Теорема о связи первообразной и функции. Понятие неопределенного интеграла

Теорема о связи первообразной и функции. Понятие неопределенного интеграла

Первообразной функции f(x) на некотором (конечном или бесконечном) интервале называется дифференцируемая функция F(x), производная которой равна f(x) во всех точках интервала, т.е. F’(x)=f(x).

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Если С – постоянная, то функция F(x)+C также является первообразной для f(x). Наоборот, любая первообразная функции f(x) может быть представлена в виде F(x)+C, где С – некоторая постоянная. Таким образом, множество всех первообразных функции f(x) – это множество всех первообразных функций {F(x)+C}, т.е. для описания всех первообразных функции f(x) надо найти одну из них F(x), а затем прибавлять к ней произвольные постоянные.

Неопределённым интегралом функции f(x) называется множество всех её первообразных. Следовательно, (1), где F(x) – одна из первообразных, а С – произвольная постоянная.

Для проверки формулы (1) достаточно найти производную функции F(x) и убедиться в том, что она равно подынтегральной функции f(x).

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции. Будет доказано, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией (такие интегралы называются «неберущимися»).

Непосредственное интегрирование – это интегрирование с помощью выполнения алгебраических преобразований, использования свойства линейности неопределённого интеграла и таблицы интегралов.

Таблица интегралов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Интеграл 10 из этой таблицы принято называть высоким логарифмом, а интеграл 12 – длинным логарифмом.

Универсальная тригонометрическая подстановка.

 

Вычисление площади криволинейной трапеции.

Из геометрического смысла определённого интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, то есть области, лежащей под графиком функции вычисляется по формуле: Площадь области D, расположенной между графиками двух функций, т.е. вычисляется по формуле

(**)

1) Строим графики функций.

2) Находим точки пересечения графиков.

3) Вычисляем площадь фигуры по формуле (**).

 

 

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], причем ϕ(α)=a, ϕ(β)=b и значения функции ϕ(t) не выходят за пределы отрезка [a;b], когда t ϵ [α;β]. Тогда

x	a	b
t		β

Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной (методом подстановки) делать обратную замену переменной не требуется, а нужно только сделать пересчет пределов интегрирования, который мы будем оформлять в виде таблички

 

Интегрирование по частям.

Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то

|^b_a -

Вычисление объема тела вращения

Пусть тело Т находится между двумя плоскостями х=а и х=b, тогда его объем , где S(x) площадь сечения плоскостью х=с, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку с, принадлежащую [a;b] на этой оси.

Объем тела вращения. Объем тела, полученного, при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y=y(x), x=a,x=b,y=0 находится по формуле .

Объем тела, полученного, при вращении вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной кривыми x=x(y), y=c,y=d,x=0 находится по формуле .

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

- Уравнение в полных дифференциалах. Является таковым, если выполняется условие:

Метод решения: 1) Проверяем, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах, проверяем условие.

2) находим функцию u(x,y) из системы

Для этого, интегрируя первое уравнение системы по х (и считая у постоянным), сначала находим с точностью до произвольной постоянной c(y), зависящей от у. Подставляем найденное решение во второе уравнение системы и находим . По производной С’, интегрируя находим функцию C(y), тем самым u(x,y).

Искомое решение y=y(x) – это u(x,y)=c=const

Неполные дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка

Ду, не зависящие явно от У

Если k - наименьший порядок производной, входящей в уравнение, то уравнение можно записать в виде:

Делаем замену z=y^k, где z=z(x) –новая неизвестная функция. Тогда z’=y^(k+1),….,z^(n-k)=y^n, что понижает порядок уравнения на k единиц. Так как порядок уравнения стал меньше, то уравнение стало проще. Пусть z=z(x) – его общее решение. Тогда чтобы решить исходное уравнение, остается найти у из простейшего уравнения y^k=z(x).

Замена y’=z сводит уравнение к уравнения первого порядка.

Ду, не зависящие явно от Х

Уравнения имеют вид:

F(y,y’,y’’)=0

Порядок уравнения понижается заменой обеих переменных: считаем у независимой переменной, а у’=p=p(y) – некоторой неизвестной функцией от у. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, имеем

или сокращенно y’’=pp’

Таким образом, замена y’=p, где p = p(y) сводит исходное уравнение к уравнению 1 порядка.

Пусть p=p(y) – общее решение уравнения, тогда чтобы решить исходное уравнение, остается решить уравнение первого порядка с разделяющимися переменными y’=p(y)

18) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

Показательная функция является решением ЛОДУ тогда и только тогда, когда является корнем характеристического уравнения

Характеристическое уравнение получается из первого уравнения, если производные y^I заменить на степени переменной .

