Раздел V. Дифференциальное исчисление функции одного переменного

 

Производная функции

 

Понятие производной функции является одним из фундаментальных понятий высшей математики. Она (производная) дает количественную оценку скорости изменения функции в каждой точке. Введем сначала понятия приращения аргумента в данной точке и соответствующего приращения функции. Пусть функция задана в окрестности некоторой точки на оси Ох. Вычислим значение функции в этой точке . Теперь сдвинемся от точки на некоторое расстояние (вправо, если число , или влево, если ). Мы попадем уже в другую точку на оси Ох, которая соответствует числу . Снова вычислим значение функции в получившейся точке: . Определим величину изменения функции
, которая соответствует величине изменения аргумента в точке . Число (на которое мы сами изменили значение ) называется приращением аргумента в точке , а соответствующее ему изменение функции называется приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Иллюстрация представлена на рисунке. Если бы мы задались вопросом узнать, во сколько раз изменилось значение зависимой переменной у по отношению к изменению аргумента , мы бы составили отношение .

Если бы это отношение оказалось (по модулю) больше 1, то мы бы могли сказать, что функция изменилась больше (или быстрее) по отношению к изменению аргумента от до . А если бы оно оказалось меньше 1, то функция изменяется медленнее по сравнению к изменению аргумента от до . Таким образом, это отношение характеризует среднюю скорость изменения функции на отрезке . Если мы будем теперь неограниченно уменьшать , то в пределе получим то, что можно будет назвать скоростью изменения функции в самой точке . Этот предел и называется производной. Итак, производной функции в точке называется предел (если, конечно, он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при его стремлении к 0. Обозначения для производной функции в точке : . Последние два обозначения связаны с понятием дифференциала функции, о котором пойдет речь позже, поэтому пока будем использовать первые два. Итак, по определению производной ее значение в произвольной точке :

(1) .

Пример 1. Найти производную в точке 2. В этом случае , .

Решение. Найдем выражение для приращения функции , соответствующего произвольному приращению аргумента в точке : .
Тогда по определению производной По смыслу производной можно сказать, что в точке 2 функция изменяется в 4 раза быстрее своего аргумента и в том же направлении (т.е. при увеличении аргумента – увеличивается, а при уменьшении – уменьшается).

Пример 2. Теперь попробуем найти производную функции в произвольной точке . В нашем случае опять . Найдем выражение для приращения функции , соответствующего произвольному приращению : . Тогда по определению производной Итак, Поскольку точка произвольна, то можно нулевой индекс внизу опустить и записать, что для всех выполняется . Это записывается в виде . При получаем значение производной, равное 4, что и было получено в предыдущем примере.

Отметим одно важное соотношение, связанное с производной. Из определения производной (1) следует, что при приближении приращения аргумента к 0 отношение приближается к числу . Таким образом, при малых значениях выполнено: . Отсюда следует важный (для понимания смысла и приложений производной) вывод, что при малых значениях (чем меньше, тем точнее) выполнено:

(2) .

Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет производную в этой точке (т.е. существует предел, определяющий производную, не равный ). Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.