Рубежный контроль 2 (контроль по модулю №2)

1. Производная функции комплексного переменного. Вывести необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного.

2. Найти круг сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда в четырёх точках границы этого круга: самой верхней, самой нижней, самой левой, самой правой: .

3. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши или её следствия (формулы n-ой производной) интеграл .

4. Найти все разложения функции по степеням . Указать область пригодности (сходимости) каждого из разложений.

Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление

Домашнее задание № 3

Часть 1

Задача 1

Найти все особые точки заданной функции ; определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно удалённая точка и найти вычеты в ней.

 

Задача 2

Вычислить интеграл при помощи теории вычетов, по контуру : .

Часть 2

Задача 1

Пользуясь теоремами интегрирования изображения и интегрирования оригинала, найти изображения заданных функций; найденный результат проверить для первой из заданных функций по первой теореме разложения, развёртывая в ряды как оригинал, так и полученное изображение: , .

Задача 2

Пользуясь теоремой свёртывания, найти оригинал первой из заданных функций, для отыскивания оригиналов в остальных использовать полученный результат, либо теорему дифференцирования, либо теорему интегрирования оригинала. Ответ к последнему из заданных примеров проверить, либо находя по полученному оригиналу его изображение, либо находя сам оригинал иным способом – по 2-й или по обобщённой (3-й) теоремам разложения: , , .

Задача 3

При помощи обобщённой (третьей) теоремы разложения найти оригиналы заданных функций; ответ проверить, пользуясь второй теоремой разложения:

.

Задача 4

Найти изображения заданных ниже при помощи чертежа периодической функции (на чертеже изображён первый период и пунктиром намечено начало второго) В данном примере использованы параболы 2-го порядка с вертикальной осью.

 

Рубежный контроль №3 (контроль по модулю №3)

 

1. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Доказать теорему о существовании изображения.

2. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного, классифицировав все особые точки функции, включая бесконечно удаленную точку .

3. Найти изображение по заданному оригиналу и оригинал по заданному изображению .

4. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях, проверить полученное решение: .

 

 

Вопросы для подготовки к рубежным контролям и экзамену