Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор , равный по абсолютной величине площади параллелограмма, построенного на векторах и , направленный перпендикулярно к плоскости, содержащей эти векторы, в такую сторону, чтобы вращение от вектора к вектору по кратчайшему пути вокруг вновь полученного вектора происходило против часовой стрелки (рис.8). Другими словами, направление вектора определяется по правилу буравчика в направлении от к (в направлении меньшего угла), поступательное движение буравчика показывает направление вектора . Векторное произведение обозначается как

, или

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , выражается формулой

 

 

	Рисунок 8 - Определение направления

 

 

Поэтому модуль векторного произведения равен

.

 

Примером векторного произведения является формула, связывающая линейную скорость с угловой (рис.9)

 

,

 

	Рисунок 9 – Определение вектора

 

где - вектор линейной скорости; - вектор угловой скорости; - радиус вектор.

Радиус - вектором точки называется вектор, проведённый из начала координат в данную точку А.

 

Если векторы и параллельны, то векторное произведение равно нулю: , так как в этом случае

 

Если векторы и перпендикулярны, то числовое значение векторного произведения равно произведению их модулей:

 

, так как

 

ПРИЛОЖЕНИЕ IV НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

 

 

Таблица IV.1 Основные тригонометрические формулы

 

№	Формула	№	Формула

 

Таблица IV.2 Таблица производных

Функция	Производная	Функция	Производная
		sh	ch
		ch	sh
		th
		cth

 

Таблица IV.3 Формулы дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление

 

Таблица IV.4 Формулы интегрального исчисления

 

 

Интегральное исчисление

 

