Операция над пределами последовательностей.

Правило Лопиталя

33. Локальный и глобальный экстремум функции

34. Выпуклость и вогнутость графика функций. Точки перегиба.

35. Асимптоты графика функций.

36. Алгоритм полного исследования функции для построения её графика.

37. Функции двух переменных, геометрический смысл. Линии уровня поверхности.

38. Предел и непрерывность функции двух переменных.

39.Частные производные. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

40. Определение дифференцируемости ф-ции двух переменных.Полный дифференциал, признак полного дифференциала.Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

41.Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Дифференциалы высших порядков функции 2х перемен-х.

42.Градиент ф-ции.производная по направлению.

43.Экстрэмумы ф-ции двух переменных.

44.Исследование функции 2х перемен-ых на локальный экстремум.

45.Мнимая единица и комплексные числа. Комплексная плоскость и бесконечно большое комплексное число.\

46. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комп-го числа.

47. Операции над комплесными числами. Логарифм компле-го числа

48.Многочлены.Разложение многочленов на множители..

49. Выделение целой части неправильной алгебраической дроби.

50.Разложение правильной алгебраической дроби на простейшие.

51.Первообразная функция, неопределенный интеграл как множество первообразных, основные свойства неопределенных интегралов.

52.Таблица простейших интегралов.

53.Основные методы интегрирования: алгебраические и тригонометрические преобразования подынтегральной функции, дифференциальное преобразование подынтегральной функции, замена переменной интегрирования, интегрирование по частям.

54. Интегрирование рациональных дробей.

55. Интегрирование тригонометрических функций.

56.Интегрирование иррациональных функций.

57.Определенный интеграл, основные свойства, геометрический смысл.

58.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

59. Формула Ньютона-Лейбница.

60.Замена переменной и интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

61.Геометрические и физические приложения определнного интеграла.

62.Несобственные интергалы и определение их сходимости

63.Дифференцальные уравнения 2 порядка: уравнения с разделяющимися прямыми, в полных дифференцалах,однородные и линейные уравнения.

64. Лин. Однородные ДУ 2-го порядка. ФСР однородного лин. ДУ 2 порядка. Теорема о структуре решения

65. Лин. Неоднородные (ЛНДУ) ДУ 2 порядка. Структура общего решения ЛНДУ.

66. Общее решение однородного лин. Ур-ния 2 порядка с постоянными коэффицентами.

67.Нахождение частного и общего реш-ния неоднородного ур-ния 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

68.Метод вариации произвольных постоянных для опр частного решения неоднородного ДУ второго порядка.

69.Решение нормальной системы ДУ.

70.Числовые ряды.Сходимость ряда.Сумма ряда.

71.Простейшие св-ва рядов.Необходимый признак сходимости.

72.Признаки сх-ти рядов с положительными членами.

73.Знакопеременные ряды,абсолютная и условная сх-ти

74.Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

75.Функциональные ряды.Нахождение области сх-ти функционального ряда.

76.Степенные ряды.теорема Абеля.

77.Радиус и интервал сх-ти степенного ряда.

78.Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

79.Приближенные вичисления с помощью рядов(не будет)

80.Ряды Маклорена и Тейилора.Разложение элементарных ф-ций в степенные ряды.

 

 

1.Числовые множества, окрестность токи. Пусть R-мн-во действит.чисел.R(-∞;+∞) Между мн-вом действит.чисел R и точками числовой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Числовые мн-ва: 1)отрезок ,2)интервал , 3)полуинтервал(полуотрезки) Если а и b конечные числа,то числовой промежуток назыв.конечным.Если хотя бы одно из чисел а или b бесконечно,точислов.промежуток назыв.бесконечным(а; +∞)

Расширенная с-ма действит.чисел: . Св-ва ,2)если а-действительное , 3)если ,)4) 5) , 5) . Замечание:след.выражения назыв.неопределёнными: Окрестность точки(U): Пусть ллюбое число положительное,как правило маленькое (относительно). Опр1: -окрестностью точки а н-ся интервал

