Системы линейных уравнений. Матрицы и определители

I. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Линейные пространства

1.1. Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное пространство . Геометрический смысл пространств и . Линейные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса. Подпространства линейного пространства.

1.2. Скалярное произведение векторов в . Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в . Ортогональный и ортонормированный базисы в . Координаты вектора в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения подпространств.

Системы линейных уравнений. Матрицы и определители

2.1. Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная запись. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

2.2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Ранг матрицы. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

2.3. Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений вида .

2.4. Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам*. Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными, состоящей из уравнений; 4) нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формуле Крамера; 5) нахождение обратной матрицы.

Многочлены и комплексные числа

3.1. Основные понятия, связанные с многочленами. Схема Горнера и корни многочленов. Теорема Безу. НОД многочленов и алгоритм Евклида. Разложение правильной дроби на сумму элементарных дробей.

3.2. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Корни -ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры ^*.

4. Линейные преобразования и квадратичные формы

4.1. Линейные преобразования пространства . Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные значения квадратных матриц.

4.2. Билинейные и квадратичные формы, их матрицы в данном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы ^*.

Элементы аналитической геометрии

5.1. Прямая и гиперплоскость в n -мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n -мерном пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве.

5.2. Классификация кривых второго порядка ^*. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

5.3. Классификация поверхностей второго порядка ^*. Эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды, их канонические уравнения.

5.4. Выпуклые множества в пространстве . Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в .

Линейное программирование

6.1. Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Формы задач линейного программирования: общая, стандартная, каноническая.

6.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.

6.3. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод). Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса).

6.4. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.

 

III. СОДЕРЖАНИЕ ЗАЧЕТА И ЭКЗАМЕНА

Теоретические вопросы (А)

(определения, свойства и теоремы на уровне формулировок)

 

1. Определение линейного пространства.

2. Определение подпространства линейного пространства. Критерий подпространства.

3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.

4. Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.

5. Определение ортогональной системы векторов.

6. Определение скалярного произведения векторов в и его свойства.

7. Понятия определенной и неопределенной систем уравнений.

8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.

9. Определение ранга матрицы.

10. Понятия вырожденной и невырожденной матриц.

11. Определение ортогональной матрицы.

12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.

13. Определение обратной матрицы и ее свойства.

14. Свойства определителей.

15. Теоремы о целых и рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

16. Теорема Безу и следствия из нее.

17. Определение модуля и аргумента комплексного числа.

18. Формула Муавра.

19. Основная теорема алгебры.

20. Определение линейного преобразования.

21. Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.

22. Определение квадратичной формы.

23. Закон инерции квадратичных форм.

24. Критерий Сильвестра.

25. Формула расстояния между точками в многомерном пространстве. Свойства расстояния.

26. Определение отрезка, теорема об отрезке.

27. Определение - плоскости. Гиперплоскость.

28. Определение и свойства выпуклого множества.

29. Определение и примеры кривых второго порядка.

30. Определение и примеры поверхностей второго порядка.

31. Определение угловых точек выпуклого множества.

32. Определение стандартной задачи линейного программирования.

33. Определение канонической задачи линейного программирования.

34. Графическое решение задач линейного программирования.

35. Определение двойственной задачи линейного программирования.

36. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

 

Теоретические вопросы (Б)

(теоретические вопросы на доказательство)

 

1. Неравенство Коши-Буняковского.

2. Неравенство треугольника.

3. Линейная независимость лестничной системы векторов.

4. Однозначность разложения вектора по базису.

5. Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

6. Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

7. Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

8. Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

9. Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

10. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.

12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

13. Невырожденность ортогональной матрицы.

14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.

17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

18. Вывод канонического уравнения эллипса.

19. Вывод канонического уравнения гиперболы.

20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств.

21. Переход от стандартной задачи линейного программирования к канонической.

22. Переход от канонической задачи линейного программирования к стандартной.

23. Линии уровня и графическое решение задач линейного программирования.

24. Алгоритм симплекс-метода.

25. Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса).

26. Основные теоремы двойственности.

