Числовые последовательности и пределы

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Кратко она обозначается символом называют n -м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей.

Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например, ).

Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическая прогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой

xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

и условиями x₁ = 1, x₂ = 1.

Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x_n равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 1, x₄ = 5, x₅ = 9, x₆ = 2, x₇ = 6, x₈ = 5, x₉ = 3, x₁₀ = 5 и т. д.

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N_ε, что для всех n ≥ N_ε выполняется неравенство

|xn – a| < ε,

т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

Проще говоря, число a называется пределом последовательности {x_n}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {x_n}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Так, если то Действительно, выбрав для произвольного ε > 0 получаем , так как . Здесь существенно, что N_ε зависит от ε.

Для стабилизирующейся последовательности (т. е. последовательности {x_n} такой, что x_n = a при n ≥ n₀) в качестве N_ε для любого ε можно взять n₀.

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство

xn + 1 > xn.

Последовательность называется убывающей, если для любого выполняется неравенство

xn + 1 < xn.

Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей.

Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.

 

Элементы аналитической геометрии в пространстве. Уравнение плоскости.

Пусть - радиус-вектор текущей точки M(x,y) плоскости; - единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; - углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат Ox, Oy, Oz; p - длина этого перпендикуляра, тогда уравнение плоскости в векторной форме имеет вид

При переходе к координатам уравнение принимает вид:

 

 

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.

1) Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей

2). пересекающихся по этой прямой.

Исключив поочередно x и y из уравнений, получим

 

 

3). Здесь прямая определена двумя плоскостями, проецирующими её на плоскости x0Z и y0Z.

Уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂) имеют вид

 

18. Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.

Это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

А

 

В

 

АВ перпендикулярны плоскости альфа; длина перпендикуляра АВ- расстояние от точки А до плоскости альфа.

Угол между двумя плоскостями это наименьший двугранный угол, получившийся при пересечении этих плоскостей. Угол между 2 плоскостями может принимать значение от 0* до 90*. Если угол между плоскостями=0, то эти плоскости совпадают или переллельны. Если угол между плоскостями =90*, то плоскости перпендикулярны.

 

Угол альфа0 угол между плоскостями

альфа и бэтта.