ТОП 10:

Уравнения, приводящиеся к однородным.



Уравнением, приводящимся к однородному, называется дифференциальное уравнение вида

Заменой u = y – y0, v = x – x0 это уравнение приводится к однородному уравнению

Здесь x0 и y0 — единственное решение линейной системы

 

 

31. Основные определения теории поля. Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке M этой области соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в области определено скалярное поле. Если в каждой точке M области пространства соответствует вектор , то говорят, что задано векторное поое. Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Функции скалярного поля:
  • Функция трёх переменных: (скалярное поле на (в) трёхмерном пространстве, называемое иногда пространственным полем).
  • Функция двух переменных: (скалярное поле на (в) двумерном пространстве, называемое иногда плоским полем).
  • В физике и многих других приложениях поле, вообще говоря, зависит также от времени:
. 32. Производная по направлению. Градиент. Возьмем в пространстве, где задано поле U=U(x, y, z), некоторую точку M и найдем скорость изменения функции U при движении точки M в произвольном направлении λ. Пусть вектор λ имеет начало в точке M и направляющие его косинусы. Приращение функции U, возникающее при переходе от точки M к некоторой точке M1 в направлении вектора λ определяется как Или . Тогда Производной от функции U=U(M) в точке M по направлению λ называется предел Градиент. Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x,y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU. gradU — векторная величина. Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке M равна:   33. Ротор, дивергенция векторного поля Дивергенция векторного поля Дивергенция характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке M называется скаляр вида и обозначается . Дивергенцией векторного поля в точке M называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность S, окружающую точку M, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку M (V -> 0) Ротор. Ротором вектора a в точке M называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.   34. Оператор Гамильтона. Векторные операции первого порядка удобно записывать с помощью оператора Гамильтона Применяя оператор Гамильтона, получим дифф. Операции первого порядка: 1. 2. 3.   35. Потенциальное, гармоническое, соленоидальное поля. Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равно нулю. Свойства: 1. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. 2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т.е. если div a= 0, то существует такое поле b, что a=rot b. Вектор b называется векторным потенциалом поля а. 3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (интенсивность трубки). Векторное поле называется потенциальным, если во всех точках поля ротор равен нулю. Свойства: 1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому полю в этом контуре равна нулю. 2. В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой L с началом в точке M1 и концом в точке M­2 зависит только от положения точек и не зависит от формы кривой. 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x,y,z), т.е. если rot a=0, то существует функция U(x,y,z) такая, что a=gradU. Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным (rot a=0 и div a=0).  

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.200.222.93 (0.003 с.)