2.Определение ф-ции, способы задания. Пусть X и Y-числовые мн-ва . Опр: переменная внличина у н-ся ф-ей независимой переменной х, если к каждому по определению закону или правилу ставится соответсвие вполне опр-ное единичное значение . законы соответствия. Область определения D(y)=X. E(y)=Y-мн-во значений. Задать ф-цию-указать ее область опред. и закон соответствия..Опр:Графиком ф-ии y=f(x) опред. На мн-ве X н-ся м-во точек в плоскости Способы значения ф-ции:1)аналитический-задание ф-ции с помощью формулы.При таком способе задания область орп.ф-ции-ъто совокупность всех действит Х, которым соответствуют действ значения У,2)Табличный-закон соответствия между Х и У опр-ся таблицей,3)графический-закон соответствия сежду х и у опр-ся гарфиком,4) словесный-ф-ция Дирихля.

3.Свойства ф-ции:честность,нечетность,периодичность. Четная ф-ция должны быть опр. На мн-ве симметричном относительно нуля. График четной ф-ции симметрично относительно оси ординат.Четные: .Нечетность:симметричен относительно начала координат.Нечетная-ф-ция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x)=-f(x).Периодичность.ф-ция f(x) –периодическая,если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения ф-ции имеет место:f(x+T)=f(x).Такое наименьшее число н-ся периодом ф-ции.Все тригонометрические ф-ции яв-ся периодичными.

4.Основные элементарные ф-ции и их графики^ степеная ф-ция(

2)показательная:

3)логарифмическая:

4)тригонометрические:

5.Сложная ф-ция.Элементарные ф-ции. Ф-ция y=f(, определенная на мн-ве Х,н-ся сложной ф-цией от аргумента х.Область значения ф-ции y= (x)яв-ся областью опр ф-ции y=f(U). Ф-цию полученную в результате спер позиций н-ют сложной ф-цией.Элементраная ф-ция задается одной формулой. Элементарной-н-ют ф-цию. Которая задается одной формулой y=f(x), где выражения справа составлео из основных элементов ф-ций и постоянных при помощи конечного числа арифм.операций и конечного числа суперпозиций этих ф-ций.

6.Монотонная,обратная и ограниченная ф-ции. Монотонность ф-ции: Возрастающая –ф-ция,у которой большему значению аргумента из этого промежутки соответствует большее значение ф-ции.Убывающая-ф-ция,у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение ф-ции. Ф-ция н-ся ограниченной,если существует только положительное число М, что │f(x)│ M для всех значений Х.если такого числа не сущ-ет,то ф-ция-неограничена..ОПР.Ф-ция определенная на мн-ве Y,ставяща в соответствии каждому у из мн-ва У его прообраз н-ся обратной к ф-ции и обозначается При построении обр ф-ции у каждого у из мн-ва У должен быть прообраз должен быть единым.Поэтому обратную ф-цию можно построить для монотонно возрастающей, монотонно убывающей ф-ции.

7.Неявные ф и параметрически заданные ф-ции. Ф-цию н-ют явной,если оназадана ур-нием x=f(x) разрешенном относит У.Ф-ция н-ся заданной не явно.если она ограниченна ур-ием F(x,y)=0не разрешении относительно У.Неявная: Явная: .Параметрически заданные ф-ции зависимость между Х и У опр.через параметр. t-параметр

8.Определение последовательности.Св-вапоследовательностей. Последовательностью называетсячисловая ф-ия натурального аргумента.Виды последовательностей:1) Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если существует конечное число М, .2) Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если существует конечное число N, .3) -ограниченной,если она ограничена сверху и снизу. 4) -н-ся монотонно возрастающей(убывающей),если

9.Действие над последовательностями. 1) -сумма двух послед. 2) -разность 2-х послед. 3) -произведение 2-х послед. 4) частное 2-х послед

