Потенциальное (безвихревое) поле

Если во всех точках поля ротор равен нулю, то поле называется безвихревым.

. Потенциал поля,Тогда выражение a_xd_x+a_yd_y+a_zd_z является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y,z), т.е

Тогда Функция u называется потенциалом векторного поля, а градиент ее направлен по касательной к векторной линии.Справедливо и обратное утверждение. Поле градиента любой функции u(x,y,z)является потенциальным, а сама функция u - его потенциалом.В потенциальном поле циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю.Потенциальное поле вполне определяется его потенциалом.

Если мы возьмем замкнутую векторную линию и рассмотрим циркуляцию вдоль этой замкнутой линии, то где Тогда, Итак, циркуляция вдоль замкнутой векторной линии не равна нулю. Следовательно, в безвихревом поле не могут существовать замкнутые векторные линии при условии, что области ими ограниченные целиком лежат в векторном поле.Трубчатое (соленоидальное) поле Векторное поле, для всех точек которого дивергенция равна нулю, называется трубчатым или соленоидальным. Возьмем в этом поле какую-нибудь площадку S₁ и проведем через каждую точку ее границы векторные линии. Эти линии ограничивают часть пространства, называемую векторной трубкой По условию . Тогда по формуле Остроградского-Гаусса имеем:

где V - тело, ограниченное векторной трубкой.

Это значит, что поток вектора в направлении векторных линий соленоидального поля один и тот же, т.е. через каждое сечение протекает одно и то же количество жидкости, поэтому векторные линии не могут начинаться или обрываться внутри области G, а векторные трубки такого поля либо замкнуты, либо выходят на границы области, где определен вектор .

57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F (x, y, y ')=0,

где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R ³, x — независимая переменная из интервала (a, b), y (x) — неизвестная функция, y '(x) — ее производная.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида

y '= f (x, y)

называют уравнениями в нормальной форме.

Задача Коши. З аключается в нахождении решения u (x, t); х = (x₁,..., x_n) дифференциального уравнения вида:

, (1)

m ₀ < m, m > 0,

удовлетворяющего т. н. начальным условиям.

, t = t ₀, x Î G ₀, k = 0, …, m-1, (2)

где G ₀ — носитель начальных данных — область гиперплоскости t = t_o пространства переменных x₁,..., x_n. Когда F и f_k, k = 0, ..., m — 1, являются аналитическими функциями своих аргументов, задача Коши (1), (2) в некоторой области G пространства переменных t, х, содержащей G₀, всегда имеет и притом единственное решение. Однако это решение может оказаться неустойчивым (т. е. малое изменение начальных данных может вызвать сильное изменение решения), например в том случае, когда уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным уравнением первого порядка называют уравнения вида

(1)

где - заданные функции независимого переменного x, определенные на некотором интервале .

Существуют несколько методов решения этого уравнения.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сначала решаем однородное уравнение

методом разделения переменных

или , где

Тогда все решения уравнения (1) определяются формулой

Метод Бернулли.

Решение уравнения (1) ищем в виде . Подставляем данное выражение в (1),решением которого является функция

,

где - произвольная постоянная. Перемножая , получим (3).

 

Однородные ДУ первого порядка

Определение 1. Функция называется однородной функцией

n -го измерения относительно переменных x и y, если при любом λ справедливо тождество

.

Например, функция

Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно x и y, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y.

Эти частные решения имеют вид

,

которые называются особыми решениями.