Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства

60.Замена переменной и интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла. 1. Непосредств. интегриров-е основано на тождественных преобр-х под знаком интеграла, применениисв-в линейности опр-го интеграла, таблице неопр-х интегралов и применении формулы Ньютона-Лейбница. 2. Подстановка или замена переменной в опр-м интеграле: Пусть f(x) неопр. на [a,b], а ф-ияx=ϕ(t) имеет непрерывную производную на[α,β] и при t∈[α,β], x=ϕ(t)∈[a,b], причём ϕ(t)=a, ϕ(β)=b. Тогда: b x=ϕ(t) ∫f(x)dx= dx=ϕ'(t)dt = ∫f(ϕ(t))ϕ'(t)dt. a ϕ(α)=a ϕ(β)= b. При применении этой формулы надо не забыть поменять пределы интегриров-я. 3. Интегриров-е по частям в опр-м интеграле. Теорема. Пусть ф-ииU(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a,b]. Тогда: bbb ∫UdV = U∙V ⎸VdU, гдеU∙V ⎸ = U(b)∙V(b)-U(a)∙V(a). aaa

61.Геометрические и физические приложения определнного интеграла. Геометрическое приложение. І Вычисление площадей плоских фигур. 1)Y=f(x), f(x)≥0 при x∈ [a,b] S=∫^b_a f(x)dx. 2)Y=f(x), f(x)≤0 ∀x∈[a,b] S= -∫^b_a f(x) dx = │∫^b_a f(x) dx│ Y=f₁(x) Y=f₂(x) f₁(x)≤ f₂(x) ∀x∈[a,b] S=∫^b_a (f₂(x) – f₁(x)) dx 3)Область ограничена кривой L, заданной параметрически S=∫^β_α y(t) x’(t) dt = ∫^β_α x(t) y’(t) dt S=∫^d_c φ(y) dy ІІ Вычисление длины дуги кривой 1)L: y=f(x), при x∈ [a,b] Длина L=∫^b_a dx 1) Длина L= ∫^β_α ІІІ Вычисление объёмов тел вращения L: y=f(x), ∀x∈[a,b] V_ox = П ∫^b_a f² (x) dx 1)L: x= φ(y) y∈ [c, d] V_oy = П ∫^d_c φ²(y) dy

62. Несобственные интеграли и опредление их сходимости. ∫^b_a f(x)dx В определении опр. Интеграла по Риману должны выполняться 2 требования: 1)пределы а и б-конечные числа 2)f(x) должна быть ограничена на [a,b] Если хотя бы одно из двух требований нарушается, то мы имеем дело с несобственными интегралами. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РОДА: ∫^+∞_{а f(x)dx} f(x) определена на [a, +∞] и интегрируема на [a, A] при каждом конечном А≥а ∫^+∞_{а f(x)dx}= lim ∫^A_af(x) dx (1) Если в правой части (1) предел существует и кронечен, то несобственный интеграл в левой части этой формулы наз. Сходящимся. Если в правой части (1) предел бесконечен или не сущ., то несобственный интеграл в левой части этой формулы наз. Расходящимся 2)∫^а_-∞ f(x) dx f(x) определена на (-∞, a] и интегрируема на каждом отрезке[B, a] при В≤а для любого конечного В. ∫^а_-∞ f(x) dx=lim ∫^a_B f(x) dx (2) Рассуждения в (2), такие же как в (1). 3)∫^+∞_-∞ f(x) dx Пусть f(x) определена на (-∞,+∞) и интегрируема на [a,b] при любых конечных числах a и b. ∫^+∞_-∞ f(x)dx = ∫^a_-∞ f(x)dx + ∫^+∞_af(x)dx (3) Если в правой части (3) оба интеграла сходятся, то интеграл в левой части наз. Сходящимся Если в правой части (3) хотя бы один из двух интегралов расходится, то интеграл в левой части этой части этой формулы наз. Расходящимся. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА-это интегралы от неограниченных ф-ий на конечном промежутке 4)∫^b_a f(x) dx ^lim_x→a+0 f(x)=∞ f(x) непрерывна на (a,b] ∫^b_a f(x) dx=^lim_{E→0, E˃0} ∫^b_a+E f(x) dx (4) рассуждения в (4) такие же как в (1) 5)∫^b_a f(x)dx ^lim_x→b f(x)=∞ f(x) непрерывна на [a,b) ∫^b_a f(x)dx=^lim_{E→0, E˃0} ∫^b-E_a f(x) dx 6)∫^b_a f(x)dx ^lim_x→c f(x)=∞ a˂c˂b f(x) непрерывна на [a,c)Ụ (c,b] ∫^b_a f(x)dx = ∫^c_a f(x)dx + ∫^b_с f(x)dx(6) Рассуждения в (6), такие же как в (3).