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Вектор перемещения 9

Вес тела 63

Взаимодействие

- гравитационное 31

- электромагнитное 32

Гидро

- аэромеханика 71

- аэростатика 71

Гравитация 63

Движение

- вращательное 8

- ламинарное 77

- механическое 6

- нестационарное 74

- поступательное 8

- равномерное 13

- равнопеременное 15

- стационарное 74

- турбулентное 74

Закон

- Архимеда 73

- Бернулли 76

- всемирного тяготения 64

- Гука 34

- Паскаля 72

- Пуазейля

- релятивистской динамики 87

- сохранения

-- импульса 37

-- массы 37

-- механической энергии 49

-- момента импульса 60

- Ньютона 30

-- первый 30

-- второй 38

-- третий 40

- Торричелли 76

- трения скольжения

Импульс тела 37

Космическая скорость 67

- первая 67

- вторая 67

- третья 68

Масса

-материальной точки 36

- тела 36

Материальная точка 5

Механика 5

- квантовая 5

- классическая 5

Момент

- импульса 59

- инерции тела 57

- силы 55

Мощность 44

- мгновенная 44

- средняя 44

Напряжённость поля тяготения 65

Падение

- свободное 20

Поле

- стационарное 31

- физическое 31

Правило моментов 56

Преобразования

- времени 81, 83

- Галилея 80

- импульса 88

- Лоренца 82

- массы 87

- координат 81, 82

- энергии 88

- скоростей 81

- ускорений 81

Принцип

-независимости действия сил 39

-относительности Галилея 80

- суперпозиции 32

-- сил 32

-- полей 65

-эквивалентности Эйнштейна 71

Постулаты релятивистской теории 82

- первый 82

- второй 82

Потенциал гравитационного поля 65

Плотность тела 38

Путь 9

Работа

- переменной силы 42

- постоянной силы 41

- элементарная 42

Сила 31

- внутренние 32

- внешние 32

- гироскопические 45

- гравитационные 32, 63

- диссипативные 45

- Кориолиса 69

- непотенциальные 45

- потенциальные 45

- результирующая 32

- трения 34

- упругости 32

- центростремительная 39

- центробежная 69

Система

- диссипативная 50

- изолированная 32

- координат 6

- консервативная 45

- материальных точек 5

- неконсервативная 45

- отсчёта 6

-- инерциальная 30

-- неинерциальная 68

Скорость 10

- мгновенная 11

- средняя10

- угловая 27

Тело

- абсолютно твёрдое 6

- отсчёта 6

Теорема

-Гюйгенса – Штейнера 57

-о кинетической энергии тела 47

Удар 50

- абсолютно

-- неупругий 51

-- упругий 52

- центральный 51

Ускорение 11

- среднее11

- мгновенное 12

-тангенциальным 12

- нормальное 12

- полное 13

Уравнение

- Бернулли 75

- неразрывности 74

Центр масс 37

Числом степеней свободы 7

Энергия 46

- диссипации

- кинетическая 46

- механическая 46

- потенциальная 47

- покоя тела 88

-- силы тяжести 47

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учебное пособие «Основы механики» написано в соответствии с действующей программой курса общей физики для инженерно-технических специальностей вузов. Хотелось бы отметить, что среди всех дисциплин, изучаемых в вузе нет таких, которые могли бы сравниться с курсом физики по богатству и многообразию идей, методов исследования и фундаментальности изучаемых в нём явлений и законов.

 

В наши дни существенно изменилось положение курса физики в системе подготовки современного инженера. Если раньше курс физики был в основном базой, фундаментом, на котором строилось здание инженерной подготовки, то теперь курс физики, полностью сохранив это значение, стал общеобразовательной дисциплиной.

 

Уважаемые студенты, мы старались путём тщательного отбора и лаконичного изложения материала, достигнуть того, чтобы предложенный материал был доступен Вам и понятен, невзирая на уровень Вашей подготовки.

 

Изложение материала велось без громоздких математических выкладок, должное внимание уделялось физической сути явлений.

 

Очень надеемся, что данное пособие стало для Вас неоценимым помощником при овладении одним из важных разделов общего курса физики. Время и усилия, потраченные на усвоение основ современной физики, сторицей окупятся в дальнейшей Вашей учёбе и работе.

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основная литература

 

1. Баранов, А.М. Основы теории относительности и гравитации: Математическое введение. Учебное пособие/ Баранов, А.М. - Красноярск, 1987. - 91 с.

 

2. Бондарев, Б.В. Курс общей физики: Учебное пособие для высших технических учебных заведений в 3 книгах, т.1 Механика, / Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. – М.: Высш. шк., 2005. – 352 с.

 

3. Бондарев, Б.В. Курс общей физики: Учебное пособие для вузов по техн. напр. подготовки и специальностям./ Бондарев Б.В., Спирин Г.Г. – М.: Высшая школа, 2005. – 560 с.

 

4. Грабовский, Р.И. Курс физики./ Грабовский, Р.И. – СПб., М., Краснодар: Лань, 2005. – 607 с.

 

5. Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. Кн. 1 / И.В. Савельев. – М.: Наука; Физматлит, 1989. – 350 с.

 

6. Трофимова, Т.И. Курс физики: Учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов / Т.И. Трофимова. – 9–е изд., перераб. и доп. – М,: Academia, 2004. – 558 с.

 

7. Трофимова, Т.И. Курс физики. / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2003. – 543 с.

 

8. Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Высшая школа, 2001. – 718 с.

 

9. Мандельштам, Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике/ Л.И. Мандельштам.- М.: Наука, 1972.- 437

 

10. Окунь, Л.Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность)/ Л.Б. Окунь. – М.: ”Успехи физических наук”, т. 158, вып.3, 1989, с.511-530.

 

11. Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики / В.С. Волькенштейн. – М.: Наука, 1999. – 327 с.

 

12. Чертов, А.Г. Задачник по физике / Чертов А.Г., Воробьев А.А. – М.: Интеграл-пресс, 1997. – 544 с.

 

13. Трофимова, Т.И. Сборник задач по курсу физики / Т.И.Трофимова. – М.: Высшая школа, 1996. – 303 с.

