IV. Образцы билетов к зачету (1-ый семестр)

Вариант 1

1. Дайте определение квадратной матрицы. Приведите пример квадратной матрицы третьего порядка ранга 2. Чему равен ее определитель?

2. Докажите, что для ненулевых векторов выполняются неравенства

3. Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , , .

4. Вычислить произведения матриц: и .

5. Вычислить обратную матрицу для следующей матрицы .

Вариант 2

1. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений. Приведите пример применения правила Крамера.

2. Опишите операцию сопряжения комплексных чисел. Покажите, что сопряжение сохраняет сумму и произведение комплексных чисел.

3. Из системы столбцов заданной матрицы A выделить максимальную линейно независимую подсистему и представить остальные столбцы в виде линейных комбинаций выделенных:

.

4. Вычислить определитель матрицы

.

5. Решить матричное уравнение

.

 

V. ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ (2-ой семестр)

Вариант 1

1. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно сказать об определителе произвольной матрицы размера ранга n? Ответ обосновать.

2. Приведите пример симплекс-таблицы задачи линейного программирования, имеющей единственное решение.

3. Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Из скольких элементов он состоит? Приведите пример. Ответ обосновать.

4. Дополнить следующие векторы до ортогонального базиса: , .

5. Вычислить матрицу .

6. Вычислить определитель матрицы

.

7. Найти канонические уравнения сторон треугольника ABC с вершинами , , .

8. Найти решение следующей задачи линейного программирования:

 

Вариант 2

1. Дайте определение произведения матриц A и B. Приведите пример. Для любых ли квадратных матриц верно равенство ? Ответ обосновать.

2. Приведите пример симплекс-таблицы задачи линейного программирования, не имеющей решения.

3. Запишите общее решение однородной системы линейных уравнений. Образует ли множество решений однородной системы линейных уравнений линейное пространство? Ответ обосновать.

4. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:

.

5. Найти матрицу .

6. Вычислить определитель матрицы .

7. Найти уравнения сторон треугольника с вершинами , , .

8. Привести к стандартной форме следующую задачу линейного программирования:

 

VI. ОТВЕТЫ

Примеры задач (А)

1. ; 2. ; 3. 8; 4. ; 5. ; 6. ; 7. а) 3; б) 2; 8. ; 9. а) линейно зависима; б) линейно независима; 10. , ; 11. а) , ; б) , ; в) ; 12. ; 13. ; 14. , ; 15. а) 3; б) 1; 16. , , ; 17. , , ; 18. а) 3; б) 4; в) 2; г) 2; д) 2; е) 3; 19. ; 20. ; 21. а) ; б) ; в) ; г) ; 22. ; 23. ; 24. а) ; б) ; 25. 36; 26. а) 54; б) 48; 27. 64; 28. ; 29. а) 2, ; б) , 1; 30. а) ; б) ; 31. ; 32. ; 33. ; 34. а) 10; б) ; 35. а) ; б) ; в) ; 36. ; 37. а) , ; б) , ; в) , ; г) , , ; д) , , ; е) , , ; 38. , ; 39. , ; 40. , ; 41. ; 42. ; 43. ; 44. ; 45. а) 3; б) 2; в) 1; г) 1; 46. а) 3; б) 1; в) 2; 47. Да; 48. Нет; 49. а) 60°; б) 45°; в) 30°; г) 90°; 50. ; 51. ; 52. ; 53. ; 54. ; 55. ; 56. а) 2; б) 2; 57. ; 58. ; 59. ; 60. а) Гипербола; б) Эллипс; в) Парабола; 61. ; 62. ; 63. 7; 64. 3; 65. ; 66. ; 67. ; 68. ; 69. ; 70. 5; 71. ; 72. ; 73. a) min в точке б) min в точке: ,

max в точке: , в) max в точке: 74. 75.

