Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n- го порядка

y (n) + a 1(x) y (n- 1) +... + an- 1 (x) y ' + an (x) y = f(x),

где y = y (x) — неизвестная функция, a 1(x), a 2(x),..., an- 1(x), an (x), f (x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) если y 1(x) и y 2(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция
y (x) = y 1(x) - y 2(x) — решение соответствующего однородного уравнения;
2) если y 1(x) решение неоднородного уравнения, а y 2(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция
y (x) = y 1(x) + y 2(x) — решение неоднородного уравнения;
3) если y 1(x), y 2(x),..., yn (x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а yч (x) — произвольное решение неоднородного уравнения,
то для любых начальных значений
x 0, y 0, y 0,1,..., y 0, n- 1
Выражение
y (x)= c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) +... + cn yn (x) + yч (x)
называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n -го порядка.

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:
Pk (x)exp(a x)cos(bx) + Q m (x)exp(a x)sin(bx),
где Pk (x), Q m (x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
(Pr (x)exp(a x)cos(bx) + Qr (x)exp(a x)sin(bx)) xs,
где Pr (x), Qr (x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами
pr, pr- 1,..., p 1, p 0, qr, qr- 1,..., q 1, q 0.
Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует
найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l 1, l 2,..., ln, записать фундаментальную систему решений y 1(x), y 2(x),..., yn (x));
найти любое частное решение неоднородного уравнения yч (x);
записать выражение для общего решения
y (x)= c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) +... + cn yn (x) + yч (x);

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

Дифференциальное уравнение вида (1)

где , f - известная функция, называется линейнымдифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

 

Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Геометрический смысл

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

 

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a.