Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Правило Лопиталя вычисления пределовСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Мы начинаем изучать приложения понятия производной. Основные приложения (о них мы будем говорить позже) производной функции состоят в том, что эта производная помогает изучить характер зависимости переменной от переменной , выраженный видом самой функции . Однако производная дает еще и мощный универсальный метод раскрытия неопределенностей в пределах. Когда мы проходили эту тему, то давали лишь немногие приемы, помогающие избавиться от неопределенности в некоторых частных случаях. Каждый из этих приемов «работал» лишь для одного из типов неопределенности, причем для достаточно узкого набора функций под знаком предела. Пусть необходимо вычислить предел отношения двух функций , который при подстановке в эту дробь значения вместо в дробь дает неопределенность. Обычно в этом случае возникает неопределенность типа или . В этом случае правило Лопиталя говорит о том, что вместо предела отношения исходных функций и можно считать предел отношения их производных и . Это уже будут другие функции, поэтому предел их отношения возможно неопределенности и не даст, мы сможем его вычислить обычной подстановкой вместо в выражение под знаком предела. Тогда полученное при этом значение и будет значением исходного предела:
(1) .
Если же предел справа в (1) опять дает неопределенность, то правило Лопиталя применяется уже к этому пределу. И так до тех пор, пока неопределенность не исчезнет. Для полноты изложения приведем строгую формулировку теоремы, выражающей правило Лопиталя, хотя для практического его применения в большинстве случаев достаточно запомнить только формулу (1).
1) функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ); 2) в указанной окрестности; 3) и либо и (а потому при вычислении реально возникает неопределенность ); 4) существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных . Замечание. Правило Лопиталя остается справедливым, если в (1) или . Справедливо оно и для случая односторонних пределов, если или . Интересно, что правило Лопиталя гарантированно работает только в случае возникновения неопределенности. Иначе оно может дать неверный результат. Например, очевидно, что , однако . Поэтому правило Лопиталя (1) для данного примера не работает, поскольку изначально в пределе неопределенности нет, а потому он может быть вычислен простой подстановкой (что и было сделано). Итак, перед применением правила Лопиталя (1) необходимо проверить наличие неопределенности. Если ее нет, то предел вычисляется обычной подстановкой вместо в выражение под знаком предела. Если же есть, то применяется правило Лопиталя. Рассмотрим примеры. Пример 1. = = = . Пример 2. . Пример 3. ={снова применяем правило Лопиталя} . Пример 4. = = = . Пример 5. = = . Пример 6. = = = ={вспоминаем первый замечательный предел: } . Однако неопределенности в пределах возникают не только если под знаком предела стоит отношение двух функций, да и список возможных неопределенностей не сводится только к или (неопределенности могут быть вида , , , , ). Как же раскрывать неопределенность в этих случаях? Поскольку правило Лопиталя (1) применимо только к отношению двух функций с определенным видом неопределенности, то выход один. В этих случаях необходимо так тождественно преобразовать выражение под знаком предела, чтобы оно приняло вид отношения двух функций с неопределенностью или . Как проводятся такие преобразования, будет ясно из следующих примеров. Пример 8. {предел односторонний, так как х, будучи под знаком логарифма, не может принимать отрицательные значения} {для приведения пределу к виду, удобному для применения правила Лопиталя, перенесем х в знаменатель, но, естественно, как } {применяем правило Лопиталя} . Пример 9. . Неопределенности вида , , возникают в пределах вида , когда основание и показатель степени стремятся к соответствующим значениям. Свести такой предел к виду, для которого можно применить правило Лопиталя (1), помогает следующий прием. Несложно понять (или вспомнить), что для любых чисел и справедливо (из основного логарифмического тождества) представление степени в виде: . Поэтому . Допустим, что мы выяснили, к чему стремится полученный показатель степени: . Тогда (из непрерывности функции ) получим: . Пример 10. . Это следует из того, что выше с помощью правила Лопиталя было вычислено . Пример 11. . Остается вычислить предел показателя степени: (последний из пределов – первый замечательный предел). Поэтому исходный .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 652; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.247.59 (0.006 с.) |