Непрерывность функции одной переменньой в точке .Односторонняя непрерывность

Пусть определенана мн-ве . F(x)- непрерывная в точке ,если ф-ции в точке совпадает со значением ф-ции в точке опр2.f(x) н-ся непрерывной в точке , если (опр.непрерывсности на языке прирощения)

19.Свойства в ф-ции.Непрерывность в точке. Поскольку точки непрерывности функцииf(x) задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы. Т 1 Пусть ф-ииf(x) g(x) непрерывны в точке . Тогда функции , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке . Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные: Доказательство. Действительно, постоянные это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма . Т 2 Пусть функции f и g таковы, что существует композиция , . Пусть функция g непрерывна в точке , а функция f непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция h=f*g непрерывна в точке . Доказательство. Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит, (последнее равенство следует из непрерывности функции f в точке ). Значит, , а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке . Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа: Т 3 Пусть функцииf(x) и g(x) непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если g( , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке . Т 4 Пусть функция g(x) непрерывна слева (справа) в точке , а функция f(U) непрерывна в точке . Тогда композицияh=f*g непрерывна слева (соотв. справа) в точке

20.Непрерывность сложной, обратной ф-цй. Теорема 1(арифметич.Операции над непрерывными ф-ми). Пусть ф-ииf(x) и g(x) непрерывны в т.x0. Тогда, в т.x0 будут непрерывными: 1.f(x)±g(x) 2.f(x)∙g(x) 3.f(x)/g(x), еслиg(x)≠0. lim(x→x0) f(x)/g(x)=lim(x→x0) f(x)/lim(x→x0) g(x)=f(x0)/g(x0), если g(x0)≠0. Теорема 2.(непрерывность сложной ф-ии). Пусть ф-ияy=f(U) непрерывна в т.U₀, а ф-ияU=ϕ(x)непрерывна в т.x0, причём ϕ(x0)=U₀. Тогда, сложная ф-ияy=f(ϕ(x)) непрерывна в т.x0 и lim(x→x0) y(x)=lim(x→x0) f(ϕ(x))=f(ϕ(x0)), при этом lim(x→x0) f(ϕ(x))=f(lim(x→x0) ϕ(x))=f(ϕx0)) –возможен предельный переход под знаком непрерывной ф-ии. Теорема 3. Y=f(x) имеет обратную ф-июx=f^-1(y) и непрерывна в т.x0∈X. Тогда, обратная ф-ияx=f^-1(y) будет непрерывнав т.y0=f(x0). Теорема 4 (о сохр-и знаканепрерывной ф-ии). Пусть ф-ияf(x) непрерывна в т.x0, и f(x0)>0, тогда сущ-ет окрестность в т.x0 (x0-δ, x0+δ), в кот. f(x) тоже будет>0.

21 Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций. Опр1. н-ся непрерывной на мн-ве Х, если она не прерывна в каждой точке этого мн-ва. Непрерывность нек ф-ций: 2)y=x, при (у=х непрерывна на всей числовой оси)3) Эта ф-ция непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных мн-телей.4)Целая рациональная ф-ция Непрерывная ф-ция на всей числовой оси, как сумма непрерывных слагаемых(каждое слагаемое есть произведение непрерывных ф-ций постоянной, степенной)5)Дробно-рациональная ф-ция отношение 2-х многочленов непрерывно в тех точках, где знаменатель .6)y=sinx(тригонометрическая) Из опр непрерывности ф-ции на языке прирощений следует, что y=sinx-непрерывна в люб точке числовой оси. 7) y=cosx-непрерывна, как сложная ф-ция от двух непрерывных ф-ций.8)y=tgx, y=ctgx- непрерывны в своей области определения.9) обратные тригонометрические ф-ции непрерывны-по теореме о непрерывности обратной ф-ции. Т1:Всякая элементарная ф-ция непрерывна в своей области определения.

22 Свойства функций, непрерывных на отрезке. Т1:Если ф-ция непрерывна на отрезке ,то на этом отрезке она ограничена. Т2: Если f(x) непрерывна на отрезке ,то на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений.Т3(о промежуточном значении непрерывности ф-ции) Пусть f(x) неприрывна на отрезке , , тогда для ,в которой . Т4: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда , в которой