Уравнения прямой на плоскости: С угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Определение. Тангенс угла наклона прямой к оси OX называется угловым коэффициентом прямой и обозначают . y=kx+b

Уравнение прямой, проходящей через две точки

– каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой в отрезках (рис 4.3)

Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени относительно x и y:

Ax+By+C=0 (4.10), где A, B, C – произвольные числа.

Уравнение (4.10) называется общим уравнением прямой.

10. Уравнения плоскости: в векторной, координатной формах.

Рассмотрим на плоскости произвольную точку M(x,y, z). Тогда (ри сунок 4.12) . Так как вектор перпендикулярен плоскости, то . Следовательно, (4.45)

Уравнение (4.45) есть векторное уравнение плоскости, проходящей через точку M₀.

Но , а . Тогда скалярное произведение векторов, т.е. левая часть (4.45), будет:

= A (x – x₀) + B (y – y₀) + C (z – z₀) = 0 (4.44)

Мы пришли к уравнению плоскости, проходящей через данную точку, в координатной форме.

11. Уравнение прямой в пространстве.

(4.57)

Уравнения (4.57) определяют общее уравнение прямой в пространстве, если плоскости, определяемые этими уравнениями, различны и не параллельны, где n₁=(A_1,B_1,C₁), n₂=(A_2,B_2,C₂).

В декартовой системе прямоугольных координат уравнение любой плоскости приводится к виду Ах+Ву+Сz+D=0, где A,B,C,D - заданные числа, причем А²+В²+С²>0.

12. Расстояние от точки до плоскости.

Если уравнение плоскости задано в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, то, чтобы найти расстояние от данной точки M₀(x₀,y₀,z₀),то расстояние от точки до плоскости находится по формуле:

.

13. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.

Условием параллельности (коллинеарности) векторов является векторное произведение, равное нулю. Условием перпендикулярности (ортогональности) векторов является скалярное произведение, равное нулю.

14. Канонические уравнения кривых второго порядка: формулы, определения, чертеж.

Каноническое уравнение окружности

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки называемой центром.

Рассмотрим на кривой любую произвольную точку M (x, y) и обозначим C ₀(x ₀, y ₀) через центр окружности. Тогда CM = — радиус окружности.

Возведя обе части в квадрат, получим:

= R ² (5.2)

Уравнение (5.2.) называется каноническим уравнением окружности.

Каноническое уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 a.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало O декартовой системы координат в середине отрезка F ₁ F ₂. Обозначим через 2 C расстояние F ₁ F ₂ = 2 C и F ₁ (- С, 0), F ₂ (С, 0).

Рассмотрим любую произвольную точку M (x, y) на эллипсе. Тогда по определению F ₁ М + F ₂ М = 2 a, где F ₁М= и F ₂М= . Тогда это и называется каноническим уравнением эллипса.

Каноническое уравнение гиперболы.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.

Чтобы составить уравнение гиперболы, возьмем за ось ОХ прямую, проходящую через точки F ₁ (С, 0) и F ₂ (- С, 0). Обозначим через 2 С расстояние между F ₁ и F ₂, т.е. F ₁ F ₂ = 2 С. Через середину отрезка F ₁ F ₂ проведем ось OY.

Рассмотрим любую произвольную точку M (x, y) на гиперболе. Тогда по определению

F ₁ М - F ₂ М = ± 2 a. Тогда это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение параболы и вывод её канонического уравнения

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равностоящих от одной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ox прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе. Будем считать, что начало координат O совпадает с серединой отрезка AF (рисунок 5.5), длина которого равна параметру P. Фокус F имеет координаты F(P/2; 0). Рассмотрим на параболе произвольную точку M(x,y). Тогда по определению FM = MN, где N (-P/2;y).

или , откуда

(5.19)

Уравнение (5.19) называется каноническим уравнением параболы.