10.Предел последовательности.Связь между сходимостью и ограниченностью последовательности. Опр. 1 – число а наз-ся пределом {xn} lim (n→∞)xn=a, если для любого E>0 найдётся n→∞. Номер n_E, зависящий от E, такой, что |xn-a|<E для всех членов последоват-ти с номерами n>n_E.Геометрич. смысл предела {}:|U|<β -β<U<β |xn-a|<E -E<xn-a<E -E+a<xn<E+a a-E<xn<a+E. По Е-окрестности точки а найдётся номер na такой, что все члены {} с номерами n>n_Exn_E+1, xn_E+2, xn_E+3,… будут находитья в E-окрестности точки а. За пределами Е-окрестности т.а может находиться лишь конечное число членов последоват-ти. Опр.2 - {}на-сясходящейся, если она имеет конечный предел, т.е. lim (n→∞)xn=a, a-конечное число. Св-ва пределов{}: 1.если {}имеет предел, то он единственный. 2.если {}сходится, то она ограничена. 3.если xn=ynсущ-ет такой n≥n0, тогда lim(n→∞)xn=lim(n→∞)yn. 4.Если xn≤ynсущ-ет такой n≥n0, тогдаlim(n→∞xn≤lim(n→∞)yn. 5.(Св-во сжимающей переменной) если xn≤yn≤znи lim(n→∞)xn=lim(n→∞)zn=a, тогда lim(n→∞)yn=a.

11.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Опр1: Последовательности н-ся бм, если предел

Опр2 н-ся бб, если

Свойства бм и бб п-тей:1) если - бм, то она ограничена;2) сумма конечного числа бесконечн малых последовательностейесть бесконечно малая последовательность;3)произведение бм на ограниченную есть бб ;4) если -бм,то -бб;5)если -бб,то -бм

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. Если и , то ; если и , то аналогично Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа 0* . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Асимптоты графика функций.

Говорят, что прямая x=a является вертикальной асимптотой графика непрерывной функции y=f(x), если хотя бы один из пределов равен ∞.

Если функция y=f(x) задана для , то говорят, что прямая y=kx+b является наклонной асимптотой непрерывной кривой y=f(x) при , если f(x)=kx+b+a(x), где , т. е. - бесконечно малая функция при Т е о р е м а. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при наклонную асимптому, необходитмо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

,

и тогда прямая есть асимптота

Правило Лопиталя

33. Локальный и глобальный экстремум функции

34. Выпуклость и вогнутость графика функций. Точки перегиба.

35. Асимптоты графика функций.

36. Алгоритм полного исследования функции для построения её графика.

37. Функции двух переменных, геометрический смысл. Линии уровня поверхности.

38. Предел и непрерывность функции двух переменных.

39.Частные производные. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

40. Определение дифференцируемости ф-ции двух переменных.Полный дифференциал, признак полного дифференциала.Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

41.Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Дифференциалы высших порядков функции 2х перемен-х.

42.Градиент ф-ции.производная по направлению.

43.Экстрэмумы ф-ции двух переменных.

44.Исследование функции 2х перемен-ых на локальный экстремум.

45.Мнимая единица и комплексные числа. Комплексная плоскость и бесконечно большое комплексное число.\

46. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комп-го числа.

47. Операции над комплесными числами. Логарифм компле-го числа

48.Многочлены.Разложение многочленов на множители..

49. Выделение целой части неправильной алгебраической дроби.

50.Разложение правильной алгебраической дроби на простейшие.

51.Первообразная функция, неопределенный интеграл как множество первообразных, основные свойства неопределенных интегралов.

52.Таблица простейших интегралов.

53.Основные методы интегрирования: алгебраические и тригонометрические преобразования подынтегральной функции, дифференциальное преобразование подынтегральной функции, замена переменной интегрирования, интегрирование по частям.

54. Интегрирование рациональных дробей.

55. Интегрирование тригонометрических функций.

56.Интегрирование иррациональных функций.

57.Определенный интеграл, основные свойства, геометрический смысл.

58.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

59. Формула Ньютона-Лейбница.

60.Замена переменной и интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

61.Геометрические и физические приложения определнного интеграла.