 

Практические задания

1. Линейные операции над векторами в .
2. Вычисление скалярных произведений, длин векторов и угла между векторами в .
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
4. Исследование систем векторов на линейную зависимость.
5. Вычисление ранга системы векторов.
6. Разложение вектора по базису общего вида в .
7. Вычисление координат вектора относительно заданного ортогонального базиса в .
8. Нахождение размерности пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
9. Построение фундаментального набора решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
10. Вычисление ранга матрицы.
11. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц.
12. Вычисление произведения матриц.
13. Вычисление обратной матрицы.
14. Вычисление определителей.
15. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
16. Нахождение целых и рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами. Разложение многочленов на множители.
17. Деление многочленов уголком. Нахождение НОД многочленов с помощью алгоритма Евклида.
18. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.
19. Вычисления с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
20. Перевод комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую форму.
21. Решение простейших алгебраических уравнений с действительными коэффициентами в области комплексных чисел.
22. Нахождение собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы.
23. Нахождение матрицы линейного преобразования. Вычисление ранга линейного преобразования.
24. Нахождение образа вектора при линейном преобразовании пространства .
25. Нахождение матрицы квадратичной формы. Вычисление ранга квадратичной формы.
26. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.
27. Исследование квадратичной формы на знакоопределенность по критерию Сильвестра.
28. Нахождение общего уравнения прямой на плоскости, заданной различными способами.
29. Нахождение точки пересечения прямых и угла между парой прямых на плоскости.
30. Вычисление расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми на плоскости.
31. Определение вида кривой второго порядка по общему уравнению.
32. Нахождение основных характеристик кривых второго порядка по их каноническим уравнениям.
33. Нахождение общего уравнения плоскости в трехмерном пространстве, заданной различными способами.
34. Вычисление расстояния от точки до плоскости и расстояния между парой параллельных плоскостей в трехмерном пространстве.
35. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
36. Задание выпуклых многогранных областей системами линейных неравенств. Нахождение вершин выпуклых многогранных областей.
37. Графическое решение стандартных задач линейного программирования.
38. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод) решения канонических задач линейного программирования.
39. Метод искусственного базиса решения канонических задач линейного программирования.
40. Решение взаимо-двойственных задач линейного программирования.

 

Примеры задач (А)

1. Найдите вектор , где , и .

2. Найдите вектор из уравнения , если , и .

3. Найдите длину вектора , где и .

4. Найдите скалярное произведение векторов и .

5. Найдите косинус угла между векторами и .

6. Вычислите: , где , , .

7. Вычислите ранг системы векторов: а) , , ; б) , , .

8. Разложите вектор по базису , .

9. Исследуйте на линейную зависимость систему векторов: а) , , ; б) , , .

10. Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , .

11. Решите по формулам Крамера систему уравнений:

а) ; б) ; в) .

12. Решите методом Гаусса систему уравнений , выбирая и в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное решение.

13. Решите систему уравнений , выбирая и в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное решение.

14. Найдите фундаментальный набор решений системы .

15. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:

а) ; б) ;

16. Решите систему линейных уравнений, заданную в матричной форме:

.

17. Решите систему линейных уравнений:

18. Найдите ранг матрицы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;е) .

19. Найдите матрицу , если и .

20. Найдите матрицу , если , где , .

21. Вычислите где:

а) и ; б) и ;

в) и ; г) и ;

22. Вычислите где и .

23. Вычислите матрицу .

24. Вычислите , если: а) ; б) .

25. Вычислите определитель матрицы .

26. Вычислите: а) ; б) .

27. Вычислите определитель матрицы , если .

28. Вычислите определитель матрицы , если .

29. Найдите целые корни многочленов

а) ; б) .

30. Найдите наибольший общий делитель многочленов:

а) и ;

б) и .

31. Запишите в тригонометрической форме комплексное число .

32. Решите уравнение в области комплексных чисел: а) ;

б) .

33. Найдите модуль комплексного числа , если .

34. Найдите модуль комплексного числа , если:

а) , , ; б) , , .

35. Найдите аргумент комплексного числа , если:

а) , , , ;

б) , , ;

в) , , .

36. Запишите квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имеет корень .

