Операции с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.1) Сложение и вычитание. ; ;2) Умножение.   В тригонометрической форме: ,   С случае комплексно – сопряженных чисел: 3) Деление. В тригонометрической форме: 4) Возведение в степень.Из операции умножения комплексных чисел следует, что В общем случае получим: ,где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов. Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны .По формуле Муавра: Приравнивая, получим Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то Получили известные формулы двойного угла.5) Извлечение корня из комплексного числа.   Возводя в степень, получим: Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

Вектор. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий опред длину.

К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Единичный- длина к-го равна 1. напр. Может быть какое угодно.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число. Суммой векторов является вектор - Произведение - , при этом коллинеарен .Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0. Линейные операции над векторами в координатах.Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда

 

 

25 Скалярное произведение векторов, его св-ва и вычисления.Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. × = ï ïï ïcosj

Свойства скалярного произведения: × = ï ï²; × = 0, если ^ или = 0 или = 0. × = × ; ×( + ) = × + × ;(m )× = ×(m ) = m( × );Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b; Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: ; Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если 10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 , т.к. .

Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х >0, то ,

2. следовательно, что

 

1. Покажем, что

 

2. Докажем, что

3. Последнее утверждение:

 

Векторное произведение векторов. Свойства.

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:1) , где j - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.Обозначается: или .

j

 

Свойства векторного произведения векторов: 1) ;2) , если ïï или = 0 или = 0;3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );4) ´( + ) = ´ + ´ ;5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то ´ = 6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Пример. Найти векторное произведение векторов и . = (2, 5, 1); = (1, 2, -3) .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0. Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или ,.е. где М = e + ïАïТеорема доказана.

Второй замечательный предел

это форма второго замечательного предела, справедлива и для действ. аргумента

lim(n®¥)(1+1/n)ⁿ=e