62.Несобственные интергалы и определение их сходимости

63.Дифференцальные уравнения 2 порядка: уравнения с разделяющимися прямыми, в полных дифференцалах,однородные и линейные уравнения.

64. Лин. Однородные ДУ 2-го порядка. ФСР однородного лин. ДУ 2 порядка. Теорема о структуре решения

65. Лин. Неоднородные (ЛНДУ) ДУ 2 порядка. Структура общего решения ЛНДУ.

66. Общее решение однородного лин. Ур-ния 2 порядка с постоянными коэффицентами.

67.Нахождение частного и общего реш-ния неоднородного ур-ния 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

68.Метод вариации произвольных постоянных для опр частного решения неоднородного ДУ второго порядка.

69.Решение нормальной системы ДУ.

70.Числовые ряды.Сходимость ряда.Сумма ряда.

71.Простейшие св-ва рядов.Необходимый признак сходимости.

72.Признаки сх-ти рядов с положительными членами.

73.Знакопеременные ряды,абсолютная и условная сх-ти

74.Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

75.Функциональные ряды.Нахождение области сх-ти функционального ряда.

76.Степенные ряды.теорема Абеля.

77.Радиус и интервал сх-ти степенного ряда.

78.Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

79.Приближенные вичисления с помощью рядов(не будет)

80.Ряды Маклорена и Тейилора.Разложение элементарных ф-ций в степенные ряды.

 

 

1.Числовые множества, окрестность токи. Пусть R-мн-во действит.чисел.R(-∞;+∞) Между мн-вом действит.чисел R и точками числовой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Числовые мн-ва: 1)отрезок ,2)интервал , 3)полуинтервал(полуотрезки) Если а и b конечные числа,то числовой промежуток назыв.конечным.Если хотя бы одно из чисел а или b бесконечно,точислов.промежуток назыв.бесконечным(а; +∞)

Расширенная с-ма действит.чисел: . Св-ва ,2)если а-действительное , 3)если ,)4) 5) , 5) . Замечание:след.выражения назыв.неопределёнными: Окрестность точки(U): Пусть ллюбое число положительное,как правило маленькое (относительно). Опр1: -окрестностью точки а н-ся интервал

2.Определение ф-ции, способы задания. Пусть X и Y-числовые мн-ва . Опр: переменная внличина у н-ся ф-ей независимой переменной х, если к каждому по определению закону или правилу ставится соответсвие вполне опр-ное единичное значение . законы соответствия. Область определения D(y)=X. E(y)=Y-мн-во значений. Задать ф-цию-указать ее область опред. и закон соответствия..Опр:Графиком ф-ии y=f(x) опред. На мн-ве X н-ся м-во точек в плоскости Способы значения ф-ции:1)аналитический-задание ф-ции с помощью формулы.При таком способе задания область орп.ф-ции-ъто совокупность всех действит Х, которым соответствуют действ значения У,2)Табличный-закон соответствия между Х и У опр-ся таблицей,3)графический-закон соответствия сежду х и у опр-ся гарфиком,4) словесный-ф-ция Дирихля.

3.Свойства ф-ции:честность,нечетность,периодичность. Четная ф-ция должны быть опр. На мн-ве симметричном относительно нуля. График четной ф-ции симметрично относительно оси ординат.Четные: .Нечетность:симметричен относительно начала координат.Нечетная-ф-ция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x)=-f(x).Периодичность.ф-ция f(x) –периодическая,если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения ф-ции имеет место:f(x+T)=f(x).Такое наименьшее число н-ся периодом ф-ции.Все тригонометрические ф-ции яв-ся периодичными.

4.Основные элементарные ф-ции и их графики^ степеная ф-ция(

2)показательная:

3)логарифмическая:

4)тригонометрические:

5.Сложная ф-ция.Элементарные ф-ции. Ф-ция y=f(, определенная на мн-ве Х,н-ся сложной ф-цией от аргумента х.Область значения ф-ции y= (x)яв-ся областью опр ф-ции y=f(U). Ф-цию полученную в результате спер позиций н-ют сложной ф-цией.Элементраная ф-ция задается одной формулой. Элементарной-н-ют ф-цию. Которая задается одной формулой y=f(x), где выражения справа составлео из основных элементов ф-ций и постоянных при помощи конечного числа арифм.операций и конечного числа суперпозиций этих ф-ций.

