Простейшие св-ва рядов.Необходимый признак сходимости.

Основные св-ва

1.Если все члены ряды умножить на одно и тоже число не равное 0,то это действие не влияет на сходимость ряда

2.Если к ряду вы прибавите конечное число слагаемых или удалить из него конечгое число членов ряда, сх-сть ряда не изменится.

Теорема (необход.признак сх-ти ряда)

Если ряд сх-тся то общий член ряда стремится к 0

Замечание.

Обратное утверждение к теор.вообще говоря не верно:из того что общий член ряда стремится к 0

Примеры =1+ + + +…+ +… гармонический ряд расх-ся

Un=1/n 0 при n 0

2) =1+ + + ряд сх-ся Un=

Признаки сх-ти рядов с положительными членами.

Закономерным положительным рядом наз-ся числовой ряд ,где

Теорема (критерий сходимости положительного ряда)

Для того чтобы ряд с положитедьными членами сх-ся н. и д. чтобы послед-сть частичных сумм этого ряда была ограничена сверху конечными числами.

Признаки сравнения 1) ,

2) ,

Теорема(признак сх-ти положительных рядов)

Пусть общие ряды 2 и 3 связаны неравенством

Если ряд 3 с большими членами сх-ся то ряд 2 с меньшими чл.расх-ся.

Если ряд 2 с меньшими чл. Расходится,то расходится ряд 3 с больш.чл.

Тер.(предельный признак сх-ти рядов)

Пусть для чл. положит.рядов 2 и 3 =L(,тогда оба ряда ведут себя одинаково,т.е.оба сх-ся или расх-ся одинаково.

В качестве рядов сравнения выбираем один из двух эталонов рядов

1) сх-ся при 0

Расх-ся при q

2)

ряд расх-ся при

Признаки сравнения удобно применять к рядам вида , ,

Предельный признак удобно применять к рядам,общие члены к-ых яв-ся многочл-ми по n.

Теорема(Признак Даламбера)

Пусть для полож.ряда 2

Если то ряд 2 сх-ся,если Д то ряд 2 расх-ся

Замечание

1.при Д=1 вопрос о сх-ти ряда остается открытым

2.если общ.чл. ряда представляет собой отношение многоч-ов по n,то для таких рядов Д=1,таким признак Даламбера не применяется

3.признак Даламбера применяется к рядам общ.чл. к-ых содержат

 

-показательную функции.

-факториалы

-накативиющиеся множители

Теорема (радикальный признак Коши)

Пусть для членов положит.ряда 2 К=

Если К то ряд 2 сх-ся,К расх-ся

Замечание

1.При К=1 вопрос о сх-ти ряда остается открытым

2.

3.Радикальный признак Коши применим к рядам общ.чл.к-ых содержат

-показ.ф-ции,степенно показ.ф-цию по n

Теорема (Интегральный признак Коши-Маклорена)

Пусть ф-ция f(x) удовлетворяет условиям

1)f(x) оредел.и непрерыв.на [1,

2)f(x)

3)f(x)

4)f(x)=

Если не собст.интеграл сходится то сх-ся ряд 2.если несобств.интеграл расх-ся то расх-ся ряд2

Знакопеременные ряды,абсолютная и условная сх-ти

Ряд (3) наз-ся знакопеременным если он содержит положит и отриц члены.

Составим ряд из модулей членов ряда (3) (4)

Ряд 4 положительный и к нему можно применить достаточные признаки сх-сти полож.рядов.

Теорема

Если ряд из модулей 4 сх-ся то сх-ся ряд 3.

Опр.1знакоперемен. ряд 3 наз-ся абсолютн сходящимся

если сх-ся 4 составлен. из модулей его членов.

Из теоремы следует что абсолютная сх-сть ряда влечет за собой обычную сх-сть ряда.

Опр.2 закономерн.ряд 3наз-ся условно-сходящимся если он сам сх-ся а ряд составленный из модулей его членов расх-ся.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Знакочередующ.рядом наз-ся ряд любые два соседних членов к-го имеют противоположные знаки.

,где (5)

 

Теорема.(Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.)

Если в знакочеред.ряде 5 члены ряда монотонно убывают по абсолют.величине

и член ряда ,тогда ряд 5 сх-ся и его сумма не превосходит первого члена ряда.

Функциональные ряды.Нахождение области сх-ти функционального ряда.

Функциональным рядом наз-ся выражение вида:

(1)

 

- общий член ряда

T-обл.опр.ряда

(2)-числовой ряд

Если ряд 2 сх-ся то х0 наз-ся т-ой сходимости функционального ряда1.

Если ряд 2 расх-ся то х0 наз-ся т-ой расходимости функ-ного ряда1.

Областью сх-ти ряда 1 наз-ся совокупность всех точек сх-ти этого ряда.

Областью абсолютной сх-ти функ-ного ряда наз-ся совокупность точек в кот.ряд1 сх-ся абсолютно.

(3)

При каждом конкретном х ряд 3 положительный

При тех х для к-ых Д(х) 1 ряд 3 получается сходящимся значит ряд 1 сх-ся абсолютно.

При тех х к-ых Д(х) ряды 3 и 1 расх-ся.

При тех х для к-ых Д(х)=1 проводится допол.исследование.