Общая схема исследования функции и построения графика

 

 

Мы изучили все необходимые способы исследования функций. Соберем изученное вместе и получится следующая

Схема исследования функции и построения ее графика

(после выполнения каждого пункта заносим полученную информацию в эскиз будущего графика).

1) Находим область определения функции . Если в нее не вошли отдельные числа, то выкалываем их (обводим кружком) на оси на эскизе графика.

2) Проверяем функцию на четность или нечетность. Это сводится к проверке симметричности найденной области определения относительно нуля, затем проверке равенства для четной функции и для нечетной. Если функция оказалась четной (нечетной), то ее график должен получиться симметричным относительно оси у (относительно начала координат).

3) Проверяем функцию на периодичность. В этом есть смысл в том случае, если формула, задающая функцию, содержит тригонометрический функции. Иначе периодичности нет, разве только в специально придуманных примерах. График периодической функции повторяет себя при сдвиге на величину периода Т вправо и влево вдоль оси .

4) Находим (если это не слишком сложно) точки пересечения графика с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью у необходимо вычислить значение функции в нуле (если, конечно, 0 входит в область определения функции – иначе точки пересечения с осью у нет) и отметить полученное число на оси у. Для нахождения точек пересечения с осью необходимо решить уравнение и отметить получившиеся корни на оси (если корней нет, то нет и пересечений графика с осью ).

5) Найти асимптоты (наклонные и вертикальные) графика исследуемой функции. Нарисовать соответствующие прямые на эскизе будущего графика.

6) Найти участки монотонности и экстремумы функции. Отметить на эскизе точки графика, соответствующие максимумам и минимумам.

7) Исследовать направления выпуклости графика функции и найти точки его перегиба. Отметить точки перегиба на эскизе графика.

8) Строить эскиз графика по полученной информации.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Идем по изложенной выше схеме. В нашем примере .

1) Область определения.

Формула, задающая функцию, предполагает при вычислении ее значений следующие операции: возведение в квадрат, сложение, вычитание и деление. Только одна из них (деление) имеет ограничение (на 0 делить нельзя). Поэтому в область определения не входят те числа , при которых знаменатель обращается в 0, т.е. . Итак, .

2) Четность-нечетность.

Найденная область определения не симметрична относительно нуля
(например, число , а симметричное число ). Поэтому нет ни четности, ни нечетности. Функция общего положения.

3) Функция не периодическая (не содержит тригонометрических функций, а пример не придуман специально, чтобы запутать нас в этом пункте).

4) Точки пересечения с осями.

а) С осью у: ; отмечаем на оси у точку (–1) как точку пересечения графика с этой осью.

б) С осью : уравнение корней не имеет (дробь может быть равна нулю при тех , при которых ее числитель равен 0, а выражение строго положительно для всех ). Поэтому график с осью не пересекается.

5) Асимптоты.

Найдем наклонную асимптоту с уравнением при . Ищем значения параметров и по приводимым выше формулам:

,

.

Подставляем найденные значения параметров и в уравнение асимптоты , получаем, что есть уравнение наклонной асимптоты графика при . Поскольку наша функция представляет собой отношение двух многочленов, то эта же прямая будет и асимптотой графика и при .
Найдем вертикальные асимптоты. Их уравнение имеет вид , причем число может лежать только на границе области определения функции. Поскольку область определения функции есть , то граничной точкой такой области является только число 1. Поэтому проверяем только . Это значит, что проверяется на вертикальную асимптоту прямая с уравнением . Считаем односторонние (правый и левый) пределы при : . Дробь означает, что при подстановке вместо числа 1 в числителе получается число 2, а в знаменателе 0, к которому пришли со стороны положительных чисел (так как в правом пределе остается больше 1). При изучении псевдонеопределенностей мы получали, что . Осталось выяснить знак этой бесконечности. При , близких к 1, выяснилось, что числитель приближается к числу 2 (т.е. становится положительным), и знаменатель положителен. Поэтому вся дробь под знаком предела положительна. Поэтому получилась именно +∞. Аналогично, получаем для левого предела . Итак, получили , . Так как оба односторонних предела равны бесконечности, то (по определению) прямая с уравнением является вертикальной асимптотой. Строим асимптоты (по найденным их уравнениям) на эскизе графика и кусочки графика, примыкающие к вертикальной асимптоте (там уже понятно, с какой стороны идет примыкание, а для наклонных пока нет).

6) Монотонность и экстремумы.

Находим производную: . Производная не существует при (знаменатель снова обращается в 0), поэтому это число войдет в критические точки функции. Находим остальные критические точки: . Дробь обращается в ноль при тех , при которых ее числитель обращается в 0 (а знаменатель не обращается в 0): . Решая квадратное уравнение, получаем . Поэтому у функции 3 критические точки: . Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки производной на получившихся интервалах. В нашем примере получились интервалы . Для интервала в качестве пробной точки можно взять, например, : . Для интервала берем пробную точку : . Для интервала считаем . Наконец, для интервала считаем . Расставляем над интервалами полученные знаки производной. Строим итоговую таблицу.

 

	+		−		−		+
	↑		↓	нет	↓		↑

 

{после преобразований} ,

{после преобразований} .

Обратим внимание на то, что минимальное значение функции (точнее, значение функции в точке минимума) больше максимального (точнее, значения функции в точке максимума). Это часто встречается, когда функция имеет точки разрыва (наша функция имеет точку разрыва второго рода ). Наносим на эскиз точки графика, соответствующие точкам максимума и минимума.

7) Выпуклость и точки перегиба.

Ищем критические точки графика. Находим вторую производную:

. Итак, . Найденная вторая производная существует на всей числовой прямой, кроме все той же точки , а в 0 не обращается ни в одной точке. Наносим точку на числовую прямую и исследуем знаки второй производной на получившихся интервалах.

Очевидно, что при вторая производная (числитель всегда положителен, знаменатель тоже), а при вторая производная (числитель всегда положителен, а знаменатель отрицателен). Таким образом, выписываем направления выпуклости графика на интервалах: и . Точка хотя и разделяет интервалы разных знаков для второй производной, но точку перегиба не определяет, так как в этой точке сама функция не определена (над этой точкой вообще нет точки графика).

8) Достраиваем окончательно эскиз графика по полученной выше информации (см. рисунок).

 

 

Для закрепления материала постройте графики функций , .