Производные некоторых элементарных функции

C^/=0, x^/=1,

(хⁿ)^/=nx^n-1, ,

(a^x)^/=a^xlna, (sinx)^/=cosx,

(e^x)^/=e^x, (cosx)^/= -sinx,

(log_ax)^/= , (ctgx)^/_{= - ,}

Производная сложной функции.

Сложная функция имеет вид: F(x)=f(g(x)), т.е. является функцией от функции. Например, y=sin2x, y=ln(x²+2x) и т.д.

Если в точке х функция g(x) имеет производную g '(x), а в точке u=g(x) функция f(u) имеет производную f '(u), то производная сложной функции f(g(x)) в точке х существует и равна f '(u)g'(x)

Практическая часть

Пример 1. Вычислить производную функции:

а) у=(5-x²+x³)(x⁴-3); б) ; в) у=(x⁴-5x³+7)⁵

Решение.

а) Применим правило дифференцирования (2)

((5-x²+x³)(x⁴-3))^/=(5-x²+x³)^/(x⁴-3)+(5-x²+x³)(x⁴-3)^/=(-2x+3x²)(x⁴-3)+(5-x²+x³)∙4x³=-2x⁵+6x+3x⁶-9x²+20x³-4x⁵+4x⁶=7x⁶-6x⁵+20x³-9x²+6x.

б) Применим правило дифференцирования (3)

в) Применим правило нахождения производной сложной функции . В нашем случае u= x⁴-5x³+7

((x⁴-5x³+7)⁵)^/=5∙(x⁴-5x³+7)⁴∙(x⁴-5x³+7)^/=5∙(x⁴-5x³+7)⁴(4x³-15x²)=(20x^3-75x²)(x⁴-5x³+7).

Пример 2. Вычислить производную функции .

Решение.

Применим свойство (3) и правило нахождения сложной функции:

Пример 3. Найти производную функции .

Решение.

Практические задания

Найти производные функции:

1 вариант 1) у= 2х^4+3х^5-4х-56. 2) 3) y=3x^2∙4^3x. 4) 5) 6) y= (x^3-4x^4+21x)^5. 7) 8)	2 вариант 1) y= 3x^2+8x^5-21x+43. 2) 3) 4) 5) 6) y= 2(3x^2-x^6+5)^4. 7) 8)
3 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	4 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
5 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	6 вариант 1) 2) 3) 4) 5) y= . 6) 7) 8) .
7 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	8 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
9 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6)	10 вариант 1) 2) 3) 4) 5) . 6)
7) 8) .	7) 8)
11 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	12 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
13 вариант 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	14 вариант 1) y= 23x^2+5x^7-2x+33. 2) 3) y=e^5^x∙sin(x-5). 4) 5) 6) y= -5,5(9x^2-7x^6+1)^14. 7) 8)

 

Контрольные вопросы

Дайте определение производной.

Чему равна производная суммы, производная произведения, производная частного двух функции?

Какая функция называется сложной?

Чему равна производная сложной функции?

Практическая работа № 3

«Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя»

Цель работы: Научится раскрывать неопределенности с помощью правила Лопиталя.

Теоретическая часть

(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

 

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Аналогично можно применить правило Лопиталя при раскрытии неопределенности .

 

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Практическая часть

Пример 1: Найти предел

Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = e^x;

 

Пример 2: Найти предел

Решение. Числитель и знаменатель при х=0 равны нулю, т.е. имеем неопределенность

;

Пример 3: Найти предел

Решение. , .

- получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

, , тогда имеем:

Пример 4: Найти предел

Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Для решения и таких пределов можно применить правило Лопиталя, предварительно сведя ее к неопределенности .

Пример 5: Найти предел

Решение. В данном примере имеется неопределенность вида . И здесь можно применит правило Лопиталя, сведя ее к виду .

 

 

Практические задания

Найдите пределы, используя правило Лопиталя.

Вариант 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.	Вариант 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Вариант 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.	Вариант 4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Вариант 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.	Вариант 6 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Вариант 7 1. ; 2. ; 3. ; 4. 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.	Вариант 8 1. . 2. ; 3. ; 4. 5. ; 6. 7. ; 8. ; 9. ; 10.
Вариант 9 1. . 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. 8. ; 9. 10.	Вариант 10 1. . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ; 9. ; 10.
Вариант 11 1. . 2. 3. 4. 5. ; 6. 7. 8. ; 9. 10.	Вариант 12 1. . 2. 3. 4. ; 5. 6. 7. 8. ; 9. 10.
Вариант 13 1. . 2. 3. 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. 9. ; 10.	Вариант 14 1. . 2. 3. 4. 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите неопределенности в математике.
2. Сформулируйте правило Лопиталя.
3. В каких случаях можно использовать правило Лопиталя?

 

Практическая работа №4

«Дифференциал функции. Приближенные вычисления »

Цель работы: Научится находить дифференциал функции. Находить приближенные значения функции с помощью дифференциала».

Теоретическая часть

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx. Для функции х производная равна 1, и потому ее дифференциал равен ∆х_, . Поэтому принято вместо писать dx.. При этом формула дифференциала функции принимает вид:

dy = f¢(x)dx. (1)

 

Можно также записать:

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

5) где .

С помощью дифференциала можно найти приближенные значения функции.

Учитывая, что , приращение функции приближённо равно ее дифференциалу, т.е. ∆y»dy, откуда

(2)

Это означает, что приближенное значение функции вблизи точки х₀ равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке.

 

Практическая часть.

Пример1. Найдите дифференциал функции: а) ; б) ;

в)

Решение. а) Воспользуемся формулой (1) dy = f¢(x)dx.

б)

в)

Пример2. Вычислить приближённо: а) 2,002⁵; б) ; в) .

Решение. а) Воспользуемся формулой (2): .

Положим , где х=2,002.

2,002=2+0,002, т.е.

.

Т.о. .

б) В данном случае , ;

;

.

в) Рассмотрим функцию . Полагая х₀=45⁰, , имеем:

, , .

Т.о. .

 

Практические задания

Вариант 1 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=2х^2+3х ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin44^0.	Вариант 2 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х^2-4х ее дифференциалом в точке х=1 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) 2,003^5 ; б) cos31^0.
Вариант 3 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x^3+3х ее дифференциалом в точке х=1 при ∆х=0,01. 3. Вычислить приближенно: а)3,992^3; б) tg44^0.	Вариант 4 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=2 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-х^2-4х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,02. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg1,005.
Вариант 5 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=6 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=2х-х^2 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,02. 3. Вычислить приближенно: а)4,95^3; б) sin31^0.	Вариант 6 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=2 б) в) Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=4х+х^2 ее дифференциалом в точке х=4 при ∆х=0,01. 2. Вычислить приближенно: а) ; б) arcctg1,03^0.
Вариант 7 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х^2+х-1 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,01. 3. Вычислить приближенно: 4. а) 4,003^3; б) ln1,03.	Вариант 8 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=-10 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х^3-x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) cos61^0.
Вариант 9 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=4. б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х^2+х-1 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,04. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin62^0.	Вариант 10 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=3 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=5x-x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg0,993^0.
Вариант 11 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=4 б) 2. в) Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х^3+х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,2. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin47^0.	Вариант 12 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=4 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х^2+3х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) ln1,06^0.
Вариант 13 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x+x^3ее дифференциалом в точке х=4 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin87^0.	Вариант 14 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=3 б) н в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x^3+2x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg0,992^0.

Контрольные вопросы