Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Частные производные. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Определение 1.7 Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М0 По определению, Частные производные по y и по z определяются аналогично: Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности B в данной точке P (x 0, y 0, z 0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р. уравнение касательной плоскости Определение 2. Нормалью к поверхности S в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке. ; уравнение нормали 40. Определение дифференцируемости ф-ции двух переменных.Полный дифференциал, признак полного дифференциала.Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. z=f(x,y) опр-на в обл-тиDCR2, M0(x0,y0)∈D.Опр.1-ф-ия z=f(x,y) наз-сядиф-мой в т.M0, если её приращение ∆z(M0) м.б. представлено в виде:∆z(M0)=z(x0+∆x, y0+∆)-z(0,y0)=A∙∆x+B∙∆y+α∙(∆x,∆y)∙∆x+β(∆x,∆y)∙∆y (1), где Aи B не зависят от ∆xи ∆y, α(∆x,∆y)→0, β(∆x,∆y)→0 при ∆ρ=√(∆x)2+(∆y)2 →0.Теорема 1.Для того, чтобы ф-ияz=f(x,y) была диф-ма в т.M0 н. и д., чтобы ф-ия в т.M0 имела конечные частные производные.A=Z'x(M0); B=Z'y(M0).В правой части формулы все 4 слагаемых стремятся к 0 при ∆ρ→0, но 3-е и 4-е слагаемые стремятся к 0 быстрее первых двух слагаемых, т.е. явл-сяб.м. более высокого порядка, чем первые два слагаемых.Поэтому, 1-е и 2-е слагаемые наз-ся главной частью полного приращения ф-ии двух переменных.Опр.1-диф-ом ф-ииz=f(x,y) в т.M0 наз-ся главная линейная по ∆xи ∆y часть полного приращения ф-ии в т.M0.dz(M0)=A∙∆x+B∙∆y=Z'x(M0)∙∆x+Z'y(M0)∙∆y.Для независимыхперемнныхxи y∆x=dx, ∆y=dy, dz(M0)=Z'x(M) dx+Z'y(M)dy. – формулы для вычисления полного диф-ла.dz=ρ(x,y)dx+Q(x,y)dy.Для того, чтобы формула была полным диф-м некоторой ф-ии двух переменных н. и д. выполнение усл-я: ɖρ/ɖy=ɖQ/ɖx.Приближённые вычисления с помощью полного диф-ла:Т.к. в правой части формулы (1) 3-е и 4-е слагаемые стремятся к 0 быстрее первых двух слагаемх, то при проведении приближ. Вычислений 3-м и 4-м слагаемыми пренебрегают и приближённо считают полное приращение ф-ии, совпадающим с полным диф-м ф-ии, т.е.:∆z(M0)≈dz(M0) ∆z(M0)≈z'x(M0)∙∆+Z'y(M0)∆y. Формулы для вычисления приближ.значения полного приращения ф-ии. z(x0+∆x, y0+∆y)-z(x0,y0)≈z'x(M0)+Z'y(M0)∙∆y. z(x0+∆x, y0+∆y)≈z(x0,y0)+Z'x(x0,y0)∆x+z'y(x0,y0)∙∆y. Формула для вычисления приближ. знач-я ф-ии.
41.Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Дифференциалы высших порядков функции 2х перемен-х. Опр1. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.Можно записать Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х. Аналогично определяется частная производная функции по у. Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0. Полное приращение и полный дифференциал. Опр2. Для функции f(x, y) выражение Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением. Опр3. Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх -> 0 и Dу -> 0 соответственно. Опр4: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у). dz=fx’(x,y)dx+fy’(x,y)dy Частные производные высших порядков. Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные fx’(x,y) и fy’(x,y) тоже будут определены в той же области или ее части. Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка. = Опр5. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными. Теорема о смешанных производных: Предположим, что 1) f(x,y) определена в открытой области G, 2)в этой области существуют производные fx’(x,y) и fy’(x,y), а также вторые смешанные производные ,3) эти смешанные производные как функции х и у непрерывны в некоторой точке (х0, у0) области D. Опр6: Диффер-ом 2-го порядка от функции 2ух переем-х, назыв.полный диффер-л от полного дифферен-ла функции 2-х переме-х и обозначается dz(M)=d(dz(M)).
42.Градиент ф-ции.производная по направлению. Градиентом ф-ции z=f(x,y) наз-ся вектор координаты к-го равны частным производным ф-ции. Вектор градиент показывает направление наибольшего роста ф-ции в данной точке. Производной ф-ции z=f(x,y) в направлении вектора l на з-ся предел отношения приращения ф-ции в т. в направление вектора l Ф-ла вычисления производной по направлению 43.Экстрэмумы ф-ции двух переменных. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка M0(x0;y0)ϵD. Опр1. Говорят, что функция z=f(x,y) имеет максимум в точкеM0(x0 ,y0), т.е. при x=x0, y=y0, если f(x0,y0)>f(x,y) для всех точек (x,y), достаточно близких к точке(x0 ,y0) и отличных от неё. Опр2. Говорят, что функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0 ,y0), т.е. при x=x0, y=y0, если f(x0,y0)<f(x,y) для всех точек(x,y), достаточно близких к точке(x0 ,y0) и отличных от неё. Мак. и мин. фун-ии назыв. экстре-ми функции. Теорема (необ-ое усл-е экст-ма фун-ии 2х перем-х). Если фун-я z=f(x,y) достигает экст-ма при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ-ет. Теорема (дост-ое усл-е экст-ма фун-ии 2х пере-х). Пусть в стационарной точке M0(x0;y0) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до 2го порядка включительно. Вычислим в точке M0(x0;y0) значения A=f'x'x(x0;y0), B=f'x'y(x0;y0), C=f'y'y(x0;y0)Обозначим. B2. Тогда: 1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке M0(x0;y0)имеет экстремум: макс., если A<0: мин., если A>0. 2. Если Δ<0, то функция f(x,y) в точке M0(x0;y0)экстремума не имеет. 3. В случае Δ=0 экстремум в точке M0(x0;y0)может быть, может не быть. Необходимо дополнительные исследования.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-26; просмотров: 333; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.239.110 (0.006 с.) |