Раздел «дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной»

Полином Тейлора. Многочлен вида:

называется полиномом Тейлора функции f (х) в точке х ₀.

Возрастающая и убывающая функция. Функция f (х) называется возрастающей (убывающей) в интервале (a, b), если для любых точек x ₁, x ₂ из (a, b), из неравенства вытекает неравенство (соответственно ). Если же для любых точек x ₁, x ₂ из (a, b), из неравенства вытекает неравенство (соответственно ), то функция f (х) называется неубывающей (невозрастающей) на интервале (a, b).

Точка максимума, минимума. Пусть f (х) дифференцируема на (a, b). Если при переходе через точку х ₀ из (a, b), функция f (х) меняет возрастание на убывание (убывание на возрастание), то х ₀ называется точкой максимума (минимума) функции f (х).

Выпуклость графика функции. Функция f (х) называется выпуклой вверх (вниз) на интервале (a, b), если для любых точек x ₁, x ₂ из (a, b), её график над интервалом (x ₁, x ₂) лежит выше (ниже) секущей – прямой, проходящей через точки (x ₁, f (x ₁)) и (x ₂, f (x ₂)).

Точка перегиба. Пусть f (х) дифференцируема на (a, b). Если при переходе через точку х ₀ из (a, b), функция f (х) меняет направление выпуклости, то х ₀ называется точкой перегиба функции f (х).

Асимптота. Прямая х = х ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (х), если хотя бы один из односторонних пределов в точке х ₀ равен +¥ или –¥. Прямая y = kх + b называется наклонной асимптотой графика y = f (х) при x →± , если

(f (х) - (kх + b)) = 0.

Теорема 1. Если функция y = f (х), дифференцируемая в интервале (a, b), неубывающей (невозрастающей) на нем, то ее производная в этом интервале не отрицательна (не положительна), т.е. ().

Теорема 2. Если функция y = f (х), дифференцируемая в интервале (a, b), удовлетворяет в нем условию (), то эта функция возрастает (убывает) в интервале (a, b).

Теорема 3. (необходимое условие существования экстремума) Если функция y = f (х), дифференцируемая в интервале (a, b), имеет в точке , , экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю: .

Теорема 4. (достаточное условие существования экстремума) Если производная функции y = f (х) обращается в точке в нуль ( -стационарная точка) и при переходе через эту точку в направлении возрастания меняет знак плюс (минус) на минус (плюс), то в точке эта функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку производная функции y = f (х) не меняет знака, то в этой точке функция y = f (х) экстремум не имеет.

Теорема 5. Если вторая производная функции y = f (х) положительна (отрицательна) в интервале (a, b), то график этой функции является выпуклым вниз (вверх) в интервале (a, b). Теорема 6. Если вторая производная функции y = f (х) обращается в точке в нуль и при переходе через эту точку в направлении возрастания меняет знак, то точка (x ₀, f (x ₀)) графика данной функции является точкой перегиба.

Теорема 7. (правило Лопиталя)Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е. .

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной для данной функции f (х) на данном промежутке, если на этом промежутке .

Определенный интеграл. Выражение , где - первообразная функции f (х) и обозначается символом , причем f (х) называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, знак - знаком интеграла. Таким образом, по определению, = , если .

Свойства неопределенного интеграла.

1. или ;

2. или ;

3. ;

4. = + .

Основные методы интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования – это метод нахождения неопределенного интеграла на основе свойств и таблицы основных интегралов.

Замена переменной интегрирования производится по следующей формуле:

= , где и функция имеет непрерывную производную.

Метод внесения под знак дифференциала работает по формуле: = = = .

Метод интегрирования по частям работает по формуле: , и - дифференцируемые функции.

Определенный интеграл. Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определенным интегралом функции f (х) на сегменте и обозначать символом = .