Частные производные. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Определение 1.7 Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M₀(x₀,y₀,z₀) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М₀

По определению,

Частные производные по y и по z определяются аналогично:

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности B в данной точке P (x ₀, y ₀, z ₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

уравнение касательной плоскости

Определение 2. Нормалью к поверхности S в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

; уравнение нормали

40. Определение дифференцируемости ф-ции двух переменных.Полный дифференциал, признак полного дифференциала.Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. z=f(x,y) опр-на в обл-тиDCR², M0(x0,y0)∈D.Опр.1-ф-ия z=f(x,y) наз-сядиф-мой в т.M0, если её приращение ∆z(M0) м.б. представлено в виде:∆z(M0)=z(x0+∆x, y0+∆)-z(0,y0)=A∙∆x+B∙∆y+α∙(∆x,∆y)∙∆x+β(∆x,∆y)∙∆y (1), где Aи B не зависят от ∆xи ∆y, α(∆x,∆y)→0, β(∆x,∆y)→0 при ∆ρ=√(∆x)²+(∆y)² →0.Теорема 1.Для того, чтобы ф-ияz=f(x,y) была диф-ма в т.M0 н. и д., чтобы ф-ия в т.M0 имела конечные частные производные.A=Z'x(M0); B=Z'y(M0).В правой части формулы все 4 слагаемых стремятся к 0 при ∆ρ→0, но 3-е и 4-е слагаемые стремятся к 0 быстрее первых двух слагаемых, т.е. явл-сяб.м. более высокого порядка, чем первые два слагаемых.Поэтому, 1-е и 2-е слагаемые наз-ся главной частью полного приращения ф-ии двух переменных.Опр.1-диф-ом ф-ииz=f(x,y) в т.M0 наз-ся главная линейная по ∆xи ∆y часть полного приращения ф-ии в т.M0.dz(M0)=A∙∆x+B∙∆y=Z'_x(M0)∙∆x+Z'_y(M0)∙∆y.Для независимыхперемнныхxи y∆x=dx, ∆y=dy, dz(M0)=Z'_x(M) dx+Z'_y(M)dy. – формулы для вычисления полного диф-ла.dz=ρ(x,y)dx+Q(x,y)dy.Для того, чтобы формула была полным диф-м некоторой ф-ии двух переменных н. и д. выполнение усл-я: ɖρ/ɖy=ɖQ/ɖx.Приближённые вычисления с помощью полного диф-ла:Т.к. в правой части формулы (1) 3-е и 4-е слагаемые стремятся к 0 быстрее первых двух слагаемх, то при проведении приближ. Вычислений 3-м и 4-м слагаемыми пренебрегают и приближённо считают полное приращение ф-ии, совпадающим с полным диф-м ф-ии, т.е.:∆z(M0)≈dz(M0) ∆z(M0)≈z'_x(M0)∙∆+Z'_y(M0)∆y. Формулы для вычисления приближ.значения полного приращения ф-ии. z(x0+∆x, y0+∆y)-z(x0,y0)≈z'_x(M0)+Z'_y(M0)∙∆y. z(x0+∆x, y0+∆y)≈z(x0,y0)+Z'_x(x0,y0)∆x+z'_y(x0,y0)∙∆y. Формула для вычисления приближ. знач-я ф-ии.

41.Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Дифференциалы высших порядков функции 2х перемен-х. Опр1. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.Можно записать Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х. Аналогично определяется частная производная функции по у. Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0. Полное приращение и полный дифференциал. Опр2. Для функции f(x, y) выражение Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением. Опр3. Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх -> 0 и Dу -> 0 соответственно. Опр4: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у). dz=f_x^’(x,y)dx+f_y^’(x,y)dy Частные производные высших порядков. Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные f_x^’(x,y) и f_y^’(x,y) тоже будут определены в той же области или ее части. Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка. = Опр5. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными. Теорема о смешанных производных: Предположим, что 1) f(x,y) определена в открытой области G, 2)в этой области существуют производные f_x^’(x,y) и f_y^’(x,y), а также вторые смешанные производные ,3) эти смешанные производные как функции х и у непрерывны в некоторой точке (х0, у0) области D. Опр6: Диффер-ом 2-го порядка от функции 2ух переем-х, назыв.полный диффер-л от полного дифферен-ла функции 2-х переме-х и обозначается d_z(M)=d(d_z(M)).

42.Градиент ф-ции.производная по направлению. Градиентом ф-ции z=f(x,y) наз-ся вектор координаты к-го равны частным производным ф-ции.

Вектор градиент показывает направление наибольшего роста ф-ции в данной точке.

Производной ф-ции z=f(x,y) в направлении вектора l на з-ся предел отношения приращения ф-ции в т. в направление вектора l

Ф-ла вычисления производной по направлению

43.Экстрэмумы ф-ции двух переменных. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка M₀(x₀;y₀)ϵD.

Опр1. Говорят, что функция z=f(x,y) имеет максимум в точкеM₀(x₀ ,y₀), т.е. при x=x₀, y=y₀, если f(x₀,y₀)>f(x,y) для всех точек (x,y), достаточно близких к точке(x₀ ,y₀) и отличных от неё. Опр2. Говорят, что функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M₀(x₀ ,y₀), т.е. при x=x₀, y=y₀, если f(x₀,y₀)<f(x,y) для всех точек(x,y), достаточно близких к точке(x₀ ,y₀) и отличных от неё. Мак. и мин. фун-ии назыв. экстре-ми функции. Теорема (необ-ое усл-е экст-ма фун-ии 2х перем-х). Если фун-я z=f(x,y) достигает экст-ма при x=x₀, y=y₀, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ-ет. Теорема (дост-ое усл-е экст-ма фун-ии 2х пере-х). Пусть в стационарной точке M₀(x₀;y₀) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до 2го порядка включительно. Вычислим в точке M₀(x₀;y₀) значения A=f'x'x(x₀;y₀), B=f'x'y(x₀;y₀), C=f'y'y(x₀;y₀)Обозначим. B². Тогда: 1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке M₀(x₀;y₀)имеет экстремум: макс., если A<0: мин., если A>0. 2. Если Δ<0, то функция f(x,y) в точке M₀(x₀;y₀)экстремума не имеет. 3. В случае Δ=0 экстремум в точке M₀(x₀;y₀)может быть, может не быть. Необходимо дополнительные исследования.