6.Монотонная,обратная и ограниченная ф-ции. Монотонность ф-ции: Возрастающая –ф-ция,у которой большему значению аргумента из этого промежутки соответствует большее значение ф-ции.Убывающая-ф-ция,у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение ф-ции. Ф-ция н-ся ограниченной,если существует только положительное число М, что │f(x)│ M для всех значений Х.если такого числа не сущ-ет,то ф-ция-неограничена..ОПР.Ф-ция определенная на мн-ве Y,ставяща в соответствии каждому у из мн-ва У его прообраз н-ся обратной к ф-ции и обозначается При построении обр ф-ции у каждого у из мн-ва У должен быть прообраз должен быть единым.Поэтому обратную ф-цию можно построить для монотонно возрастающей, монотонно убывающей ф-ции.

7.Неявные ф и параметрически заданные ф-ции. Ф-цию н-ют явной,если оназадана ур-нием x=f(x) разрешенном относит У.Ф-ция н-ся заданной не явно.если она ограниченна ур-ием F(x,y)=0не разрешении относительно У.Неявная: Явная: .Параметрически заданные ф-ции зависимость между Х и У опр.через параметр. t-параметр

8.Определение последовательности.Св-вапоследовательностей. Последовательностью называетсячисловая ф-ия натурального аргумента.Виды последовательностей:1) Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если существует конечное число М, .2) Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если существует конечное число N, .3) -ограниченной,если она ограничена сверху и снизу. 4) -н-ся монотонно возрастающей(убывающей),если

9.Действие над последовательностями. 1) -сумма двух послед. 2) -разность 2-х послед. 3) -произведение 2-х послед. 4) частное 2-х послед

10.Предел последовательности.Связь между сходимостью и ограниченностью последовательности. Опр. 1 – число а наз-ся пределом {xn} lim (n→∞)xn=a, если для любого E>0 найдётся n→∞. Номер n_E, зависящий от E, такой, что |xn-a|<E для всех членов последоват-ти с номерами n>n_E.Геометрич. смысл предела {}:|U|<β -β<U<β |xn-a|<E -E<xn-a<E -E+a<xn<E+a a-E<xn<a+E. По Е-окрестности точки а найдётся номер na такой, что все члены {} с номерами n>n_Exn_E+1, xn_E+2, xn_E+3,… будут находитья в E-окрестности точки а. За пределами Е-окрестности т.а может находиться лишь конечное число членов последоват-ти. Опр.2 - {}на-сясходящейся, если она имеет конечный предел, т.е. lim (n→∞)xn=a, a-конечное число. Св-ва пределов{}: 1.если {}имеет предел, то он единственный. 2.если {}сходится, то она ограничена. 3.если xn=ynсущ-ет такой n≥n0, тогда lim(n→∞)xn=lim(n→∞)yn. 4.Если xn≤ynсущ-ет такой n≥n0, тогдаlim(n→∞xn≤lim(n→∞)yn. 5.(Св-во сжимающей переменной) если xn≤yn≤znи lim(n→∞)xn=lim(n→∞)zn=a, тогда lim(n→∞)yn=a.

11.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Опр1: Последовательности н-ся бм, если предел

Опр2 н-ся бб, если

Свойства бм и бб п-тей:1) если - бм, то она ограничена;2) сумма конечного числа бесконечн малых последовательностейесть бесконечно малая последовательность;3)произведение бм на ограниченную есть бб ;4) если -бм,то -бб;5)если -бб,то -бм

Операция над пределами последовательностей.

Арифмитические операции над пределами сходящихся последовательностей:

Пусть , a и b-конечные числа,тогда:1) ; 2) ;3) , если b