Примеры задач (Б)

1. , ; 2. , ; 3. , , ; 4. ; 5. , ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. а) ; б) ; 10. а) ; б) ; в) ; 11. ; 12. , ; 13. , ; 14. , ; 15. , , , ; 16. , , , ; 17. ; 18. ; 19. а) 8; б) 72; в) ; 20. ; 21. а) ; б) 22. (1; 4); 23. ; 24. ; 25. ; 26. а) ; б) ; 27. а) ; б) ; 28. , ; 29. а) ; б) ; в) ; 30. ; 31. ; 32. , , ; 33. ; 34. ; 35. ; 36. ; 37. 12; 38. ; 39. ; 40. ; 41. ; 42. ; 43. ; 44. ; 45. ; 46. ; 47. ; 48. ; 49. ; 50. ; 51. ; 52. ; 53. , , ; 54. ; 55. ; 56. ; 57. а) (3; 3), (12; 7), (7; 13); б) (2;4;0;60;0), (11;8;60;0;0), (5;12;0;0;60); 58. а) max в точке б) max в точке min в точке 59. .

Образцы билетов для зачета (1-й семестр)

Вариант 1

2. ; 4.

5.. .

Вариант 2

 

3. .

Ранг матрицы A равен 2. Ответ. . 4. 114;

5. .

Образцы экзаменационных билетов (2-й семестр)

Вариант 1

4. Ответ. ; 5. . 6. 48; 7. , , ; 8. Оптимальное решение достигается при

Вариант 2

4. . Ранг системы равен 3.

Частное решение: , , , .

5. .

6. -4.

7. : , : , : .

8. .

 

VII. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник для вузов: Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 2003 (рекомендовано Министерством образования РФ).
2. Калачев Н.В. Линейные и евклидовы пространства. Пособие для бакалавров экономики и менеджмента. Ч. 1, – М.: Финакадемия, 2009. – 130 с. Под редакцией В.Б. Гисина и С.В. Пчелинцева.
3. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Многочлены и комплексные числа. Собственные значения и собственные векторы. Модель Леонтьева. Пособие для бакалавров экономики и менеджемента. – М.: Финакадемия, 2009.
4. Тищенко А.В. Линейная алгебра: Элементы аналитической геометрии: Учебное пособие для бакалавриата. Ч. 3. М.: Финакадемия, 2009.
5. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейная алгебра. Ч. 4: Линейное программирование: Учебное пособие для подготовки бакалавров / Под ред. В.Б. Гисина и С.В. Пчелинцева. М.: Финакадемия, 2009.
6. Бабайцев В.А., Гончаренко В.М., Шандра И.Г. Математика для экономистов. Ч. 1. Линейная алгебра (руководство к решению задач). – М.: Финансовая академия, 2001.
7. Браилов А.В., Липагина Л.В., Швецов Ю.Н. Математика в экономике. Ч. 2. Аналитическая геометрия. Линейное программирование (руководство к решению задач). – М.: Финансовая академия, 1999.
8. Браилов А.В., Орлова М.Г., Рылов А.А. Математика для экономистов. Ч. 2. Аналитическая геометрия (руководство к решению задач). – М.: Финансовая академия, 2003.
9. Волкова Е.С. Теория кривых второго порядка (тексты лекций). – М.: Финансовая академия, 2001.
10. Пчелинцев С. В. Вопросы и задачи по линейной алгебре. – М.: Финансовая академия, 2006.
11. Сборник задач по курсу математики (под ред. Солодовникова А.С. и Браилова А.В.). – М.: Финансовая академия, 2001.
12. Калачев Н.В., Липагина Л.В., Орлова М.Г. Математика. Учебно-методический материал для подготовки домашних контрольных заданий по линейной алгебре с элементами аналитической геометрии и линейному программированию. Часть I. – М.: Финансовая академия, 2005.
13. Калачев Н.В., Липагина Л.В., Орлова М.Г. Математика. Учебно-методический материал для подготовки домашних контрольных заданий по линейной алгебре с элементами аналитической геометрии и линейному программированию. Часть II. – М.: Финансовая академия, 2005.
14. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1999 (рекомендовано Министерством образования РФ).

* Без доказательства (здесь и далее по тексту).