I. 5. 1 гравитационное поле, его напряжённость

Гравитацией (или тяготением) называется универсальное взаимодействие (притяжение) между любыми видами материи.

Гравитационные силы. Гравитационные силызависят только от взаимных расстояний между взаимодействующими материальными точками. В гравитационном поле, не изменяющемся с течением времени (стационарное гравитационное поле), работа гравитационной силы, действующей на данную перемещающуюся материальную точку, зависит лишь от начального и конечного положений точки и не зависит от формы её траектории. Поэтому гравитационные силы являются потенциальными силами. Гравитационные силы, направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точки, и поэтому называются центральными силами.

 

Гравитационная сила притяжения (сила тяжести) сообщает телу ускорение. Это ускорение называется ускорением свободного падения (подробнее о нём см.§I.1.6). Ускорение свободного падения связано с весом тела соотношением:

 

. (I.125)

Весом тела называется сила, с которой оно действует вследствие тяготения к Земле на опору или подвес, удерживающие его от свободного падения. При этом предполагается, что тело и опора (или подвес) неподвижны относительно системы отсчёта, в которой определяется вес тела.

Если тело вместе с опорой свободно падает, то его вес будет равен нулю. Исчезновение веса при движении опоры с ускорением свободного падения называется невесомостью. Состояние невесомости наблюдается в самолёте или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения независимо от направления и значения модуля скорости их движения.

 

При ускоренном движении тела и опоры с ускорением, направленным вертикально вверх, вес тела будет больше действующей на него силы тяжести. Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой. Действие перегрузки испытывают на себе космонавты, как при взлёте космической ракеты, так и на участке торможения космического корабля при входе в плотные слои атмосферы.

Вес любого тела – наибольший на полюсе и наименьший на экваторе. Кроме того, вес любого тела на некоторой высоте над Землёй меньше, чем на поверхности Земли. Разница в весе одного и того же тела в различных местах Земли или при подъёме на небольшую высоту невелика и практически неощутима.

Величина гравитационной силы определяется законом всемирного тяготения, сформулированным И. Ньютоном.

Закон всемирного тяготения: между двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения (силы тяготения, гравитационные силы), прямо пропорциональные массам этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними. Модуль силы тяготения определяется выражением:

, (I.126)

где и - массы взаимодействующих точек; - расстояние между ними. Коэффициент пропорциональности - называется гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная определяется опытным путём и равна силе взаимодействия двух материальных точек, имеющих единичные массы и находящиеся на единичном расстоянии одна от другой. В системе СИ гравитационная постоянная имеет следующее значение:

(Н·м²/кг²).

Закон всемирного тяготения в указанной форме справедлив не только для двух материальных точек, но и для: а) тел произвольной формы, размеры которых во много раз меньше расстояний между центрами масс тел; б) тел со сферически-симметричным распределением масс. В этих случаях - расстояние между центрами масс взаимодействующих тел.

Закон всемирного тяготения был открыт И. Ньтоном на основании основных законов динамики и законов Кеплера. Основные законы динамики мы рассмотрели выше, а теперь сформулируем законы Кеплера.

§ Планеты движутся по эллиптическим траекториям, в одном из фокусов которых находится Солнце.

§ Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени занимает одинаковые площади.

§ Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Каждое тело (например, Земля) создаёт вокруг себя силовое поле – поле тяготения. Напряжённость этого поля в любой его точке характеризует силу, которая действует на находящееся в этой точке другое тело и представляет собой векторную величину, направление которой определяется направлением гравитационной силы. Напряжённостью поля тяготения называется отношение силы, действующей на тело, помещённое в поле тяготения, к массе этого тела.

. (I.127)

Напряжённость гравитационного поля в данной точке пространства равна ускорению свободного падения тела, находящегося в этом месте пространства: .

Как мы видим, напряжённость гравитационного поля совпадает по величине, направлению и единицам измерения с ускорением свободного падения, но, несмотря на это, по своему физическому смыслу это совершенно разные физические величины. В то время как напряжённость поля характеризует состояние пространства в данной точке, сила и ускорение появляются только тогда, когда в данной точке находится пробное тело.