Если является корнем кратности k характеристического уравнения, то ему соответствуют k решений

Если пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответствуют 2 решения

ЛНДУ

y^(n)+ a1 y^(n-1)+…+ an-1y’+an y=f(x) (1)

с постоянными коэффициентами ai и специальной правой частью.

Сначала нужно решить соответствующее ЛОДУ

Y^(n)+ a1 y^(n-1) +…+ an -1y’ +an y =0

Затем нужно найти частное решение y* ЛНДУ. Это всегда можно сделать методом вариации произвольных постоянных.

Тогда общее решение уравнения y=y* +y0

 

В случае специальной правой части y* можно найти более простым способом, не требующим интегрирования. Функции специального вида называются квазимногочленами, поскольку они похожи на многочлены, и получаются из них умножением на тригонометрические и показательные функции.

 

Квазимногочленом степени d и веса µ =r+iω называется функция вида f(x)=g(x)e^(rx) cosωx+ h(x) e^(rx) sinωx

 

Где g(x) =g0x^d +g1x^(d-1)+ … gd, h(x) = h0x^d +h1x^(d-1) +…+ hd

Есть многочлены степени d. Таким образом вес – это комплексное число µ =r+iω, действительная часть которого r – это коэффициент перед x в показательной функции e^(rx), а мнимая часть ω – коэффицент перед x y cos ωx или sin ωx

 

В частных случаях:

Если число µ чисто мнимое: µ =r+iω (r=0),то e^0=1 и в f(x) отсутствует показательная функция

f(x)=g(x) cos ωx +h(x) sin ωx

Если число µ действительное: µ=r (ω=0) то cos(0) =1, sin(0) = 0 и в f(x) отсутствуют косинус и синус:

 

F(x)=g(x)e^(rx) = (g0x^d +g1x^(d-1)+ … gd)e^rx

 

Наконец, если µ =0 т.е. r=0 и ω =0, то f(x) просто многочлен: f(x) = g(x)e^(rx)= (g0x^d +g1x^(d-1)…+gd-1 x +gd)e^(rx)

Константы f(x) =c – многочлены степени d=0 Например x^2 –x +3 – квазимногочлен степени d=2 и веса µ=0.

X^3 * e^(-2x) * sin 5x – степени d=3 и веса µ =-2 +5i.

Суть метода неопределенных коэффицентов состоит в том, что, если ЛНДУ имеет специальную правую часть, то y* можно записать в»таком же виде», как и правую часть уравнения. Зная вид y*, мы находим входящие в y* неизвестные (они же неопределенные коэффиценты)

 

Пример

 

y’’-4y+3y=2x-5

y*=Ax+B A I B – неизвестные коэффиценты

Подставляя y* в уравнение, получаем

0-4A+3(Ax+B)=2x-5 т.е 3Ax+(-4A+3B)=2x-5

Это равенство должно выполняться для всех x, поэтому 3A=2 -4A+3B=-5

A=2/3, B= -7/3

 

y* =(2/3)x –(7/3) – искомое частное решение

 

Таблица оригиналов и изображений

1)1 =:= 1/p

2)e^(at) =:= 1/(p-a)

3)cosωt =:= p/(p^2 +ω^2)

4) sinωt =:= ω/(p^2 + ω^2)

5) t=:= 1/(p^2), t^2 = (2!/p^3), …, t^n =:= n!/(p^(n+1))

 

Теорема о связи первообразной и функции. Понятие неопределенного интеграла

Первообразной функции f(x) на некотором (конечном или бесконечном) интервале называется дифференцируемая функция F(x), производная которой равна f(x) во всех точках интервала, т.е. F’(x)=f(x).

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Если С – постоянная, то функция F(x)+C также является первообразной для f(x). Наоборот, любая первообразная функции f(x) может быть представлена в виде F(x)+C, где С – некоторая постоянная. Таким образом, множество всех первообразных функции f(x) – это множество всех первообразных функций {F(x)+C}, т.е. для описания всех первообразных функции f(x) надо найти одну из них F(x), а затем прибавлять к ней произвольные постоянные.

Неопределённым интегралом функции f(x) называется множество всех её первообразных. Следовательно, (1), где F(x) – одна из первообразных, а С – произвольная постоянная.

Для проверки формулы (1) достаточно найти производную функции F(x) и убедиться в том, что она равно подынтегральной функции f(x).

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции. Будет доказано, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией (такие интегралы называются «неберущимися»).

Непосредственное интегрирование – это интегрирование с помощью выполнения алгебраических преобразований, использования свойства линейности неопределённого интеграла и таблицы интегралов.

Таблица интегралов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Интеграл 10 из этой таблицы принято называть высоким логарифмом, а интеграл 12 – длинным логарифмом.