63.Дифференцальные уравнения 2 порядка: уравнения с разделяющимися прямыми, в полных дифференцалах,однородные и линейные уравнения. ДУ наз. Ур-ние вида F(x,y,y’,y’’,…,y⁽ⁿ⁾)=0, где x-независимая переменная, y(x)-неизвестная ф-ия, y’,y’’,…,y⁽ⁿ⁾ – производные неизвестной ф-ции. Порядок ДУ определяется по формуле старшей производной, входящей в это ур-ние. Решение ДУ на (a,b) наз. Всякая ф-ия y=фи(x), удовлетворяющая ДУ на (a,b). Решение ДУ наз. Интегральными прямыми. Если у зависит от одной переменной, то ДУ наз. Обыкновенными. Если неизвестная ф-ия хависит от двух и более переменных, то ур-ние содержащая у ф-ию и её частные производные наз. Ур-нием математической физики. ДУ первого порядка наз. Ур-ние вида F(x,y,y’)=0 (1) или y’=f(x,y) (1’),где x-независимая переменная, y(x)-неизвестная ф-ия, y’-производная неизвестной ф-ии. Ур-ние (1’) наз. Ур-нием разрешённым относительно производной. Решением ур-ния (1) наз. Всякая ф-ия удовлетворяющая ур-yb. (1) на (a,b) Общим решением ур-ния (1) наз ф-ия y=фи (x,C) зависящая от переменной х и одной произвольной постоянной С и удовлетворяющая ур-нию (1) при любом значении постоянной С. Частным решение ур-ния (1) наз решение полученное из общего при конкретном значении постоянной С. Начальными условиями для ДУ 1-го порядка наз пара х_0, у_0, к-рая записываетя в виде y│_x-x0=y₀ или y(x₀)=y₀ Решением задачи Коши с нач. условиями х₀, у₀ наз частное решение y=фи(х, С₀), удовлетворяющее заданным нач усл. У₀=фи(х₀, С₀) Теорема Коши (о существовании и единственности решения). ПУСТЬ в ур-нии y’=f(x,y) правая часть f(x,y) и f’y(x,y)непрерывны в обл. Д С R², тогда любая точка (х₀, у₀)?Д сущ и притом единственное решение ур-ния у=фи(х,С₀) проходящее через точку (х₀, у₀) Особое решение ДУ(1) это решение ур-ния (1), к-рое нельзя получить из общего решения ни при каком значении С. Замечание: в общем реш-нии ур-ния (1) у явл явной ф-ией, у=фи(х, С), если при интегрировании ур-ния решения в явном виде не удаётся найти, т.е. получается зависимость Ф(х,у,С)=0 то тогда ур-ние у=фи (х, С) наз общим интегралом ур-ния (1) ДУ 1 порядка с разделёнными переменными наз ур-ние вида Р(х)dx+Q(y)dy=0 P(x)dx=-Q(y)dy C+∫P(x)dx=-∫Q(y)dy- общий интеграл исходного ур-ния ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными наз. Ур-ние вида M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 M₁(x), N₁(y), M₂(x), N₂(y)-известные непрерывные ф-ии M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 │: N₁(y)M₂(x)≠0 M₁(x) / M₂(x) dx+N₂(y)/N₁(y) dy=0 Получилось ур-ние с разделёнными переменными Замечание: после реш-ния ур-ния надо проверить не явл ли ф-ии у=у₁, х=х₁, где N₁(y₁)=0 M₂(x₁)=0 решениями исходного ур-ния f(x,y) наз однородной ф-ией n-го измерения по своим переменным, если f(tx,ty)=tⁿ f(x,y) однородной ф-ией нулевого измерения по своим переменным наз f(x,y) удовлетворяющая условию f(tx,ty)=f(x.y) свойства:1) Однородная ф-ия нулевого измерения фактически зависит от отношения y/x f(tx,ty)=f(x/x, y/x)=f(1, y/x)=f(x,y) при t=1/x 2)Отношение двух однородных ф-ий одного и того же измерения есть однородная ф-ия нулевого измерения Однородным диффер-ым ур-нием 1 порядка наз. Ур-ние разрешённое относительно производной y’=f(x,y) правая часть кот-го явл. Однородной ф-ией нулевого измерения. f(tx,ty)=f(x,y) Решением ур-ния ищем в виде y=xu(x), где u(x)-неизвестная ф-ия. y’=u(x)+xu’(x) подставим y=xu и y’=u+xu’ в исходное ур-ние u+xu’=f(x,xu) u+xu’=x⁰ f(1;u) –т.к. f-однородная ф-ия нулевого измерения u+xu’=f(1,u) (*) ур-ние (*)-это ур-ние с разделяющимися переменными xu’=f(1,u)-u x•du/dx=f(1,u)-u du/f(1,u)=dx/x ∫du/(f(1,u)-u)=∫(dx/x) ∫(du/f(1,u)-u)=ln│x│+C - общий интеграл вспомогателного ур-ния(*) Чтобы получить общий интеграл исходного ур-ния надо в общий интеграл вспомогательного ур-ния (*)заменить u на y/x Линейным ДУ 1 порядка наз. Ур-ние вида: a(x)y’+b(x)y=C(x) или y’+p(x)y=q(x) (1) a(x), b(x), c(x), p(x), q(x)-известные непрерывные ф-ии Ур-ние наз. Линейным потому что y и y’ входят в это ур-ние в первой степени Решение ур-ния ищется в виде: y(x)=u(x)•v(x), где u(x)и v(x)-неизвестные ф-ии y’=u’(x)•v(x)+u(x)•v’(x)=u’•v+u•v’ подставим y и y’ в ур-ние (1) u’•v+u•v’+p(x)u•v=q(x) (*) Замечания: Чтобы решить лин. Ур-ние надо решить 2 ур-ния с разделяющимися перменными Получится общее решение исходного ур-ния

