Последовательность, предел. Числовые последовательности. Предел функции.

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Кратко она обозначается символом называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей.

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например, ).

2. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическаяпрогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой

xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

3. и условиями x ₁ = 1, x ₂ = 1.

4. Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x_n равен n -му знаку после запятой в десятичной записи числаπ = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x ₁ = 1, x ₂ = 4, x ₃ = 1, x ₄ = 5, x ₅ = 9, x ₆ = 2, x ₇ = 6, x ₈ = 5, x ₉ = 3, x ₁₀ = 5 и т. д.

Число a называется пределом последовательности { x_n }, если для каждого ε > 0 существует такой номер N _ε, что для всех n ≥ N _ε выполняется неравенство

| xn – a | < ε,

т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

Рисунок 1.1.1.1. ε-окрестность точки a.

Проще говоря, число a называется пределом последовательности { x_n }, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности { x_n }, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Так, если то Действительно, выбрав для произвольного ε > 0 получаем , так как . Здесь существенно, что N _ε зависит от ε.

Для стабилизирующейся последовательности (т. е. последовательности { x_n } такой, что x_n = a при n ≥ n ₀) в качестве N _εдля любого ε можно взять n ₀.

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство

xn + 1 > xn.

Последовательность называется убывающей, если для любого выполняется неравенство

xn + 1 < xn.

Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей.

Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

 

1, 2, 3, …, n –1, n, ….

 

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u_n, следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

 

u ₁, u ₂, u ₃, …, u_{n - 1}, u_n, …, кратко обозначаемый { u_n }

 

и называемый числовой последовательностью. Величина u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательностьзадаётся некоторой формулой u_n = f (n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n;эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

 

П р и м е р ы числовых последовательностей:

 

1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел;

 

2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;

 

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность

приближённых значений

с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность писана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a приувеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгоеопределение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a - , a + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n | M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонно