Уравнения, не разрешенные относительно производной.

дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение, в которое неизвестная функция y(x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени : ;

Если старший коэффициент q ₀ (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

;

; дальше мы будем рассматривать уравнение. Eсли правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f (x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

;

(21)

Задача Коши для уравнений и ставится также, как и для общего уравнения n -го порядка : требуется найти решение уравнения или, удовлетворяющее начальным условиям

(22)

где y ₀, y ₁, y ₂, …, y_n -1 - заданные числа. Для уравнения теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести к виду:
,
то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f (x) и p_i (x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (17) заключался в том, что найдётся окрестность точки x ₀, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (20) и (21) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы:
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f (x), p_i (x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x ₀ - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий существует единственная функция y (x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению и начальным условиям.
Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условиятеоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.

Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую k(k³n) производных, в функцию, имеющую k - n производных:
С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение можно записать так:Ln(y) = f(x);
оодное уравнение примет вид Ln(y) = 0);

47 Однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Теоремы об определителе Вронского.

Уравнение n-го порядка для одной неизвестной функции z независимого переменного t с

постоянными коэффициентами имеет вид: (2.1)

где a₁,..,a_n - постоянные числа (действительные или комплексные). К уравнению (2.1), очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Решения уравнения (2.1) будут

построены в явном виде и тем самым установлена еще раз теорема существования. Теорема единственности будет использоваться по существу для доказательства того, что найдены все решения данного уравнения.

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) называется определитель

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависима на интервале (a, b),то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во. Если функции y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

(27) для

Продифференцируем по x равенство(27) n -1 раз и составим систему уравнений:

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского. При эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю.

Итак, W (x) = 0 при , т.е. на (a, b).

48 Характеристическое уравнение и фундаментальная система решения для различных его корней.

Уравнение

называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения

Система функций называетсялинейно независимой в интервале , если тождество ( - постоянные числа)

может выполняться только когда все . Если к тому же каждая из функций является частным решением однородного уравнения,то система решений одно-родного уравнения называется фундаментальной системой решений.

Еслифундаментальная система решений найдена, то функция

дает общее решение однородного уравнения,(все - константы).

49 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Основные определения.

где - дифференциальный оператор n-го порядка с постоянными коэффициентами, а F = F(t) - известная функция вида: е₁,е,е_m - некоторые комплексные числа, a f₁(t),??f_m(t) - многочлены от t.

Всякую функцию вид называют квазимногочленом. каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Линейная комбинация квазимногочленов есть квазимногочлен; произведение двух квазимногочленов представляет собой квазимногочлен; если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор L(p), то мы вновь получим квази многочлен.

50 Типы правых частей неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, их решение.