Модуль напряжённости гравитационного поля тела (материальной точки) с массой на расстоянии от неё равен

. (I.128)

Эта формула справедлива и в тех случаях, когда источником гравитационного поля является однородное по плотности тело сферической формы. При этом расстояние отсчитывается от центра масс тела, а радиус поверхности тела должен быть меньше этого расстояния.

Гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции полей: при наложении нескольких гравитационных полей их напряжённости в каждой точке пространства складываются геометрически, т.е. напряжённость результирующего поля

, (I.129)

где - напряжённость - го поля в рассматриваемой точке пространства.

 

I.5.2 ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ

В силу потенциальности гравитационного поля можно ввести его энергетическую характеристику – потенциал. Потенциалом гравитационного поля называется скалярная величина , равная отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку поля, к массе материальной точки:

. (I.130)

Потенциал не зависит от массы материальной точки, а является функцией координат точек гравитационного поля. Например, потенциал гравитационного поля, создаваемого неподвижной материальной точкой массы :

, (I.131)

где - расстояние от источника поля до рассматриваемой точки.

Из формулы (I.131) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образуют сферическую поверхность . Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.

Если потенциал гравитационного поля, создаётся произвольной системой из неподвижных материальных точек, то при наложении гравитационных полей их потенциалы складываются алгебраически, т. е. потенциал в любой точке результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов в той же точке для всех накладывающихся полей порознь:

. (I.132)

При пользовании формулой (I.132) необходимо, чтобы начала отсчётов потенциалов всех накладывающихся полей были выбраны одинаково: .

Существует взаимосвязь между потенциалом поля тяготения и его напряжённостью:

. (I.133)

Величина характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения и носит название градиента потенциала.

Связь между потенциалом поля тяготения и его напряжённостью, можно представить и в другом виде:

 

, (I.134)

 

где - градиент скаляра ( - векторный дифференциальный оператор). Знак минус в формуле (I.134) указывает, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.

I.5.3 КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ

Мы знаем, что тело, брошенное горизонтально с некоторой высоты, движется по параболе и падает на Землю тем дальше, чем больше скорость бросания. При некоторой скорости тело вообще может не упасть на Землю, а будет описывать круговые траектории, оставаясь на одной и той же высоте над Землёй. Это случится тогда, когда ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, будет равно центростремительному ускорению, необходимому для удержания тела при данной его скорости на круговой орбите, или, иначе говоря, когда сила притяжения тела Землёй будет являться центростремительной силой. Положив радиус орбиты равным радиусу Земли , напишем уравнение

. (I.135)

В этом уравнении - масса тела, - центростремительное ускорение тела, - сила тяжести, действующая на тело. Из уравнения (I.135) следует, что

. (I.136)

Скорость , определяемая формулой (I.136) называется первой космической скоростью. При радиусе Земли м и м/с², она будет равна м/с. При запуске спутника непосредственно у поверхности Земли (если бы не было атмосферы, необходимая начальная скорость была бы равна км/с).

Для того чтобы, тело могло выйти из сферы земного притяжения и стало спутником Солнца (т.е. удалилось на такое расстояние, при котором притяжение к Земле становится пренебрежимо малым), ему при запуске с Земли необходимо сообщить скорость , называемую второй космической скоростью.

Формула для её нахождения имеет вид (она выводится из закона сохранения энергии):

, (I.137)

или приняв во внимание формулу (I.136), получим, что км/с. Значение не зависит от направления, в котором запускается тело с Земли. От этого направления зависит лишь вид траектории, по которой тело удаляется от Земли.

И, наконец, для того, чтобы тело покинуло пределы Солнечной системы, ему при запуске с Земли, необходимо сообщить скорость км/с которая носит название третьей космической скорости. Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей.

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая – при запуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая – при запуске ракеты к Луне в 1959 г. После исторического полёта 12 апреля 1961г. началось бурное развитие как советской, так и зарубежной космонавтики.