Смешенное произведение векторов его св-ва и вычисления.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .Обозначается или (, , ). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойствасмешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю;б)два из векторов коллинеарны;в)векторы компланарны.

2) 3)

4) 5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен 6)Если , , то Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов: ,Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).Найдем координаты векторов: Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания CD.

S_осн = (ед²)Т.к. V = ; (ед)

 

 

Линейной зависимость векторов

Вектор а1,а2,…аn наз-ся линейнозависимым, если сущ. Числа l1, l2,… ln не все равные нулю, для к-х справедливо равенство:

l1а1+lа2+…lnаn=0.

Если векторы линейнозависимы, то один из них можно представить виде линейной комбинации остальных.

Справедливо и обратное утверждение.

Векторы а1,а2,…аn наз-ся линейнонезавис., если l1а1+lа2+…lnаn=0.

Имеет место только при условии l1=l2=…=ln=0.

Теорема: Всякие 3 вектора а,b и с на пл. ленейнозависимы

Следствие: если число векторов на пл. больше 3-х, то они всегда линейнозависимы

Теорема: 2 вектора на пл. линейноз.Û когда они неколлинеарны.

Теорема: всякие 4 вектора а,b,с и d в простр. линейнозависимы.

Следствие:

1. если число данных веторов в простр. больше 4-х, то они линейноз.

2. для того, чтобы 3 вектора в простр. были компланарны, необх. И дост., чтобы они были линейноз. и наоборот.

3. для того, чтобы 3 вектора были линейно независимы необх. и дост., чтобы они были компланарны

Базис на пл. и в простр. Аффинные координаты

Базис - совокупн. линейнонезавис. векторов

Базис на плоскости – два любые неколлинеарные вектора, взятые в определенном порядке.

Базис в пространстве – три любые некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Пусть произв. Вектора a,b и c на пл. образуют базисÞ

a= l₁b+l₂c (1) Это выражение называют разложением вектора а по базису b и c, а числа l₁,l₂ наз-ся аффинными координатами вектора а и запис-ся: а={l₁,l₂}=(l₁,l₂) и такое разложение явл-ся единтсвенным. Аналогично, любой вектор а в пространстве однозначно разлагается по векторам b,c и d. а= l₁b+l₂c + l₃d, а= (l₁,l₂,l₃).

Прямоугольный декартов Базис

 

Т.к. они не компланарны, то они образуют базис, к-й называется декартовым.

Если известны декартовы координаты векторов, то линейные операции над векторами можно заменить арифм. действ. над их проекциями.

Если даны координаты точек А(х1,y1,z1) и B(x2,y2,z2, то проекции вектора
АВ на оси будут равны

пр_ox AB=x2-x1; пр_oy AB=y2-y1; пр_oz AB=z2-z1,т.е. разложение вектора АВ по Базису:

АВ=(x2-x1)i +(y2-y1)j + (z2-z1)k

½AB½=Ö(x2-x1)² +(y2-y1)² + (z2-z1)²

 

24. Направляющие косинусы вектора а – косинусы углов между вектором и осями координат и равны отношению прилегающего катета к гипотенузе, т.е. отношению координат вектора к его модулю.

Пусть вектор а разложен по Базису след обр.:

а= a_xi+a_yj+a_zk

a_x =½a½*cosa; a_y =½a½*cosb; a_z =½a½*cosc Þ cosa= a_x /½a½

cosb= a_y /½a½

cosc= a_z /½a½, т.к

½a½=Öa_x²+a_y²+a_z² имеем cosa= a_x/Öa_x²+a_y²+a_z² и т.д.

 

19.Полярные координаты.

Пусть на плоскости дана точка О – полюс и луч ОР – полярная ось. Тогда положение точки М на плоскости определяет полярный угол j = ÐМОР и радиус-вектор r = ОМ. Пару (r,j)-называют полярными координатами,где r-полярный радиус точки, j-полярный угол.
Таким образом на плоск. Можно задать еще одну корд. Сист.-полярную. Прямоугольную декартову сист. Будем наз-ть согласованной с данной полярной

Если полярная ось совпадает с осями координат декарт сист., то

х = r Cos j, y = Sin j

и обратный переход

r = Öx² + y², tg j = y / x.