Правила нахождения производных. Таблицы производных

 

Выше, используя определение, была вычислена производная только функции . Точно таким же образом, исходя из определения производной, можно вычислить производные и от других известных функций. Результаты сведены в следующую простую таблицу производных:

1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9)
10) 11) 12)

Первая формула в таблице говорит о том, что если функция равна постоянному числу (или, как говорят, функция является константой), то ее производная в любой точке равна 0. В формуле (под номером 3 в таблице производных) показатель степени может быть любым: целым положительным, целым отрицательным, дробным положительным, дробным отрицательным. Рассмотрим примеры применения этой формулы при различных типах показателя степени . Первый пример – показатель степени является целым и положительным.

Пример 1. { − целое положительное} .

В следующем примере показатель степени − целое отрицательное число. Сначала напомним определение отрицательного показателя степени: . Нам понадобится это равенство справа налево: .

Пример 2. { − целое отрицательное} .

Дальше показатель степени − дробное положительное число. Напомним определение степени с дробным показателем: . Нам снова понадобится это равенство в обратном порядке: .

Пример 3. { − дробное положительное} = .

Последний случай: показатель степени − дробное и отрицательное число.

Пример 4. { − дробное отрицательное} = .

Итак, пока мы умеем вычислять производные только от функций, перечисленных в таблице. А если формула, задающая функцию, содержит суммы, разности, произведения и частные от функций, содержащихся в этой таблице? Или содержит суперпозиции перечисленных функций (т.е. функции от функций, например, )? Для вычисления производных в этом случае используются правила, которые дает следующая

Теорема.
1. Пусть функции и дифференцируемы в точке (т.е. имеют производную в этой точке), а а − некоторое число. Тогда в этой точке дифференцируемы и функции (если ), а их производные вычисляются по правилам:

а) постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(1)

б) производная суммы-разности равна сумме-разности производных:

(2)

в) для производной от произведения аналогия не проходит:

(3)

г) наиболее громоздкая формула − для производной от частного (т.е. дроби):

(4)
2. Пусть функция дифференцируема на некотором интервале , а функция дифференцируема на области значений функции . Тогда сложная функция (или суперпозиция функций) дифференцируема на интервале , а ее производная вычисляется по формуле: . Кратко эта формула записывается в виде:

(5)

Для того чтобы было удобнее пользоваться формулой для дифференцирования (т.е. взятия производной) сложной функции, эта формула сразу применена ко всем функциям, составляющим выписанную выше таблицу производных. В применении к таблице производных эта формула говорит о том, что если в таблице производных в левой части вместо стоит любое более сложное выражение (функция ), то в правой части равенств нужно тоже поставить выражение вместо , а потом еще домножить эту правую часть на производную от , т.е. . Результаты такого применения выписаны следующей таблице, которая называется обобщенной таблицей производных (сравните с простой таблицей производных):

3) 4) 5)
6) 7) 8)
9) 10) 11) 12)

Теперь при вычислении производных от различных функций можно практически забыть о формуле для производной сложной функции, а пользоваться только простой или обобщенной таблицей производных, руководствуясь следующим правилом: если под знаком функции (синуса, косинуса, логарифма и т.д.) стоит сам аргумент , то для вычисления производной надо использовать простую таблицу производных, а если же под знаком функции стоит более сложное выражение (представляющее собой некоторую формулу от ), то это выражение надо принимать за функцию и пользоваться обобщенной таблицей производных до тех пор, пока аргументы не упростятся, после чего опять будет окончательно использоваться простая таблица. Если в обобщенной таблице производных положить , то она перейдет в простую таблицу производных. Простая и обобщенная таблицы производных, а также правила вычисления производных от суммы, разности, произведения и частного (сформулированные в теореме) позволяют вычислять производную от функции, заданной сколь угодно сложной формулой. Надо только набраться опыта в их практическом применении. А опыт появляется только после решения примеров и задач.

Пример 5. {формула 7 обобщенной таблицы производных} {формула 9 простой таблицы производных}= .

Пример 6. {формула 8 обобщенной таблицы производных} {формула 5 обобщенной таблицы производных} {формула 9 простой таблицы производных} .

Пример 7. . Найти производную .
Решение. {правило (2) для производной от суммы-разности} {правило (1) − вынесение числового множителя за знак производной} {формулы 2 и 3 простой таблицы производных} = .

