Производная произведения функций.

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

 

11) производные элементарных функции Ключевые слова: элементарная функция, производная синуса, производная косинуса. производная тригонометрической функции. производная обратной тригонометрической функции

Функция y = f (x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f (kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y = xn	y = n xn −1	y =(kx + b) n	y = n k (kx + b) n −1
y = x	y =1	y =(kx + b)	y = k
y = x	y =12 x	y = kx + b	y = k 12 kx + b
y = x 1	y =−1 x 2	y =1 kx + b	y =− k 1(kx + b)2
y = cos x	y =− sinx	y = cos (kx +b)	y =− ksin (kx + b)
y = sin x	y = cosx	y = sin (kx +b)	y = kcos (kx + b)
y = tg x	y =1 cos 2 x	y = tg (kx +b)	y = k 1 cos 2(kx + b)
y = ctg x	y =−1 sin 2 x	y = ctg (kx +b)	y =− k 1 sin 2(kx + b)
y = arcsin x	y =1 1− x 2	y = arcsin (kx +b)	y = k 1 1−(kx + b)2
y = arccos x	y =−1 1− x 2	y = arccos (kx +b)	y =− k 1 1−(kx + b)2
y = arctg x	y =11+ x 2	y = arctg (kx +b)	y = k 11+(kx + b)2
y = arcctg x	y =−11+ x 2	y = arcctg (kx +b)	y =− k 11+(kx + b)2
y = ax a 0 a =1	y = ax lna a 0 a =1	y = akx + b a 0 a =1	y = k akx + b lna a 0 a =1
y = ex	y = ex	y = ekx + b	y = k ekx + b
y = logax a 0 a =1	y =1 x lna	y = loga (kx + b) a 0 a =1	y = k 1(kx + b) lna
y = lnx	y = x 1 x 0	y = ln (kx +b)	y = k 1 kx + b kx + b 0

 

 

12)геометрический смысл производной Ключевые слова: геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f (x):

 

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf (x 0+ x)− f (x 0)= tg , где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.
Отсюда следует:

Вторая производная и ее физический смысл

Если функция f’ дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают f”:

f” = (f’)’

Вторая производная от параметрической функции x = x (t) и y = y (t) задается формулой: Вторую производную иногда обозначают: В физике вторую производную функции по времени нередко обозначают двумя точками: Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так, если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью то ускорение этой точки равно

Важным применением второй производной является анализ выпуклости функции.

Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если функция f^{(n –1)} дифференцируема, то ее производную называют производной n -го порядка f⁽ⁿ⁾ функции f.

Определение вектора

Рассмотрим на плоскости две точки A и B. Обозначим через вектор AB, понимая под этим направленный отрезок AB, т. е. отрезок, у которого точка A является началом, а точка B -- концом. Таким образом, точки A и B, ограничивающие вектор , играют различную роль. Именно в этом в первую очередь и состоит главное различие между вектором и отрезком AB. Две точки A и B плоскости задают два различных вектора и одинаковой длины и противоположно направленные.

Равенство двух векторов

Два вектора и , расположенные на одной прямой, считаются равными, если равны отрезки AB и CD, т. е. равны длины этих векторов, а лучи AB и CD задают одинаковые направления. Если же векторы и не расположены на одной прямой, то они считаются равными, если четырехугольник ABDC (вершины рассматриваются в данном порядке) является параллелограммом. Таким образом, мы можем вектор не только перемещать вдоль соответствующей прямой, но и переносить его начало в любую точку плоскости. Следовательно, для обозначения вектора нет необходимости указывать его начало и конец, и можно использовать обозначения вида a, b, l и т. п., помещая в случае необходимости начало соответствующего вектора в удобную точку плоскости. Для длины вектора a будем использовать обозначение | a | - читается: "длина вектора a " или "модуль вектора a"

Площадь сферы

Площадь сегмента сферы

, где H — высота сегмента, а — зенитный угол

Определение 2.3.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α.

Теорема 2.4. Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.

Доказательство

Теорема 2.5. Теорема о следе.

Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a.

Доказательство

Определение 2.4.

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Признак параллельности прямых и плоскостей

Теорема

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство

Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

32)параллельное проектирование и его свойства Изображение на плоскости пространственных фигур обычно осуществляется с помощью параллельного проектирования этих фигур на некоторую плоскость. При этом должны выполняться следующие правила изображения, вытекающие из свойств параллельного проектирования:

1. Если прямая не параллельна проектирующей и не совпадает с ней, то проекция этой прямой есть прямая.

2. Проекции параллельных прямых, не параллельных проектирующей, параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

33) ортогональное проецирование Направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций S π₁ (рис. 1.11). Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования.

Ортогональное проецирование находит широкое применение в инженерной практике для изображения геометрических фигур на плоскости, т. к. обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием к которым можно отнести:

.

Рис. 1.10. Пример инвариантного свойства 9

.

Рис. 1.11. Ортогональная проекция прямого угла

а) простоту графических построений для определения ортогональных проекций точек;

б) возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

Указанные преимущества обеспечили широкое применение ортогонального проецирования в технике, в частности для составления машиностроительных чертежей.

Для ортогонального проецирования справедливы все девять инвариантных свойств, рассмотренных выше. Кроме того, необходимо отметить еще одно, десятое, инвариантное свойство, которое справедливо только для ортогонального проецирования.

10. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 1.11)

На рис. 1.11 показан прямой угол АВD, обе стороны которого параллельны плоскости проекций π₁. По инвариантному свойству 9 этот угол проецируется на плоскость π₁ без искажения, т. е. А₁В₁D₁=90°.

Возьмем на проецирующем луче DD₁ произвольную точку С, тогда полученный АВС будет прямым, т. к. АВ ВВ₁DD₁.

Проекцией этого прямого угла АВС, у которого только одна сторона АВ параллельна плоскости проекций π₁, будет прямой угол А₁В₁D₁.

34)перпендикулярность прямых в пространстве Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности.

Перпендикулярные прямые

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями и будут перпендикулярны, если выполнено условие . Эти же прямые будут перпендикулярны, если . (Здесь — углы наклона прямой к горизонтали)

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

[править]Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

[править]Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

A(xa,ya) и B(xb,yb) — прямая, O(xo,yo) — основание перпендикуляра, опущенного из точки P(xp,yp).

xo = (xa*(yb-ya)^2 + xp*(xb-xa)^2 + (xb-xa) * (yb-ya) * (yp-ya)) / ((yb-ya)^2+(xb-xa)^2);

yo = (yb-ya)*(xo-xa)/(xb-xa)+ya.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство:Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости . Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 иАА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХи А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними.

 

35)теорема о трёх перпендикулярах

О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости черезоснование наклонной, перпендикулярна еепроекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости , АС - наклонная и с - прямая в плоскости , проходящая через основание С. Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость . Прямая сперпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС. АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

36) признак перпендикулярности плоскостей

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и bплоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и bперпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

37) связь между параллельностью и перпендикулярностью плоскостью

Определение 3.3.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Теорема 3.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

Теорема 3.2.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Чертеж 3.2.2.

Теорема 3.3.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Теорема 3.4.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 3.5.

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Чертеж 3.2.3.

Докажите эти теоремы самостоятельно, используя такое свойство: если векторы коллинеарные и то

Определение 3.4.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

38) двугранный угол

Двугранный угол

Определение 3.8.

Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Чертеж 3.6.1.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями (чертеж 3.6.1). Общая прямая этих граней называется ребром двугранного угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две крайние – точки, взятые на гранях. Пусть M α, N β (чертеж 3.6.1), тогда двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AP двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP (чертеж 3.6.2). Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол величиной φ. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Легко доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре AP. Возьмем на ребре AP точку D, отличную от C, и проведем через нее плоскость β || α. Пусть плоскость β пересекает грани двугранного угла по лучам a ₁ и b ₁. Согласно теореме о следе a ₁ || a, b ₁ || b, поэтому полученные в сечении углы равны. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Если φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.