 

Дополнительная литература

 

1. Грибов, Л.А. Основы физики / Грибов Л.А., Прокофьева Н.И. – М.: Гардарика, 1998. – 564 с.

 

2. Джанколи, Д.Д. Физика в 2 т. Т1 / Д.Д. Джанколи. – М.: Мир, 1989. – 653 с.

 

3. Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах. / Т.И. Трофимова. – М.: Дрофа, 2002. – 423 с.

 

4. Чернов, И.П. Сборник задач по физике./ И.П. Чернов, В.В. Ларионов, Ю.И. Тюрин. – М.: Высшая школа, 2007. – 404 с.

 

5. Рубан, И.И., Физика: Задания к практическим занятиям./ Рубан И.И., Жаврид С.М., Великевич Н.Е., Лагутина Ж.П. – М.: Высшая школа, 1989. – 235 с.

 

6. Кухлинг, Х. Справочник по физике: перевод с немецкого. / Х. Кухлинг. – М.: Мир, 1985. – 520 с.

 

7. Детлаф, А.А Справочник по физике / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Наука, 1990. – 507 с.

 

8. Кибец, И.Н. Физика: Справочник. / Кибец И.Н. и Кибец В.И. – Харьков: Фолио; Ростов н/Д, Феникс, 1997. – 479 с.

 

9. Мясников, С.П., Осанова Т.Н. Пособие по физике: Учебное пособие для подгот. отделений вузов. /С.П. Мясников, Осанова Т.Н. – М.: Высшая школа, 1988.- 399 с.

 

10. Савельев, И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике / И.В. Савельев. – М.: Наука, Физматлит, 1989. – 288 с.

 

11. Гладкова, Р.А. Сборник задач и вопросов по физике / Р.А. Гладкова, В.Е. Добронравов, Л.С. Жданов, Ф.С. Цодиков.- М.: Наука, 1972.-

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………………….3

Часть I. Общие теоретические сведения курса «Основы механики» …….5

Глава I.1. Кинематика материальной точки……………………..…………… 5

§I.1.1 Физические основы механики..…………………………………… 5

§I.1.2 Вектор перемещения. Путь. ………………………………………..9

§I.1.3 Скорость. Ускорение……..…………………………………….... 10

§I.1.4 Равномерное прямолинейное движение………………………….13

§I.1.5 Равнопеременное прямолинейное движение…………………....15

§I.1.6 Свободное падение тел ……………………………………………20

§I.1.7 Движение тела по окружности …………………………………...25

Глава I.2. Динамика материальной точки ……………………………………..30

§I.2.1 Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта ……...30

§I.2.2 Сила ………………………………………………………………...31

§I.2.3 Масса. Центр масс. Импульс. Закон сохранения импульса. Плотность …………………………………………………………………36

§I.2.4 Второй закон Ньютона …………………………………………...38

§I.2.5 Третий закон Ньютона …………………………………………….40

Глава I.3. Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса……….41

§I.3.1 Работа. Мощность …………………………………………………41

§I.3.2 Потенциальные и непотенциальные силы. Консервативные и неконсервативные системы тел …………………………………………45

§I.3.3 Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии………………………………………………………….…………46

§I.3.4 Удар абсолютно упругих и неупругих тел ………………………50

Глава I.4. Основы динамики вращательного движения абсолютно твёрдого тела ………………………………………………………………………..54

§I.4.1 Момент силы и момент инерции …………………………………54 §I.4.2 Основной закон динамики вращательного движения …………..59