Пример 8. . Найти производную .
Решение. {правило (4) для производной от частного}= {формулы 5 и 7 простой таблицы производных}= .

Пример 9. . Найти производную .
Решение. {определение дробной и отрицательной степени}= {правило (3) для производной произведения}= {формула (3) из простой и (5) из обобщенной таблицы производных}= .

Пример 10. {определение тангенса} {правило (4) для производной от частного} .

 

Уравнение касательной

 

В некоторых задачах необходимо найти уравнение касательной к графику некоторой функции в некоторой его точке. Для решения таких задач требуется вспомнить данный ранее геометрический смысл производной: значение производной в произвольной точке равно тангенсу угла наклона к оси Ох касательной к графику функции в точке с
х -координатой (т.е. абсциссой), равной . Пусть требуется написать уравнение касательной к графику функции в точке графика с абсциссой (см. рисунок). Как и всякая наклонная (или горизонтальная) прямая, касательная имеет уравнение вида . Перебирая всевозможные пары чисел и в этом уравнении, будем получать уравнения всех наклонных (и горизонтальных) прямых на координатной плоскости хОу. Одна из них (при каких-то конкретных числах и ) даст уравнение нужной нам касательной. Найдем эти числа. Для этого вспомним, что число в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой и равен он тангенсу угла наклона прямой к оси Ох. Для касательной тангенс такого угла равен значению производной (из геометрического смысла производной). Таким образом, один из параметров в уравнении касательной найден: , а уравнение касательной уже можно записать в виде . Оставшееся число можно найти из того условия, что касательная должна проходить через точку графика, т.е. координаты этой точки, при их подстановке в уравнение касательной , дают верное равенство: , откуда . Подставляя полученное выражение для в уравнение касательной , после легких преобразований получим уравнение:

(1) .

Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Таким образом, для того, чтобы по формуле (1) написать уравнение касательной, нужно знать (или найти из условий задачи):

1) число − это х -координата точки графика, через которую проходит касательная к графику;

2) число − это значение функции (к графику которой строится касательная) в точке ;

3) число − это значение производной от функции в точке .

Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой, равной 3.

Решение. Для этого примера , а . Тогда . Далее, найдем выражение для производной: . Поэтому . Подставляя полученное в уравнение касательной (1), получаем или . Это и есть уравнение искомой касательной.

Пример 2. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой .
Решение. В нашем примере , . Тогда . Итак, . Находим производную от : . Итак, , а потому . Подставляя полученные числа и в уравнение касательной (1), получаем или .

Рассмотрим теперь другие типы задач на касательную.

Пример 3. Найти уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с графиком функции .

Решение. В данном примере , но неизвестна точка
(это, напоминаем, х -координата точки графика функции , через которую проходит искомая касательная к нему). Таким образом, нам предстоит самим найти число как х -координату точки пересечения графиков двух функций: и . Как известно, для этого нужно приравнять левые части уравнений, задающих эти функции, и решить получившееся уравнение: , тогда , а потому . Итак, , а дальше можно действовать так же, как и в предыдущих примерах. Находим . Находим производную: . Тогда . Подставляя полученные данные в уравнение общее уравнение для касательной (1), получаем или − уравнение искомой касательной.

Пример 4. В какой точке параболы касательная к ней параллельна прямой ?

Решение. Требуется найти некоторую точку М на параболе. Положение любой точки определяется ее координатами. Обозначим координаты искомой точки и (т.е. ) и найдем их. Поскольку искомая точка лежит на параболе , то ее вторая координата есть квадрат ее первой координаты: . Поэтому искомая точка . Таким образом, для нахождения координат этой точки нам достаточно узнать только одно число − х -координату точки касания. Это число должно быть таким, чтобы касательная в соответствующей точке параболы была бы параллельна заданной прямой. Ранее (в аналитической геометрии) был приведен критерий параллельности двух прямых: прямые параллельны только в том случае, если их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой с уравнением равен 4 (это коэффициент при в уравнении прямой, записанной в форме ). По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной к графику произвольной функции в его точке с абсциссой равен . Таким образом, для параллельности касательной и данной прямой должно выполняться условие: . Это и есть уравнение, для определения : найти число , в котором значение производной функции равно 4. Значение производной в любой точке для данной функции вычисляется по формуле: . Поэтому искомое есть корень уравнения , т.е. . Учитывая, что координаты искомой точки имеют вид , получаем окончательно: .

