Производные элементарных функций (вывод одной из них)

I Правила дифференцирования	II Формулы дифференцирования
1. (х)'=1 2. (с)'=0 3. (u+v)’=u’+v’ (u·v)’=v·u’+v’·u (c·u)’=c·u’ x'y=1/y’x	1. (ax)’=a^xlna, (e^x)’=e^x, (logax)’= , (lnx)’=1/x 2. (x^n)’=nx^n-1 3. (sinx)’=cosx, (cosx)’= - sinx 4. (tgx)’=sec^2x, (ctgx)’= - = cosec^2x 5. (arcsin)’= , (arcos)’= 6. (arctgx)’= , (arcctg)’= -

Выведем формулу нахождения производной показательной функции y=a^x. Придавая аргументу х приращение ∆х, находим для приращения функции ∆у следующее значение: ∆у=а^х+∆х - а^х = а^х(а^∆х - 1). Делим на ∆х: . Переходим к пределу при ∆х"0: , но . Поэтому у'_х=а^хlna. Итак, (a_x)’=a^xlna, в частности (e^x)’=e^x (так как lne=1).

6. Правила дифференцирования

Операция отыскания производной от данной функции называется дифференцированием этой функции.Установим ряд правил, которые избавят нас от необходимости вычис­лять производную исходя непосредственно из ее определения.

Правило дифференцирования обратной функции

Как известно, при соблюдении условия монотонности прямой функции в некотором промежутке , при обращении ее, получается однозначная обратная функция . Если - дифференцируемая функция, то при значениях , при кото­рых , обратная функция также будет дифференцируемой и про­изводные этих двух функций связаны простым соотношением

(4.19) т. е. производная обратной функции равна единице, деленной на производ­ную данной функции. (Здесь для ясности, чтобы подчеркнуть аргумент, по которому производится дифференцирование, производные от по и от по у обозначены символами и .) Чтобы убедиться в справедливости формулы (4.19), достаточно учесть, что, во-первых, и, во-вторых, и стремятся к нулю одновременно, причем при , , и наоборот [в силу монотонного возрастания или убывания функции в промежутке ]. Поэтому поскольку предположено, что . Мы получили формулу (4.19). Формула дифференцирования обрат­ной функции (4.19) имеет простое гео­метрическое истолкование. Обе функции, прямая и обратная , име­ют один и тот же график (см. рис. 4.4). Производная равна (см. § 1, геометрический смысл производной) тан­генсу угла , образованного с осью касательной к этому графику в точке М (х;у) с абсциссой : . Точно так же производная равна тангенсу угла , образованного этой же касательной, но не с осью , а с осью : Так как для углов и имеем , то . Отсюда и следует, что .

 

7. производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции f в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Производную по направлению можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,

Где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора e.

8. Дифференциальные уравнения вида (3), которое может быть представлено в виде или

называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Метод интегрирования таких уравнений состоит в следующем. Если в уравнении (4) производную представить в виде отношения дифференциалов и функция не равна нулю на рассматриваемом интервале, то данное уравнение приводится к виду

Если функции в уравнении (5) не равны нулю, то его можно привести к виду

полученные дифференциальные уравнения (6) и (7) называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделенными переменными.

9. Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:

Доказательство. Очевидно:

,

Тогда

Поскольку события АВ и несовместны, то по аксиоме

События и несовместны, по аксиоме :

Итак,

Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:

Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для слагаемых n:

-формула включений и исключений.

10. Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).

Доказательство: Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

11. Формула Бернулли — формула в теории вероятности, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Теорема: Если Вероятность ρ наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pk,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где q = 1-p

Доказательство: Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с вероятностью, следовательно противоположное ему событие с вероятностью.

Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли: где q = 1-p