64. Лин. Однородные ДУ 2-го порядка. ФСР однородного лин. ДУ 2 порядка. Теорема о структуре решения ЛОДУ 2 порядка наз ур-ние вида: Y’’+ P(x)y’+Q(x)y=0 (2) P(x) и Q(x) –известные непрерывные ф-ии Ур-ние однородное потому что в правой части стоит 0. Ур-ние линейное, т.к. y, y’, y’’ входят в ур-ние в 1 степени Св-ва решений ур-ния (2): 1)Если y₁ и y₂-решения ур-ния (2), то y₁+y₂-решения ур-ния (2) 2)Если y₁-решение ур-ния (2), то Су₁-решение ур-ния (2), где С-постоянная Из св-в 1 и 2 следует что множество решений ЛОДУ явл. Лин. Пространством. ФСР ЛОДУ(2)наз. Любая пара лин. Незав нешений этого ур-ния Теорема о структуре общего решения ЛОДУ: пусть y₁(x) и y₂(x) образуют ФСР ур-ния (2) тогда общее решение y(x) ур-ния (2) может быть записано в виде y(x)=C₁y₁(x)+C₂y₂(x), где С₁ и С₂-произвольные постоянные

65. Лин. Неоднородные (ЛНДУ) ДУ 2 порядка. Структура общего решения ЛНДУ. ЛНДУ 2 порядка наз. Ур-ние вида: y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x) (3) Ур-ние лин, т.к. y,y’,y’’ входят в ур-ние 1 степени, ур-ние неоднородное т. К. правая часть f(x)≠0 P(x), Q(x)-известные непрерывные ф-ии. Св-ва решений ур-ния (3): Пусть y₁-решение НД (3), а y₂-решение ОУ (2), тогда y₁+y₂-решение НУ (3). Теорема о структуре общего решения ЛНДУ 2 порядка: Пусть y-общее решение лин. Неоднородного ур-ния (3). y͞-общее решение соответствующего ему лин. Ур-ния (2) y^*-частное реш-ние ЛНУ (3), тогда y= y͞+ y^*

