III. 4 механика твёрдого тела

А. Вопросы по теории

1. Сформулируйте основную задачу динамики вращательного движения.

2. Введите понятия: а) твёрдого тела; б) абсолютно твёрдого тела.

3. Что называется моментом силы относительно точки и относительно оси? Как определить величину и направление момента силы?

4. Сформулируйте правило моментов и общее условие равновесия тел.

5. Что называется центром масс абсолютно твердого тела? Запишите закон его движения.

6. Что называется моментом инерции материальной точки относительно заданной оси? Как вычисляются моменты инерции твердых тел относительно заданных осей вращения?

7. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера. Что следует из этой теоремы?

8. Запишите и объясните формулы для расчёта момента инерции тел простейшей формы, относительно некоторых осей.

9. Основной закон динамики вращательного движения. Запишите и проведите аналогию с основным законом динамики поступательного движения.

10. Что называется моментом импульса материальной точки относительно заданной оси? Как определить величину и направление момента импульса?

11. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. Запишите его.

12. Исходя из основного закона динамики в форме , получите уравнение моментов для материальной точки . Дайте определение момента силы и момента импульса относительно: а) точки; б) оси вращения. Каковы свойства этих физических величин?

13. Чему равна работа, мощность и энергия при вращательном движении?

14. Запишите закон сохранения механической энергии для катящегося тела. Поясните его.

15. Сопоставьте уравнения динамики поступательного и вращательного движений.

В. Тестовые задания

1. Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и скорость его вращения увеличить в 2 раза, то, как при этом изменится момент импульса тела.

2. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса (рис. 118). Две детали разрезали на четыре одинаковые части. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси . Для моментов инерции справедливо соотношение…

 

А. ; B. ; C. ; D.

 

	Рисунок 118 – Детали, вырезанные из жести

 

3. Тонкостенная трубка и кольцо имеют одинаковые массы и радиусы (рис. 119). Для их моментов инерции справедливо соотношение…

 

А. ; B. ; C. .

 

IТ

 

 

	Рисунок 119 – Тонкостенная трубка и кольцо

 

 

4. При расчёте моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкостенной трубки перенести из центра масс на образующую (рис. 120), то момент инерции относительно новой оси увеличится в…

А. 3 раза; B. 2 раза; C. 4 раза; D. 1,5 раза

 

	Рисунок 120 – Тонкостенная трубка

 

5. Абсолютно твёрдое тело вращается с угловым ускорением, изменяющимся по закону , где - некоторая положительная константа. Момент инерции тела остаётся постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость момента сил, действующих на тело от времени (рис. 121), определяется графиком…

 

А. В.

C. D.

	Рисунок 121 – Графики зависимости

6. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону . Зависимость момента сил, действующих на тело от времени (рис. 121), определяется графиком…

 

7. Алюминиевый и стальной цилиндры имеют одинаковую высоту и равные массы. На цилиндры действуют одинаковые по величине силы, направленные по касательной к боковой поверхности. Относительно моментов сил, действующих на цилиндры, справедливо следующее суждение:

 

A. на алюминиевый цилиндр действует больший момент сил, чем на стальной цилиндр;

B. на стальной цилиндр действует больший момент сил, чем на алюминиевый цилиндр;

C. моменты сил, действующие на цилиндры, одинаковы;

D. моменты сил, действующие на цилиндры равны нулю.

8. Шар, цилиндр (сплошной) и тонкостенный цилиндр с равными массами и радиусами раскрутили каждый вокруг своей оси до одной и той же угловой скорости и приложили одинаковый тормозящий момент. Раньше других тел остановится…

 

А. цилиндр; В. цилиндр с шаром; С. шар; D. тонкостенный цилиндр.

 

9. Шар радиуса и массы вращается с угловой скоростью . Работа, необходимая для увеличения скорости его вращения в 2 раза, равна…

А. ; В. ; С. ; D.

 

10. На барабан, радиусом м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой кг. Груз опускается с ускорением м/с². Момент инерции барабана…

А. 10 кг · м²; В. 2,5 кг · м²; С. 12,5 кг · м²; D. 15 кг · м².

 

С. Задачи

1. Через блок в виде диска, имеющий массу 80 г, перекинута тонкая, гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами 100 г и 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трение пренебречь.

2. Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 20 см был раскручен до частоты 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным, принимая, что: а) маховик остановился через 50 с; б) маховик до полной остановки сделал 200 об.

3. Платформа в виде диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдёт на край платформы?

4. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота обращения 0,5 об/с. Момент инерции тела человека относительно оси вращения 1,6 кг∙м². В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1,6 м. Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным 0,4 м? Моментом инерции скамейки пренебречь.

5. Найти момент инерции тонкого однородного кольца радиусом 20 см и массой 100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

6. Диаметр диска 20 см, масса 800 г. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно к плоскости диска.

7. Определить момент инерции тонкого стержня длиной 30 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: а) его конец; б) его середину; в) точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

8. Обруч массой и радиусом вращается вокруг оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно к плоскости обруча. Чему равен его момент инерции?

9. Определить момент инерции стержня массой и длиной относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии от его конца.

10. К диску массой 20 кг и радиусом 0,3 м, вращающемуся вокруг неподвижной оси, приложен вращающий момент 4 H×м. Определить угловое ускорение диска.

11..Найти угловое ускорение диска массой 5 кг и радиусом 0,1 м, если момент силы, действующей на диск, равен 5 Н×м.

12. Маховое колесо, находясь в состоянии покоя, начало вращаться равноускоренно и через 3 сприобрело угловую скорость 9,42 рад/с. Определить величину вращающего момента, если момент инерции маховика относительно его оси вращения равен 245 кг×м².

13. Маховик вращался с частотой 10 об/с. После выключения мотора он остановился, сделав 50 полных оборотов. Определить момент силы торможения, если момент инерции маховика 1 кг×м².

14. Обруч и сплошной цилиндр имеют одинаковую массу в 2 кги катятся с одинаковой скоростью 5 м/с. Найти кинетические энергии этих тел.

15. Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости высотой 15 см. Какую скорость поступательного движения будет иметь цилиндр в конце наклонной плоскости?

16. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием момента сил торможения маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 54 оборота, остановился. Определить момент сил торможения.