37. Найдите собственные значения матрицы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

38. Найдите собственные значения матрицы , если .

39. Найдите собственные значения матрицы , если .

40. В пространстве столбцов действует линейное преобразование по правилу: . Напишите матрицу преобразования в стандартном базисе и найдите , где .

41. В пространстве действует линейное преобразование по правилу: . Напишите матрицу преобразования в стандартном базисе.

42. В пространстве столбцов действует линейное преобразование по правилу: . Найдите образ вектора .

43. В пространстве действует линейное преобразование по правилу: . Найдите образ вектора .

44. Линейное преобразование пространства задано в стандартном базисе своей матрицей . Найдите образ вектора .

45. Вычислите ранг квадратичной формы:

а) ;

б) ;

в)

г) .

46. Вычислите ранг квадратичной формы, если ее матрица в некотором базисе имеет вид:

а) ; б) ; в)

47. Выясните, является ли положительно определенной квадратичная форма .

48. Выясните, является ли знакоопределенной квадратичная форма

.

49. Найдите угол в треугольнике с вершинами

а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , .

50. Найдите точку пересечения прямых и .

51. Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку , в направлении вектора .

52. Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку имеет нормальный вектор .

53. Найдите уравнение прямой, содержащей точку и перпендикулярной к прямой, проходящей через точки и .

54. Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точки и .

55. Найдите общее уравнение прямой, содержащей точку и параллельной прямой .

56. Найдите расстояние от точки до прямой

а) , ;б) , .

57. Найдите эксцентриситет эллипса .

58. Найдите эксцентриситет гиперболы .

59. Запишите уравнения асимптот гиперболы .

60. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

а) ; б) ;

в) .

61. Две прямые заданы уравнениями и . Найдите косинус угла между ними.

62. Найдите косинус угла между плоскостями и .

63. Найдите расстояние от точки до плоскости .

64. Найдите расстояние между параллельными плоскостями и .

65. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой .

66. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку и перпендикулярной вектору .

67. Найдите общее уравнение плоскости , которая параллельна плоскости и проходит через точку .

68. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через три точки

а) , , ; б) , , ; в) , , .

69. Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

70. Найдите длину отрезка , если , .

71. Пусть – выпуклая оболочка точек , , . Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество .

72. Пусть – выпуклая оболочка точек , , , . Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество .

73. Решите графически задачи линейного программирования:

, ,

74. Привести к стандартной форме следующую задачу линейного программирования:

 

.

75. Дана начальная симплекс-таблица задачи линейного программирования на минимум:

.

Решить задачу симплекс-методом.

 

 

Примеры задач (Б)

1. Разложите векторы и по базису, состоящему из векторов , , .

2. При каких значениях параметра векторы , , линейно зависимы? Выразить вектор в виде линейной комбинации векторов и .

3. Даны векторы , , , . При каких значениях параметров , , верно равенство ?

4. Найти все значения параметра , при которых вектор линейно выражается через векторы , , .

5. При каких значениях параметра векторы и ортогональны?

6. При каких значениях параметра векторы , , образуют базис пространства ?

7. При каких значениях параметра векторы , , образуют ортогональный базис пространства ?

8. При каких значениях параметра векторы , , компланарны?

9. Найдите значения параметра , при которых строки заданной матрицы линейно зависимы:

а) ; б) .

10. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:

а) ; б) ;

в) .

11. Найдите значения параметра , при которых следующая система линейных уравнений, заданная в матричной форме, имеет бесконечно много решений; для найденных значений параметра укажите общее решение системы: .

12. При каких значениях параметра однородная система уравнений имеет ненулевые решения?

13. При каких значениях параметра система уравнений имеет единственное решение?

14. При каких значениях параметра матрица является невырожденной?

15. При каких значениях параметра ранг матрицы равен 4?

16. При каких значениях параметра ранг матрицы равен 3?

17. Используя равенство , найдите матрицу .

18. Вычислите степень ортогональной матрицы .

19. Вычислите определитель матрицы

а) ; б) ;

в) .

20. Найдите определитель матрицы , если .

21. Представьте дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей над :

а) ;

б) .

22. Решите систему уравнений по формулам Крамера: .