 

Производные высших порядков

 

 

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале , т.е. в каждой точке этого интервала. Тогда ее производная есть тоже функция, определенная на интервале . Может оказаться (чаще всего так и бывает), что она тоже дифференцируема на этом интервале. Взяв от нее производную , получим функцию, которая называется второй производной от исходной функции и обозначается . Итак, вторая производная функции определяется как производная от ее производной: . Аналогично определяется третья производная (как производная от второй производной) и все остальные производные высших порядков.

Пример 1. Найти последовательные производные функции .

Решение. Последовательно находим: ; ; ; . Поскольку опять получилась исходная функция , то дальнейшие производные будут повторять те, что мы уже нашли.

Пример 2. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем первую производную:

.

Затем находим вторую производную как производную от первой производной:

=

={последняя производная уже была вычислена при нахождении }= .

Итак, вторая производная .

 

Дифференциал функции

 

Пусть функция дифференцируема в точке . Это означает, что она имеет производную в этой точке, то есть существует предел: , где, напомним, есть приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента этой функции на величину . Предположим дополнительно, что . По теореме о бесконечно малых (см. параграф «Бесконечно малые и бесконечно большие функции», хотя интуитивно это и так понятно) соотношение означает, что разность стремится к 0 при (т.е. является бесконечно малой): . Обозначим эту разность : . Выразив отсюда , получим:

(1) ,

причем − бесконечно малая при :

 

(2) .

 

Из (1) следует, что приращение функции состоит из двух слагаемых: и . Выясним, какой относительный вклад вносит в каждое из них. Составим отношение второго слагаемого к первому и вычислим предел его при :

 

(3) ,

 

что следует из (2) в принятом предположении, что . Отсюда следует, что при маленьких значениях приращения второе слагаемое в (1) становится пренебрежимо малым по сравнению с первым, а потому основной вклад в формирование в (1) вносит первое слагаемое , которое (по этой причине) является главной частью приращения функции и носит название ее дифференциала.

Дифференциалом функции в точке (обозначатся ) называется главная часть приращения этой функции, т.е. выражение . Таким образом, по определению дифференциала

 

(4) .

 

Поскольку, как отмечено выше, дифференциал является главной частью приращения функции (при малых значениях ), то выполнено приближенное равенство

 

(5) ,

 

которое (в силу (1) и (3)) тем точнее, чем меньше приращение аргумента .

Кроме понятия дифференциала функции, вводится и понятие дифференциала независимой переменной. Дифференциалом независимой переменной (обозначается ) называется ее приращение : . Поэтому дифференциал функции (4) в произвольной точке записывают также в виде

 

(6) .

 

Основным свойством дифференциала является отмеченное в (5) приближенное равенство , означающее, что при малых значениях приращения независимой переменной приращение функции приближенно равно ее дифференциалу . Геометрическая иллюстрация этого приближенного равенства представлена на рисунке. На нем приращение функции , а дифференциал функции (это следует из рассмотрения прямоугольного треугольника и геометрического смысла производной: ). Таким образом, приращение ординаты (т.е. y -координаты) графика функции приближенно равно приращению ординаты касательной (прямая S на рисунке) к этому графику. Отсюда следует такой интересный факт, что из всех прямых, проведенных через данную точку графика, именно касательная примыкает к нему ближе всего.

Одним из приложений понятия дифференциала функции является его применение к приближенным вычислениям. Запишем приближенное равенство (5) более подробно, расписав в нем выражения для и : или

 

(7) .

 

Это равенство и лежит в основе применения дифференциала к приближенным вычислениям. Пусть значение некоторой функции и ее производной легко вычисляется в некоторой точке , а нам необходимо найти значение функции в точке, близкой к , но значение в ней вычислить непосредственно по формуле затруднительно. Тогда можно использовать приведенное выше приближенное равенство (7).

Пример 1. Найти приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию , положим , . Тогда = , , , поэтому . Тогда из формулы (7) получаем:

= .

Окончательно . Отметим, что точное значение .

Пример 2. Доказать, что при малых справедливо: .

Указание. Аналогично предыдущему примеру: , но . Применить формулу (7), а затем заменить более приятной буквой .