§I.4.3 Работа, Мощность, Энергия вращательного движения ………...61

Глава I.5. Всемирное тяготение. Элементы теории поля……………… …...63

§I.5.1 Гравитационное поле, его напряжённость ………………………63

§ I.5.2 Потенциал поля …………………………………………………...65

§I.5.3 Космические скорости …………………………………………….67

§I.5.4 Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции ……………..68

Глава I.6. Основы гидроаэромеханики ……………………………………… 71

§I.6.1 Механические свойства жидкостей и газов ……………………...71

§I.6.2 Гидроаэростатика ………………………………………………….72

§I.6.3 Движение жидкостей и газов. Уравнение Бернулли…………… 74

§I.6.4. Внутреннее трение в жидкостях……………………………….....77

Глава I.7. Элементы специальной теории относительности …………………80

§I.7.1 Преобразования Галилея ………………………………………….80

§I.7.2 Постулаты релятивистской теории ………………………………82

§I.7.3 Преобразования Лоренца …………………………………………84

§I.7.4 Релятивистские эффекты ………………………………………….85

§I.7.5 Релятивистская динамика………………………………………… 90

Часть II. Примеры решения задач...................................................................95

Глава II.1. Кинематика материальной точки…………………………………..95

§II.1.1 Основные законы и формулы………………………………….....95

§II.1.2 Примеры решения задач………………………………………….97

Глава II.2. Динамика материальной точки……………………………………109

§II.2.1 Основные законы и формулы …………………………………. 109

§II.2.2 Примеры решения задач ………………………………………..112

Глава II.3. Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса……..125

§II.3.1 Основные законы и формулы …………………………………. 125

§II.3.2 Примеры решения задач ………………………………………..127

Глава II.4. Механика твёрдого тела …………………………………………..140

§II.4.1 Основные законы и формулы …………………………………. 140

§II.4.2 Примеры решения задач ………………………………………..142

Глава II.5. Всемирное тяготение. Элементы теории поля …………………..157

§II.5.1 Основные законы и формулы …………………………………. 157

§II.5.2 Примеры решения задач ………………………………………..160

Глава II.6. Механика жидкостей и газов ……………………………………..173

§II.6.1 Основные законы и формулы …………………………………. 173

§II.6.2 Примеры решения задач ………………………………………..175

Глава II.7. Элементы специальной теории относительности ……………….190

§II.7.1 Основные законы и формулы …………………………………. 190

§II.6.2 Примеры решения задач ………………………………………..192

Часть III. Вопросы и задачи для самопроверки …………………………..201

§III.1.1 Кинематика материальной точки …………………………..…201

§III.1.2 Динамика материальной точки …...…………………………...210

§III.1.3 Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса.…218

§III.1.4 Механика твёрдого тела ………………………………………228

§III.1.5 Всемирное тяготение. Элементы теории поля ……………….233

§III.1.6 Механика жидкостей и газов …………………………………..240

§III.1.7 Элементы специальной теории относительности ……………247

Приложение……………………………………………………………………..252

Приложение I. Международная система единиц……………………...252

Приложение II. Основные законы и формулы………………………...271

Приложение III. Действия над векторами и их проекциями……….…275

Приложение IV. Некоторые сведения по математике………………...284

Предметный указатель…………………………………………………………287

Заключение……………………………………………………………………...289

Библиографический список……………………………………………………290

УДК 531/532

 

Черных. А.В. Основы механики. Учебное пособие по физике для студентов вузов, обучающихся по естественнонаучным, педагогическим и техническим направлениям А.В.Черных – Москва: РГУ Нефти и Газа им. И.М. Губкина, 2012. – 293с.

 

 

Дано систематическое изложение физических понятий и законов, составляющих основы механики в соответствии с программой общего курса физики для технических университетов. Приведены примеры решения расчетных и качественных задач, а также предложены вопросы изадачи для повторения и самоподготовки.

Предназначено для самостоятельной работы в помощь при решении задач.

 

 

Рецензенты:

 

А.М. Салецкий, д. ф.-м., профессор, зав. кафедрой физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, зам. Председателя Научно-методического совета по физике;

 

А.И. Слепков, д. ф.-м., профессор, физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

 

 

© А.В.Черных 2012

© ФГБОУ ВПО «Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина», 2012