66. Общее решение однородного лин. Ур-ния 2 порядка с постоянными коэффицентами. ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэфф. Наз ур-ние вида y’’+py’+qy=0 (7) P,q-постоянные числа Реш-ние ур-ния (7) будем искать в виде y=e^kx K²+pk+q=0 (8)-характеристическое ур-ние для ур-ния (7) Y’’→k² Y’→k y→1 Вид общего реш-ния ур-ния (7) зависит от корней характеристического ур-ния (8) D=p²-4q˃0, k₁≠k₂ Y₁=e^k1x y₂=e^k2x -решение ур-ния (7) Y₁/y₂=e^k1x/e^k2x=e^(k1-k2)x≠const Y₁,y₂-образуют ФСР Y=C₁y₁+C₂y₂=C₁e^k1x+C₂e^k2x 2)D=p²-4q=0 k₁=k₂ Y₁=e^k1x Y₂=e^k1x•x Y₁, y₂-решение ур-ния (7) Y_1/y₂=e^k1x/e^k1x•x=1/x≠const Y=C₁y₁+C₂y₂=C₁e^k1x+C₂xe^k1x= e^k1x(C₁+C₂x) Y=(C₁+C₂x)e^k1x 3)D˂0 k₁=альфа+бетаi K₂=альфа-бетаi i=√-1 -мнимая единица y=e^альфаx(C₁cosбетах+С₂sinбетах)

67.Нахождение частного и общего реш-ния неоднородного ур-ния 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. ЛНДУ 2 порядка: y’’+py’+qy=f(x) (9) P,q-постоянные Y=y͞+y^* Если правая часть ур-ния (9) f(x) имеет спец вид, то частное решение ур-ния (9) подбирают по виду f(x) ①f(x)=P_n(x)e^ax P_n(x)-известный многочлен степени n P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n 1)число а не явлю корнем характерист. Ур-ния (8) y^*=P͠_n(͠x)e^ax, где P͠_n(x)-неизвестный многочлен степени n (такой же, как степень P_n(x)) c неопр. Коэффиц. 2)число а явл двукратным корнем характерист. Ур-ния (8), тогда Y^*=xP͠_n(x)e^ax 3)число а явл двукратным корнем характерист. Ур-ния (8), тогда Y^*=x^r P͠_n(x)e^ax r-кратность числа а, как корня характерист. Ур-ния (8) r=0,1,2 ②f(x)=e^{альфа х}(P_n(x)cos бетта х+Q_m(x)sin бетта х) Q_m(x)-известный многочлен степени n. N=max{n,m} Проверяется число альфа+бетта i, где i=√-1 1)Альфа+бетта i не явл. Корнем характерист. Ур-ния (8), тогда Y^*=e^{альфа х}(P͠_N(x)cos бетта х+Q͠_N(x)sin бетта х), где P͠_N(x), Q͠_N(x)-неизвестные многочлены с неопр. Коэффициентами степени N. 2)Альфа+бетта i явл однократным корнем характеристич. Ур-ния, тогда Y^*=х e^{альфа х}(P͠_N(x)cos бетта х+Q͠_N(x)sin бетта х) Обе написанные формулы можно объединить в одну: Y^*=х^r e^{альфа х}(P͠_N(x)cos бетта х+Q͠_N(x)sin бетта х), где r-кратность числа Альфа+бетта i, как корня характерист. Ур-ния (8). r=0,1.

70.Числовые ряды.Сходимость ряда.Сумма ряда. Пусть Un-некоторая числовая последовательность. {Un}={U1, U2, U3, U4,…,Un,…}, Un∈R. Опр.1-числовым рядом наз-ся выражение вида: ∞ ∑Un=U1+U2+U3+U4+…+Un+… (1) n=1 Un-общий член ряда. Рассмотрим последоват-ть частичных сумм ряда: S1=U1 S2=U1+U2 S3=(U1+U2)+U3=S2+U3 S4=U1+U2+U3+U4=S3+U4 Sn=U1+U2+U3+…+Un-₁+Un=Sn-₁+Un. Sn=Sn-₁+Un. Опр.2-если предел Sn-сущ-ет и конечен, то ряд (1) наз-я сходящимся и его сумма S=limSn. n→∞ Опр.3-если limSn-не сущ-ет или бесконечен, то ряд (1) наз-сярасходящимся.