Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного

Студент должен иметь навыки

применения методов теории функций комплексного переменного и рядов Фурье в практических исследованиях; использования аппарата операционного исчисления для анализа технических систем.

3. Структура дисциплины

Семестр 4	Трудоёмкость в кредитн. ед.	Часы общ./ауд.	Контрольные мероприятия	Рейтинг макс/мин
Модуль 1 Ряды Фурье и функции комплексного переменного		25/16	ДЗ №1 РК №1	28/17
Модуль 2 Ряды Тейлора и Лорана		25/14	ДЗ №2 РК №2	32/18
Модуль 3 Теория вычетов и операционное исчисление		35/21	ДЗ №3 (части 1 и 2), РК №2	40/25

4. Содержание дисциплины

Виды учебной работы

Виды учебной работы	Объем в часах по семестрам
Всего	4 семестр 17 недель
Лекции
Семинары
Лабораторные работы
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого в часах
Итого в зачетных единицах
Проверка знаний:		СМ 7, 11 – зачет, СМ5 - экзамен

Семестр 4

Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного

1. Ряды Фурье

Тригонометрическая система функций на отрезке. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Коэффициенты Эйлера-Фурье. Теорема Дирихле о разложении функции в тригонометрический ряд Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье.

2. Теория функций комплексного переменного

Kомплексное переменное и комплексная плоскость. Сфера Римана, бесконечно удаленная точка. Числовые ряды с комплексными членами. Необходимые и достаточные условия их сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда.

Функции комплексного переменного. Определение основных элементарных функций с помощью степенных рядов. Формулы Эйлера. Вычисление значений элементарных функций.

Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного, условия Коши-Римана. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Гармонические функции и их связь с аналитическими. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана

3. Интегрирование функций комплексного переменного

Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного, его выражение через действительные криволинейные интегралы, основные свойства. Интеграл от аналитической функции комплексного переменного, его независимость от пути интегрирования, формула Ньютона - Лейбница. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Вычисление интегралов вида . Интегральная формула Коши для функции аналитической в односвязной и многосвязной области. Интегральная формула для производной n-го порядка. Бесконечная дифференцируемость функции в точке аналитичности. Вычисление интегралов по замкнутому контуру с помощью интегральной формулы Коши и интегральной формулы для n-ой производной.

4. Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана, их области сходимости. Теоремы о разложении аналитической функции в ряды Тейлора и Лорана.

Практические занятия (семинары, упражнения, занятия в компьютерном классе, деловые игры и т.п.)

Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана

3. Интегрирование функций комплексного переменного

Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная формула Коши, интегральная формула производной n-го порядка и их применение к вычислению интегралов по замкнутому контуру (2 часа).

4. Ряды Тейлора и Лорана

Разложение функций комплексного переменного в ряды Тейлора. Ряды Лорана, определение их области сходимости. Разложение функций комплексного переменного в ряды Лорана (4 часа).

Лабораторные работы (с использованием измерительной техники и экспериментального или производственного оборудования)

нет

Самостоятельная работа

 

Виды самостоятельной работы и контрольных мероприятий	Объём, час / выполнение, неделя выдачи-сдачи
Всего, часов	4 семестр 17 недель
Домашнее задание №1 №2 №3		6/1-7 4/2-10 10/9-15
РК №1 №2 №3		4/7 4/11 4/16
Самостоятельная проработка курса	Для СМ1, 2, 8 - 19
Для СМ5, 7, 11, РК4 - 2

4.4.1 Домашние задания

Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного

Домашнее задание №1 включает разложение функций в ряды Фурье и построение графиков сумм рядов, действия над комплексными числами, построение множеств, вычисление значений функций, построение аналитической функции по её действительной или мнимой части. Выдача – 1 неделя, сдача – 7 неделя.

Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана

Домашнее задание №2 включает нахождение круга сходимости степенного ряда, разложение функций по заданным степеням. Выдача – 2 неделя, сдача – 10 неделя.

Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление

Первая часть домашнего задания включает нахождение особых точек и вычетов в них, вычисление контурных интегралов.

Вторая часть домашнего задания включает нахождение изображений заданных оригиналов и определение оригиналов по заданным отображениям.

Выдача – 9 неделя, сдача части 1 – 13 неделя, части 2 – 15 неделя.

Рефераты (эссе и т.п.)

Рефератов и эссе не предусмотрено.

Подготовка к контрольным мероприятиям и их проведение

Литература

6.1. Основная учебная литература

1. Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного: Учеб. для вузов/ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. -520 с. (Сер. Математика в техническом университете, Вып. X)

2. Власова Е.А. Ряды: Учеб. для вузов/ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 612 с. (Сер. Математика в техническом университете, Вып. IX)

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов,т.2. -13 изд. - М.: Интеграл-Пресс, 2009. -544 с.

4. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики, т.1.-М., Высшая школа, 1973.-480 с., т.2.-М., Высшая школа, 1973. -400 с.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения, Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Т. 3 М.: Дрофа, 2005.-512 с.

6. Краснов М.Л., Киселев Л.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями.-М., Либроком, 2010.-208 с.

7. Краснов М.Л., Киселев Л.И., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и примеры с подробными решениями.-М., Либроком, 2009.-176 с.

8. Свешников А.Г., Тихонов А.М. Теория функций комплексной переменной.-М., ФИЗМАТЛИТ, 2010.-336 с.

9. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.-М., Наука, 1966.-331 с.

10. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов/ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 228 с. (Сер. Математика в техническом университете, Вып. XI)

11. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. т. 2. -М., Альянс, 2010.-368 с.

12. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под. ред. Б.П. Демидовича. М.: АСТ, 2008.- 496 с.

6.2. Дополнительная учебная литература

13. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Лань, 2009. -432 с.

14. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. -М., Лань, 2002. - 880 с.

15. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов. Специальные курсы..-М., Наука, 2002. -640 с.

16. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Лань, 2002. - 688 с.

17. Шостак Р.Я. Операционное исчисление.-М.: Высшая школа. 1972 -252 с.

18. Смирнов В.И. Курс высшей математики., Т.2.- М.: БХВ-Петербург, 2008.- 848 с.

6.3. Кафедральные издания и методические материалы

19. Ванько В.И., Галкин С.В., Морозова В.Д. Методические указания для самостоятельной работы студентов по разделам "Теория функций комплексного переменного" и "Операционное исчисление", МВТУ, 1988. -28с.

20. Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по ТФКП, МВТУ, 1976. -41 с.

21. Шостак Р.Я. Учебное пособие по операционному исчислению.- М.: МВТУ,1967. -100 с.

22. Голенко К.А., Хереско Т.А., Щетинина Н.Н. Методические указания для подготовки к контрольным работам по курсу высшей математики, МВТУ, 1986. -36 с.

23. Нараленков К.М., Шарохина И.В. Тригонометрические ряды Фурье. – М.: Изд-во МГТУ, 2005. – 41 с.

24. Красновский Е.Е., Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного: Электронное учебное издание: методические рекомендации для самостоятельной работы студентов по дисциплине «Теория функций комплексного переменного». Регистрационное свидетельство обязательного федерального экземпляра электронного учебного издания №27556, 2012 г. Номер государственной регистрации обязательного экземпляра электронного издания 0321202788.

 

Программа составлена:

Доцент В.Д.Морозова ______________

 

 

Рецензент

Доцент кафедры ФН12

Канатников А.Н. ______________

 

Председатель методической комиссии факультета ФН

Еркович О.С. ______________

 

«____» __________ 2012 г.

 

Декан факультета ФН

Гладышев В.О. ______________

 

«____» __________ 2012 г.

 

 

СОГЛАСОВАНО:

Декан факультета СМ

Калугин В.Т. ______________

 

«____» __________ 2012 г.

 

Начальник Методического управления

Васильев Н.В. ______________

 

«____» __________ 2012 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рейтинговые оценки

Студент должен иметь навыки

применения методов теории функций комплексного переменного и рядов Фурье в практических исследованиях; использования аппарата операционного исчисления для анализа технических систем.

3. Структура дисциплины

Семестр 4	Трудоёмкость в кредитн. ед.	Часы общ./ауд.	Контрольные мероприятия	Рейтинг макс/мин
Модуль 1 Ряды Фурье и функции комплексного переменного		25/16	ДЗ №1 РК №1	28/17
Модуль 2 Ряды Тейлора и Лорана		25/14	ДЗ №2 РК №2	32/18
Модуль 3 Теория вычетов и операционное исчисление		35/21	ДЗ №3 (части 1 и 2), РК №2	40/25

4. Содержание дисциплины

Виды учебной работы

Виды учебной работы	Объем в часах по семестрам
Всего	4 семестр 17 недель
Лекции
Семинары
Лабораторные работы
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого в часах
Итого в зачетных единицах
Проверка знаний:		СМ 7, 11 – зачет, СМ5 - экзамен

Семестр 4

Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного

1. Ряды Фурье

Тригонометрическая система функций на отрезке. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Коэффициенты Эйлера-Фурье. Теорема Дирихле о разложении функции в тригонометрический ряд Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье.

2. Теория функций комплексного переменного

Kомплексное переменное и комплексная плоскость. Сфера Римана, бесконечно удаленная точка. Числовые ряды с комплексными членами. Необходимые и достаточные условия их сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда.

Функции комплексного переменного. Определение основных элементарных функций с помощью степенных рядов. Формулы Эйлера. Вычисление значений элементарных функций.

Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного, условия Коши-Римана. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Гармонические функции и их связь с аналитическими. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.