Чертеж 3.6.2.

Определение 3.9.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.

 

Угол между плоскостям

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).

 

Рис.11.6.Угол между плоскостями

 

40) параллелепипед и его свойства Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

§ Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

§ Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

§ Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

§ Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

41) призма и её свойства |Викисклад=Category:Prisms (geometry) |Викисловарь=призма }} Призма (от др.-греч. πρίσμα (лат. prisma) «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными)многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Или (равносильно) — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы

§ Основания призмы являются равными многоугольниками.

§ Боковые грани призмы являются параллелограммами.

§ Боковые ребра призмы параллельны и равны.

§ Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

§ Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

§ Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.

§ Площадь боковой поверхности правильной призмы , где — периметр основания призмы,, — высота призмы.

§ Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.

§ Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

§ Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.

1. площадь поверхности и объем Формулы объёма — например, объём куба или объём призмы — и формулы площади поверхности.

2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

 

 

42)пирамида

§ Пирамида — тип многогранников.

§ Пирамида — вид архитектурного сооружения в форме пирамиды.

§ Энергетическая пирамида — термин, применяющийся в культуре Нью-эйдж и эзотерике.

§ Пирамида — официальное название игры в русский бильярд.

§ Финансовая пирамида — способ получения дохода за счёт постоянного расширяющегося привлечения денежных средств от новых участников.

§ Пирамида — элемент художественной, силовой и пластической акробатики, групповое расположение акробатов, которые, поддерживая друг друга, образуют сложные фигуры.

§ Пирамидка — головоломка, прототипом которой был Кубик Рубика.

§ Tetra Classic — пирамидальная форма упаковки для жидкостей (молочных продуктов, соков).

Географические объекты:

§ Пирамида — остров в составе Алеутских островов.

§ Пирамида — русский шахтёрский посёлок на Свальбарде (Шпицберген).

Постройки:

§ Египетские пирамиды — архитектурные памятники Древнего Египта.

§ Пирамида — один из первых павильонов пейзажной части Екатерининского парка в Царском Селе.

§ Фонтан «Пирамида» — фонтан в Нижнем парке Петергофа.

§ Пирамиды Голода — пирамиды, построенные из стеклопластика в пропорциях золотого сечения инженером Александром Голодом.

Схемы и диаграммы:

§ Пирамида здорового питания — диаграмма, схематическое представление принципа здорового питания.

§ Пирамида капиталистической системы — плакат 1911 года.

Названия:

§ Пирамида — команда КВН из Владикавказа.

§ Пирамида — кинотеатр в Махачкале.

Художественные произведения:

§ Пирамида — роман британского писателя У. Голдинга.

§ Пирамида — роман русского писателя Л. М. Леонова.

§ Пирамида (Кадаре) (англ.)русск. — роман албанского писателя И. Кадаре.

§ Пирамиды — роман Терри Пратчетта.

§ ПираМММида — фильм.

Площадь поверхности и объём

бъем наклонной призмы

V=S_псa,

где S_пс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы

S_б=P_псa,

где P_пс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

Площадь полной поверхности наклонной призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, S_осн - площадь её основания.

Прямая призма

Объем прямой призмы

V=S_оснa,

где S_осн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

Площадь боковой поверхности прямой призмы

S_б=P_оснa,

где P_осн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

Площадь полной поверхности прямой призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_осн - площадь основания.

Прямоугольный параллелепипед

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда

S_б=2c(a+b),

где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

S_п=2(ab+bc+ac),

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

 

Куб

V=a³, S_б=4a², S_п=6a²,

где a - ребро куба.

Пирамида

Объем пирамиды

 

где S_осн - площадь основания, H - высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

 

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

Усеченная пирамида

Объем усеченной пирамиды

 

где S₁ , S₂ - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

S_п=S_б+S₁+S₂,

где S_б - площадь боковой поверхности пирамиды, S₁ , S₂ - площади оснований.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

 

где P₁ , P₂ - периметры оснований, а l - ее апофема.

Цилиндр

Объем цилиндра

V=p R ²H,