Уравнения, не разрешенные относительно производной.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

▷ Похожие статьи

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно , т.е. получить одно или несколько уравнений, разрешенных относительно производной: ,каждое из которых нужно решать. Не всегда уравнение (1) разрешается относительно и еще реже полученные после разрешения уравнение легко интегрируется. Поэтому уравнение вида (1) часто приходится решать методом введения параметра. Более полно этот метод изложен в [3].Пусть уравнение (1) легко разрешается относительно y или относительно x, например, его можно записать в виде . Введя параметр , получим .Взяв полный дифференциал от правой и левой частей последнего равенства, и заменив dy через pdx, получим уравнение ,т.е. .Если найдено решения этого уравнения , то решения исходного уравнения запишем в параметрическом виде .Примерами уравнений, которые решаются изложенным выше методом, являются уравнения Лагранжа и Клеро .

51. Системы дифференциальных уравнений. Основные определения.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами).

Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, f¢(x) = f(f(x)) не является дифференциальным уравнением.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y (x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести кквадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Общий вид:

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r (x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняетсяпринцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение, в которое неизвестная функция y(x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени : ;

Если старший коэффициент q ₀ (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

;

; дальше мы будем рассматривать уравнение. Eсли правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f (x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

;

(21)

Задача Коши для уравнений и ставится также, как и для общего уравнения n -го порядка : требуется найти решение уравнения или, удовлетворяющее начальным условиям

(22)

где y ₀, y ₁, y ₂, …, y_n -1 - заданные числа. Для уравнения теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести к виду:
,
то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f (x) и p_i (x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (17) заключался в том, что найдётся окрестность точки x ₀, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (20) и (21) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы:
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f (x), p_i (x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x ₀ - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий существует единственная функция y (x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению и начальным условиям.
Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условиятеоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.

Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую k(k³n) производных, в функцию, имеющую k - n производных:
С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение можно записать так:Ln(y) = f(x);
оодное уравнение примет вид Ln(y) = 0);

47 Однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Теоремы об определителе Вронского.

Уравнение n-го порядка для одной неизвестной функции z независимого переменного t с

постоянными коэффициентами имеет вид: (2.1)

где a₁,..,a_n - постоянные числа (действительные или комплексные). К уравнению (2.1), очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Решения уравнения (2.1) будут

построены в явном виде и тем самым установлена еще раз теорема существования. Теорема единственности будет использоваться по существу для доказательства того, что найдены все решения данного уравнения.

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) называется определитель

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависима на интервале (a, b),то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во. Если функции y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

(27) для

Продифференцируем по x равенство(27) n -1 раз и составим систему уравнений:

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского. При эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю.

Итак, W (x) = 0 при , т.е. на (a, b).

48 Характеристическое уравнение и фундаментальная система решения для различных его корней.

Уравнение

называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения

Система функций называетсялинейно независимой в интервале , если тождество ( - постоянные числа)

может выполняться только когда все . Если к тому же каждая из функций является частным решением однородного уравнения,то система решений одно-родного уравнения называется фундаментальной системой решений.

Еслифундаментальная система решений найдена, то функция

дает общее решение однородного уравнения,(все - константы).

49 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Основные определения.

где - дифференциальный оператор n-го порядка с постоянными коэффициентами, а F = F(t) - известная функция вида: е₁,е,е_m - некоторые комплексные числа, a f₁(t),??f_m(t) - многочлены от t.

Всякую функцию вид называют квазимногочленом. каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Линейная комбинация квазимногочленов есть квазимногочлен; произведение двух квазимногочленов представляет собой квазимногочлен; если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор L(p), то мы вновь получим квази многочлен.

50 Типы правых частей неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, их решение.