РАЗДЕЛ «Дифференциальные уравнения»

Дифференциальное уравнение. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х искомую функцию и ее производные .

Порядок дифференциального уравнения. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения. Всякая функция , подставленная в уравнение и обращающая его в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную х искомую функцию и ее производную первого порядка .

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Решение уравнения , содержащее произвольную постоянную с и имеющее вид называется общим решением уравнения.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными первого порядка. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида .

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными первого порядка. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными называется уравнение вида .

Однородная функция. Функция называется однородной степени , если имеет место тождество .

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , если функции являются однородными функциями одной и той же степени.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , где - непрерывная функция на .

Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если оно имеет вид , где - непрерывная функция на .

Дифференциальное уравнение второго порядка. Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную х искомую функцию и ее производные первого и второго порядка .

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка. Решение уравнения , содержащее произвольные постоянные и имеющее вид называется общим решением уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида , где - непрерывные функции на .

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где - постоянные действительные числа.

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где - постоянные действительные числа, - непрерывная функция на .

Теорема 1. Если - линейные независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , где - непрерывные функции на , то общее решение этого уравнения имеет вид , где - постоянные.

Теорема 2. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка , где - непрерывные функции на , то общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и частного решения исходного уравнения, т.е. имеет вид , где - постоянные.