Раскрытие неопределенностей в пределах

Рассмотрим теперь способы избавления от истинных неопределенностей типа . Первый способ следующий. Если при вычислении возникают указанные выше неопределенности, то можно попробовать тождественно преобразовать выражение, задающее функцию , таким образом, чтобы неопределенности (при подстановке в преобразованное выражение) уже не возникало. Вся сложность этого способа в том, как научиться находить такое тождественное преобразование. Однако для определенных классов функций и типов получающихся неопределенностей такие преобразования известны. Рассмотрим некоторые из них.

1. Предел отношения многочленов: .
В этом случае можно попытаться разложить многочлены числителя и знаменателя на множители, затем сократить общие множители. Вспомним некоторые способы разложения многочленов на множители:
а) формулы сокращенного умножения: , , ;
б) вынесение за скобки общего множителя;
в) разложение квадратного трехчлена: , где и − корни квадратного уравнения .

Пример 1. = = = ;

Пример 2. = = ;

Пример 3. ={находим корни квадратного уравнения : , , а потому } = = .

2. Предел отношения многочленов на бесконечности: .

В этом случае неопределенность исчезает, если разделить числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя (т.е. на , так как в знаменателе многочлен степени n).

Пример 4. {если формально подставить в выражение после знака предела, то в дробях , , , и получится ; в соответствии с рассмотренным выше «первым правилом псевдонеопределенности» это означает стремление этих дробей к 0, что в дальнейшем обозначим для наглядности значком } = .

Пример 5. = = = . Пример 6. = = = .

3. Пределы с корнями: .

В числителе и/или в знаменателе стоит сумма или разность выражений, содержащих корни (квадратные, кубичные …). В случае квадратных корней можно домножить числитель и знаменатель на так называемое сопряженное выражение к числителю и/или знаменателю (сумму или разность корней домножить на их разность или сумму соответственно), после этого воспользоваться формулой разности квадратов: . Если же участвуют корни третьей степени, то домножать числитель и знаменатель необходимо на неполный квадрат суммы-разности корней для образования формулы суммы-разности кубов: . После применения этих формул корни исчезают, либо входят уже в такие выражения, которые не ведут к неопределенности при вычислении предела.

Пример 7. = {квадратный корень содержится в числителе в разности , поэтому домножим числитель и знаменатель на соответствующую сумму и применим формулу } = = = = = = {после сокращения на } = ={подставляя } = .

Пример 8. = {квадратный корень содержится в знаменателе в разности , поэтому домножим числитель и знаменатель на соответствующую сумму и применим формулу }= = = = = = = = {подставляя } .

Пример 9. = {кубичный корень содержится в числителе в сумме , поэтому домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и применим формулу } = = = = .

Мы прошли лишь некоторые приемы избавления от неопределенностей в пределах. Подобных приемов гораздо больше, но все они «работают» лишь для конкретных классов функций и видах неопределенности. В дальнейшем (после прохождения производных) будет дан практически универсальный прием избавления от неопределенностей в пределах (так называемое «правило Лопиталя»).

 

Замечательные пределы

В истории математики некоторые пределы играли достаточно важную роль, однако, их вычисление не могло быть проведено привычными приемами (например, перечисленными выше), а потому для их вычисления использовались достаточно громоздкие построения и рассуждения. Эти пределы впоследствии были названы замечательными. Мы не будем проводить соответствующие доказательства, поскольку в дальнейшем появится упомянутый выше универсальный способ вычисления пределов (с помощью производных), которым вычисляются замечательные и многие другие пределы.

1. − первый замечательный предел.

2. − второй замечательный предел. Этот предел является определением «замечательного» числа е. Это число играет в математике не меньшую роль, чем известное число .

Число е (точнее, второй замечательный предел, который это число определяет), возникает естественным образом и в ряде практических задач. Например, в задаче о банковский процентах. Прежде, чем ее изложить, напомним понятие процента. Один процент от некоторого числа а есть сотая часть этого числа: {1 % от числа а } = . Тогда р % от числа а, естественно, в р раз больше: { р% от числа а } = . Посмотрим, к какому числу мы придем, если увеличим число на р%: . Поэтому получаем правило:

(*) увеличение числа на р% означает умножение его на выражение .

А теперь обещанная

Задача о банковских процентах. Банк дает 100 % годовых (для простоты), а на другой срок − пропорционально длительности срока ( года – 50 %; 1 месяц – %; 1 день – % и так далее). Задача заключается в том, чтобы выработать такую стратегию взаимоотношений с банком в течение года, чтобы, имея начальную сумму в а рублей, получить в конце года максимальную прибыль. Сравним различные стратегии вкладов с начальной суммой рублей и будем следить за суммой вклада в конце года.

1. Первая стратегий − самая ленивая: кладем деньги в банк и ждем год. Тогда в конце года сумма, очевидно, удвоится: ; .

2. Вторая стратегия: кладем в банк наши а рублей на полгода, после чего изымаем ее вместе с набежавшими процентами, а затем тут же все эти деньги кладем обратно в банк на оставшиеся полгода. Через первые полгода снятая сумма, согласно правилу (*) (где р=50 %), будет равна . В конце года полученная сумма опять увеличится на 50 %, а потому, согласно правилу (*), мы получим: ; .

3. Берем с процентами и снова кладем каждый месяц. В конце первого месяца получим сумму (которую сразу же положим на следующий месяц), равную . Тогда в конце года получим ; .

4. Берем-кладем каждый день. В конце года получим сумму, равную ; .

Таким образом, чем чаще мы бегаем в банк и «капитализируем» накопившуюся сумму, тем больший доход в конце года мы получаем. Коэффициент увеличения вклада к концу года принимал следующие все возрастающие значения: 2, , , . А если бегать в банк каждый час? Каждую минуту? Возникает вопрос, возможно ли безграничное увеличение коэффициента умножения вклада при все учащающихся актах капитализации вклада? Сначала мы условно делили год на 2 части и, соответственно, капитализировали вклад каждые полгода (коэффициент умножения получался ); потом мы делили год на 12 частей и, соответственно, капитализировали вклад каждый месяц (коэффициент умножения получался ); затем мы делили год на 365 частей и, соответственно, капитализировали вклад каждый день (коэффициент умножения получался ). Теперь видна общая формула: если бы мы поделили год на частей и соответствующим образом установили частоту капитализации вкладов, то коэффициент умножения вклада к концу года оказался бы равным . Будет ли этот коэффициент безгранично расти при безграничном увеличении ? Другими словами, верно ли, что ? Однако слева получился второй замечательный предел, а потому . Поэтому надеяться на безграничное увеличение вклада не приходится. Теперь понятно, что в идеале (при переходе процесса капитализации в непрерывный) максимальный коэффициент увеличения вклада равен . В этом (ясно, что нереализуемом) случае в конце года мы получим рублей. Легко посчитать (попробуйте сделать это сами), что в этом случае годовое увеличение вклада составит 171.8 % (вместо обещанных банком 100 %).

Точно так же можно получить общую формулу: если банк дает Р % годовых, то при непрерывном процессе «капитализации» вклада за t лет сумма вклада будет равна . Эта формула носит название формулы непрерывных процентов.