Свойства определенного интеграла.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , где .

Свойства Ньютона – Лейбница. Если функция f (х) непрерывна на сегменте и - первообразная функции f (х) на этом отрезке, то = - .

Основные методы интегрирования определенного интеграла:

Метод непосредственного интегрирования – это метод нахождения определенного интеграла на основе свойств, таблицы основных интегралов, формулы Ньютона-Лейбница.

Замена переменной интегрирования производится по следующей формуле:

= , где и функция имеет непрерывную производную, .

Метод внесения под знак дифференциала работает по формуле:

= = .

Метод интегрирования по частям работает по формуле: , и - дифференцируемые функции на сегменте .

Геометрические приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция f (х) непрерывна на сегменте , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f (х), y = 0, х = а, х= , равна интегралу = . Пусть функции f₁ (х), f₂ (х) непрерывны на сегменте , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f₁ (х), y = f₂ (х), х = а, х= , равна интегралу = .

Площадь в полярных координатах. Пусть требуется определить площадь сектора, ограниченного лучами и кривой , где - непрерывна на сегменте , тогда

= .

Длина дуги кривой. Пусть функция f (х) непрерывна на сегменте , то длина дуги кривой заданной функцией y = f (х) и ограниченной х = а, х= , равна .

РАЗДЕЛ «Численные методы»

Абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности , т.е. = .

Граница абсолютной погрешности. Границей абсолютной погрешности приближения называется такое положительное число , которое больше (или равно) абсолютной погрешности , т.е. = .

Относительная погрешность. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю точного значения данной величины, т.е. .

Граница относительной погрешности. Границей относительной погрешности приближения называется такое положительное число , которое больше (или равно) относительной погрешности , т.е. .

Приближенное числовое значение функции. Приближенное числовое значение функции можно найти с помощью дифференциала по формуле .

Приближенное вычисление определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла от функции на и , при разбиении отрезка на n равных интервалов, длина интервала , значения функции: , , …, , тогда по формуле прямоугольников: , а по формуле трапеций: .

Приближенное решение уравнения. Приближенным решением уравнения называется такое приближенное значение корня, что образованная последовательность приближенных корней стремится к точному значению корня.

Метод хорд нахождения корней уравнения . Пусть наотрезке и ( и ), тогда первое приближение найдем по формуле , если и , то второе приближение и далее последовательность стремится к корню при заданной точности вычисления.

Метод касательных (метод Ньютона) нахождения корней уравнения . Пусть наотрезке и ( и ), тогда найдем на этом отрезке точку такую, что и - одного знака, тогда первое приближение найдем по формуле , и т. д. последовательность стремится к корню при заданной точности вычисления.

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Пусть дана таблица , где , требуется составить функцию -многочлен степени которая принимала бы заданные значения при соответствующих , т.е. , т.е. график этого многочлена проходит через точки . Обозначим через вспомогательный многочлен. Тогда + +…+

- интерполяционный многочлен Лагранжа.

 

РАЗДЕЛ «Ряды»

Числовой ряд. Числовым рядом называется выражение

Число называется общим членом ряда (.

Частичная сумма ряда. Сумма первых n членов числового ряда - s_n = называется частичной суммой ряда.

Сходимость числового ряда. Если существует предел последовательности частичных сумм s_n = s, то числовой ряд называется сходящимся, а число s называется суммой ряда Если s_n не существует или равен , то ряд называется расходящимся.

Знакочередующийся ряд. Знакочередующимся рядом называется ряд вида:

где .

Абсолютная сходимость ряда. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд - расходится.

Степенной ряд. Степенным рядом называется ряд вида

где a_n Î R называются коэффициентами ряда, x Î R.

Радиус сходимости. Радиусом сходимости степенного ряда называется число R ³ 0 обладающее свойствами:

1) на интервале (- R, R) ряд сходится,

2) если | x | > R, то ряд расходится.

Интервал (- R, R) называется интервалом сходимости (не исключается случай R = +¥).

Разложение функции в ряд. Функция f (x) раскладывается в степенной ряд на интервале (x ₀ - R, x ₀ + R), если существует степенной ряд сходящийся к f (x) на этом интервале, т.е. если

Ряд Тейлора. Степенной ряд называется рядом Тейлора функции f (x) в точке x ₀, f⁽ⁿ⁾ (x₀) – значение производной n - порядка в точке x ₀.

Теорема 1 (признак сравнения рядов). Пусть даны два поло-жительных числовых ряда и , если члены ряда не превосходят соответствующих членов ряда , т.е. , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема 2. Положительный числовой ряд, члены которого , сходится тогда и только тогда, когда , в противном случае ряд расходится.

Теорема 3 (признак Даламбера). Если члены положительного числового ряда таковы, что существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится, при - ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Теорема 4 (признак Коши). Если члены положительного числового ряда таковы, что существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится, при - ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Теорема 5 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают, и общий член ряда стремится к нулю , то ряд сходится.

Теорема 6. Пусть для степенного ряда существует и отличен от нуля предел или , тогда радиус сходимости степенного ряда число R= .