремума нет. Обратимся к функции, график которой изображен на рисунке ниже.

У этой функции 4 критических точки: , , и . В первых трех экстремумы есть (соответственно максимум, минимум, снова максимум), а в последней нет. Можно заметить, что при переходе через точку (точку максимума) функция от возрастания перешла к убыванию (то же самое можно сказать и о другой точке максимума ), а при переходе через точку (точку минимума) функция от убывания переходит к возрастанию. При переходе же через критическую точку (в которой экстремума нет) характер монотонности функции не меняется (как убывала, так и продолжает убывать). Это и отличает критические точки с экстремумами от критических точек без таковых. На основании этих рассуждений можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема (достаточное условие экстремума; проверка критической точки на экстремум). Пусть – критическая точка функции . Тогда если при переходе через точку функция: а) от возрастания переходит к убыванию, то – точка максимума; б) от убывания переходит к возрастанию, то – точка минимума; в) не меняет характера монотонности (продолжает убывать или продолжает возрастать), то в экстремума нет.

Пример 2. Опять обратимся к простой функции . Эта функция в качестве примера снова выбрана потому, что хорошо известен ее график (парабола, см. рисунок). Поэтому, не пользуясь приведенной теоремой, можно сказать, что – точка минимума, других точек экстремума нет. Попробуем получить этот же результат с помощью приведенной теоремы, не обращаясь к графику. Сначала ищем критические точки. Имеем , а потому . Понятно, что выражение вычислимо при любых , а потому производная существует везде. Найдем стационарные точки (в которых производная обращается в 0): . Поэтому точка – единственная критическая точка. Проверим ее на наличие экстремума. При переходе через эту точку убывание функции меняется на возрастание (участки монотонности этой функции мы, не обращаясь к графику, нашли ранее тоже с помощью производной: и ). По приведенной выше теореме точка действительно точка минимума функции.

Пример 3: Исследовать на монотонность и экстремумы функцию .

Решение такого типа примеров удобнее находить по следующей схеме.

1. Находим производную . Выражение для производной опять получилось таким, что можно вычислить его значение при любом . Поэтому производная опять существует для всех чисел, а потому все критические точки функции могут быть только ее стационарными точками (т.е. точками, в которых эта производная обращается в ноль). Для удобства нахождения таких точек можно попробовать разложить выражение для производной на множители до тех пор, пока это возможно: , .

2. Находим критические точки: . Таким образом, для нахождения критических точек надо решить уравнение . Поскольку левая часть уравнения представляет собой произведение трех множителей (это 6, и ), то она может обратиться в 0 только при тех числах , которые обратят в 0 хотя бы один их сомножителей. Число 6 ни при каких значениях в 0 не обратится (оно на вообще внимания не обращает). А вот множители и обращаются в 0 (соответственно при и ), зануляя тем самым при этих всю левую часть уравнения. Таким образом, у уравнения всего два корня: и , которые и являются критическими точками исследуемой функции.
3. Наносим критические точки на числовую прямую и определяем знаки производной на получившихся интервалах. В нашем примере получились интервалы , , . Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы, внутри каждого из которых производная имеет один и тот же знак (вспомните метод интервалов решения неравенств). Поэтому для определения знака производной на каждом получившемся интервале достаточно вычислить значение производной в любой «пробной» точке из этого интервала и получившийся знак «+» или «−» поставить над всем интервалом. Для интервала в качестве пробной точки можно взять, например, и подставить его в выражение для производной :
. Поэтому на всем интервале производная положительна (ставим «+» над соответствующим интервалом). Аналогично, для интервала берем пробную точку : . Поэтому над всем интервалом ставим знак «−». Для интервала считаем , ставим «+» над интервалом.

4. Строим итоговую таблицу, по которой потом будем писать ответ к этому примеру. В первой ее строчке заносим интервалы с граничными критическими точками. Во второй строке расставляем получившиеся знаки производной на интервалах. В третьей получаем выводы об интервалах монотонности и точках экстремума.

	+		−		+

 

Последняя строчка таблицы заполнялась следующим образом. По второму столбцу: на интервале знак производной «+», поэтому функция возрастает (поставлена стрелка ). По четвертому столбцу: на интервале знак производной «−», поэтому функция убывает (поставлена стрелка ). По шестому столбцу: на интервале знак производной «+», поэтому функция возрастает (поставлена стрелка ). Рассмотрим критическую точку . Из таблицы видно, что при переходе через эту точку функция от возрастания переходит к убыванию. Поэтому − точка максимума исходной функции . Чтобы найти само максимальное значение, надо вычислить значение этой функции в точке максимума : . Рассмотрим критическую точку . Из таблицы видно, что при переходе через эту точку функция от убывания переходит к возрастанию. Поэтому − точка минимума исходной функции . Чтобы найти само минимальное значение, надо вычислить значение этой функции в точке минимума : .

Ответ: , , ; точка максимума, ; точка минимума, .

Пример 4: Исследовать на монотонность и экстремумы функцию .

Решение проведем по той схеме, описанной при решении предыдущего примера.

1. Находим производную . Выражение для производной опять можно вычислить при любом , а потому все критические точки функции могут быть только ее стационарными точками (т.е. точками, в которых эта производная обращается в ноль). Для их поиска раскладываем полученное выражение на множители до тех пор, пока это возможно: , .

2. Находим критические точки: . Поскольку левая часть уравнения представляет собой произведение пяти сомножителей (это: , , и ), то она может обратиться в 0 только при тех числах , которые обратят в 0 хотя бы один их сомножителей. Поэтому у уравнения всего три корня: , , , которые и являются критическими точками исследуемой функции.
3. Наносим критические точки на числовую прямую и определяем знаки

производной на получившихся интервалах. В нашем примере получились такие четыре интервала: , , , . Для определения знака производной на каждом получившемся интервале снова используем вычисление производной в пробных точках. Для интервала в качестве пробной точки можно взять, например, :
. Поэтому на всем интервале производная отрицательна. Для интервала берем пробную точку : . Поэтому над всем интервалом ставим знак «+». Для интервала берем пробную точку : . Поэтому над всем интервалом ставим знак «−». Для интервала считаем , ставим «+» над интервалом.

4. Строим итоговую таблицу (аналогичную построенной для предыдущего примера). В первой ее строчке заносим интервалы с граничными критическими точками. Во второй строке расставляем получившиеся знаки производной на интервалах. В третьей получаем выводы об интервалах монотонности и точках экстремума.