Теорема Коши, формулировка для дифференциального уравнения первого порядка.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Для дифференциального уравнения порядка n, разрешенного относительно старшей производной, это задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,…, , т.е. задаются y0,y’0… функции и ее производных до порядка n-1включительно в некоторой начальной х0. число условий равно порядку уравнений.

Теорема Коши: Если функция и её частные производные по переменным y0,y’0… непрерывны в некоторой окрестности точки х0,y0,y’0… , то в некоторой окрестности точки х0 существует единственное решение y=y(x) уравнения удовлетворяющего условиям y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,…, .

Общее решение уравнения зависит от n произвольных постоянных C1,C2…Cn. y=φ(x,C1,C2,…Cn). роль произвольных постоянных играют начальные значения.

Чтобы решить задачу Коши, находят общее решение. y=φ(x,C1,C2,…Cn), затем находят произвольные постоянные из начальных условий, т.е. С1, С2,…Сn находят из системы n уравнений.

 

y0=φ(x0,C1,C2,…Cn)

y’0=φ’(x0,C1,C2,…Cn)

…

= (x0,C1,C2,…Cn)

 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Функция называется однородной функцией степени k, если для любого λ имеет место тождество

т.е. если при умножении x и y на одну и ту же постоянную λ функция умножается на λ^k . если k=0, т.е. , то функция называется просто однородной.

Простейший пример однородной функции –это однородный многочлен, т.е. многочлен все члены которого имеют одну и ту же степень k.

При умножении(делении) однородных функций снова получается однородная функция степени равной сумме(разности) их степеней. Любую однородную функцию f(x,y) можно представить как функцию от отношения

Дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x, y) называется однородным, если функция f(x,y) однородна.

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть представлено в виде

Метод решения: замена =t где t- новая неизвестная функция,сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Если функция является произведением функции, зависящей только от x, и функции, зависящей только от y, т.е если оно имеет вид . Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид

(2)

Решение уравнения с разделяющимися переменными состоит в следующем. Подставляя , мы можем записать уравнение в дифференциальном виде (2). Затем разделяем переменные, т.е. делаем так, чтобы х содержался только в одной части, а у только в другой. Получаем уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируя это уравнение, т.е. приравнивая интегралы от левой и правой части, получим общее решение ДУ с разделяющимися переменными. При вычислении неопределенных интегралов мы учитываем произвольную постоянную только в одном из них.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

- Уравнение в полных дифференциалах. Является таковым, если выполняется условие:

Метод решения: 1) Проверяем, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах, проверяем условие.

2) находим функцию u(x,y) из системы

Для этого, интегрируя первое уравнение системы по х (и считая у постоянным), сначала находим с точностью до произвольной постоянной c(y), зависящей от у. Подставляем найденное решение во второе уравнение системы и находим . По производной С’, интегрируя находим функцию C(y), тем самым u(x,y).

Искомое решение y=y(x) – это u(x,y)=c=const

Неполные дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка

Ду, не зависящие явно от У

Если k - наименьший порядок производной, входящей в уравнение, то уравнение можно записать в виде:

Делаем замену z=y^k, где z=z(x) –новая неизвестная функция. Тогда z’=y^(k+1),….,z^(n-k)=y^n, что понижает порядок уравнения на k единиц. Так как порядок уравнения стал меньше, то уравнение стало проще. Пусть z=z(x) – его общее решение. Тогда чтобы решить исходное уравнение, остается найти у из простейшего уравнения y^k=z(x).

Замена y’=z сводит уравнение к уравнения первого порядка.

Ду, не зависящие явно от Х

Уравнения имеют вид:

F(y,y’,y’’)=0

Порядок уравнения понижается заменой обеих переменных: считаем у независимой переменной, а у’=p=p(y) – некоторой неизвестной функцией от у. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, имеем

или сокращенно y’’=pp’

Таким образом, замена y’=p, где p = p(y) сводит исходное уравнение к уравнению 1 порядка.

Пусть p=p(y) – общее решение уравнения, тогда чтобы решить исходное уравнение, остается решить уравнение первого порядка с разделяющимися переменными y’=p(y)

18) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

Показательная функция является решением ЛОДУ тогда и только тогда, когда является корнем характеристического уравнения

Характеристическое уравнение получается из первого уравнения, если производные y^I заменить на степени переменной .

Если является корнем кратности k характеристического уравнения, то ему соответствуют k решений

Если пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответствуют 2 решения