Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

 

Выше, при изучении свойств функций, непрерывных на отрезке, мы уже отмечали, что такие функции достигают (в каких-либо точках) своего наибольшего и наименьшего значения. Теперь уже можно дать конкретный алгоритм отыскания таких значений. Пусть задана непрерывная на отрезке функция , а M и m ее набольшее и наименьшее на этом отрезке значения, которых она обязана достигать. В каких же точках могут достигаться эти значения? На рисунках приведены некоторые возможные варианты.

 

На рисунке а) наименьшее значение достигается во внутренней точке отрезка (которая является точкой минимума этой функции на интервале ), а наибольшее − на его правом конце. На рисунке б) наименьшее значение снова достигается внутри отрезка, а наибольшее − на обоих концах отрезка. Наконец, на рисунке в) наименьшее значение принимается на левом конце отрезка, а наибольшее − во внутренней точке . Таким образом, наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо во внутренних точках отрезка (т.е. в точках интервала ), либо на его концах. Поэтому для их поиска можно было бы предложить такую схему. Сначала изложенными выше методами найти экстремумы этой функции на интервале (поиск критических точек из , поиск участков монотонности, проверка смены характера монотонности при переходе через критические точки и т.д.) и выбрать из них «максимальный максимум» (если максимумов несколько) и «минимальный минимум». Затем сравнить эти 2 числа со значениями функции на концах интервала и выбрать из этих четырех чисел наибольшее и наименьшее. Однако можно упростить эту схему, исключив исследование функции на монотонность. Поскольку (по теореме Ферма, сформулированной выше) все экстремумы функции на интервале находятся среди ее критических точек, то наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке обязательно достигаются либо на концах отрезка, либо в ее критических точках, расположенных внутри отрезка. Получаем следующий

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции , непрерывной на отрезке .

1. Находим критические точки функции, принадлежащие интервалу . Допустим это точки (их может и не быть, если функция на этом интервале монотонна − только возрастает или только убывает).

2. Вычисляем значения функции на концах интервала и в полученных критических точках: .

3. Выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

 

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

В этом примере , , . Идем по пунктам сформулированного алгоритма.

1. Находим . Производная снова существует везде, поэтому критические точки совпадают со стационарными: . Решая квадратное, получаем критические точки , . Однако только принадлежит интервалу .

2. Вычисляем значения исследуемой функции на концах интервала и в найденной критической точке: , , .

3. Выбираем из этих чисел наименьшее и наибольшее: , .

Ответ. Наименьшее значение , наибольшее .

Многие задачи на поиск наименьшего и наибольшего значения функции возникают на практике как задачи на поиск оптимального решения проблемы.
Пример 2. Одному человеку предложили выбрать себе земельный участок прямоугольной формы и огородить его забором. И даже выдали забор длиной 120 метров. Какого размера участок должен выбрать человек, чтобы он (участок) имел наибольшую площадь?

Обозначим размеры участка и (см. рисунок). Нужно выбрать эти размеры так, чтобы площадь была наибольшей. Площадь прямоугольника . Но мы не умеем (пока) искать максимальное значение функции двух переменных и , поэтому от одной из них избавимся. Поскольку периметр участка должен быть равен длине забора, то мы не можем размеры и выбирать произвольно. Очевидно, должно выполняться условие: . Выразим отсюда , получим , и подставим в формулу для площади. Получим теперь формулу площади . Ясно, что одна сторона забора может меняться в пределах от 0 до 60. Поэтому мы пришли к следующей математической постановке задачи: Найти наибольшее значение функции на отрезке . Используем приведенный выше алгоритм. Производная
− единственная критическая точка. Считаем значения функции на концах интервала и в критической точке: (смысл этих нулей понятен), . Наибольшее значение , достигается при . При этом вторая переменная . Итак, наибольшую площадь 900 м² из всех прямоугольных участков имеет квадратный участок размером 30 на 30 метров. Такого размера прямоугольный участок и надо огораживать, если иметь целью сделать его площадь максимальной.

Попробуем обобщить задачу. А если бы отсутствовало требование прямоугольности участка? Допустим, можно строить участок любой формы, лишь бы он огораживался данным забором длиной 120 метров. Таким образом, приходим к следующей задаче: найти замкнутую кривую длиной 120 метров, которая бы ограничивала фигуру наибольшей площади. Будет ли это опять квадрат со стороной 30 м и площадью 900 м² ? Это сложная задача, ее нельзя решить теми математическими методами, которые мы уже прошли. Убедимся хотя бы в том, что квадрат, будучи по площади оптимальной фигурой среди всех прямоугольников с заданным периметром, уже не будет оптимальным среди фигур произвольной формы с заданным периметром. Посмотрим, какой бы площади оказался, например, участок круговой формы, ограниченный все тем же забором (см. рисунок). Найдем радиус такого круга. Поскольку длина граничной окружности должна быть 120 метров, то, используя формулу длины окружности, получаем , откуда . Найдем площадь такого кругового участка: м². Уже больше площади м² найденного выше квадрата. Поэтому, если бы не оговаривалась прямоугольная форма участка, то выгоднее строить участок круговой формы. Можно (но сложно) доказать, что круг оптимален среди фигур любой формы с заданным периметром.