Глава II. 4 механика твёрдого тела

II.4.1 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

1. Основное уравнение динамики вращательного движени я:

а) в общем случае

, (II.58)

 

где - момент силы, действующей на тело в течение времени ;

- момент инерции тела; - угловая скорость;

- момент импульса.

б) в случае постоянных момента силы и момента инерции

 

; (II.59)

 

в) в случае постоянного момента инерции

 

, (II.60)

где - угловое ускорение.

2. Момент импульса материальной точки

 

, (II.61)

или

, (II.62)

 

где - масса точки; - линейная скорость точки; - расстояние точки от оси, относительно которой определяется момент импульса.

3. Момент силы относительно оси вращения

 

, (II.63)

 

где - плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы , или

 

(II.64)

 

где - расстояние от оси вращения до точки приложения силы;

- угол между направлением действия силы и радиус – вектором , проведённым от оси вращения к точке приложения силы.

4. Момент инерции:

а) материальной точки

; (II.65)

б) твёрдого тела

, (II.66)

 

где - расстояние элемента массы от оси вращения. То же в интегральной форме

. (II.67)

Если тело однородно, т.е. его плотность одинакова по всему объёму, то и

, (II.68)

 

где интегрирование ведётся по всему объёму тела ;

в) моменты инерции тел простейшей формы относительно некоторых осей рассмотрены в главе I.4, § I.4.1.

5. Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

, (II.69)

 

где - момент инерции тела относительно произвольной оси;

- момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела (центр масс) параллельно рассматриваемой оси;

- масса тела; - расстояние между осями.

6. Закон сохранения импульса:

а) в общем виде

, (II.70)

 

где - момент - того импульса тела, входящего в состав системы;

7. Работа постоянного момента силы, действующего на вращающееся тело:

, (II.71)

 

где - угол поворота тела.

8. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:

. (II.72)

 

9. Кинетическая энергия вращающегося тела:

. (II.73)

 

10. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

, (II.74)

 

где - кинетическая энергия поступательного движения тела;

- скорость центра инерции тела;

- кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

11. Связь между работой, совершаемой при вращении тела и изменением его кинетической энергии:

 

. (II.75)

 

12. Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

 

Эта аналогия приведена в таблице 2 (глава I.4, § I.4.3.)

II.4.2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА № II.58 При наличии трения обруч скатывается с наклонной плоскости, а при отсутствии – скользит по ней. В каком случае и во сколько раз скорость, которую будет иметь обруч у основания наклонной плоскости, больше?

Ответ. При скольжении без трения скорость больше в 1,4 раза.

 

ЗАДАЧА № II.59 Катушка находится на столе рисунок 69. В какую сторону она будет двигаться, если нить натягивается силой (продолжение линии действия силы проходит через точку, лежащую на линии соприкосновения катушки со столом)?

 

	Рисунок 69 – Действие на катушку сил , и

 

 

Ответ. Действие момента силы относительно мгновенной оси приведёт к вращению катушки вокруг точки по часовой стрелке, и она покатится направо. Момент силы относительно мгновенной оси равен нулю, поэтому в этом случае нить будет сматываться, оставляя катушку на месте. Момент силы приведёт к вращению катушки против часовой стрелки, и она покатится влево.

 

ЗАДАЧА № II.60 Каким образом легче сдвинуть автомобиль с места: прикладывая силу к кузову автомобиля или к поверхности шины по касательной к ней?

Ответ. Легче сдвинуть автомобиль, прикладывая силу к поверхности шины по касательной в верхней точке колеса. При этом плечо силы равно . При приложении силы к кузову автомобиля плечо равно радиусу колеса, так как сила, приложенная к кузову, фактически действует на ось колеса.

ЗАДАЧА № II.61 На поверхности воды плавает деревянная пластинка, к которой прилагается пара сил (две равные антипараллельные силы, не действующие по одной прямой) в горизонтальном направлении. Относительно какой точки, поворачивается пластинка?

Ответ. Пара сил вызовет вращение пластинки вокруг её центра масс.

Указание. Так как сумма действующих на пластинку сил равна нулю, то центр масс её будет покоиться.

ЗАДАЧА № II.62 Планета движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Доказать, что момент количества движения планеты относительно Солнца есть величина постоянная.

Ответ. Согласно основному закону динамики вращательного движения: , где - вектор момента количества движения; - момент силы, действующей на тело. В рассматриваемом случае момент силы, действующей на планету (рассчитанный относительно Солнца), , где - радиус-вектор планеты, а - сила тяготения, действующая со стороны Солнца на планету. Так как векторы и направлены по одной прямой, то и, следовательно, . Это утверждение справедливо для всех движений под действием центральных сил.

 

ЗАДАЧА № II.63 Известно, что для того чтобы отличить сырое яйцо от сваренного вкрутую, достаточно попытаться закрутить его на столе. Варёное яйцо крутится долго. Сырое же раскрутить не удаётся. Объяснить, на чём основан этот способ.

Ответ. Яйцо, сваренное вкрутую, вращается как твёрдое тело, сырое – как сосуд, наполненный жидкостью; сообщая скорлупе вращение, мы ещё не сообщаем вращения всем частицам жидкости.

 

ЗАДАЧА № II.64 Какая из форм конца вала, изображённых на рисунке 70, а и б, выгоднее (при равных силах давления на опору и скоростях вращения) с точки зрения уменьшения потерь на трение при вращении вала в опорном подшипнике. (Трением о боковые стенки можно пренебречь).

а) б)

 

	Рисунок 70 – Различные формы конца вала

 

ЗАДАЧА № II.65 В какихслучаях момент импульса и угловая скорость вращающегося тела коллинеарные?

Ответ. При вращении тела вокруг одной из его главных осей инерции.

 

ЗАДАЧА № II.66 В каких случаях кинетическая энергия вращающегося тела определяется выражением: , где - момент инерции твёрдого тела; - угловая скорость?

Ответ. При вращении тела вокруг одной из его главных осей инерции.

 

ЗАДАЧА № II.67 В каких случаях основное уравнение динамики вращательного движения может быть представлено в виде: ?

Ответ. Если: а) тело является шаровым волчком, б) векторы и совпадают по направлению с одной из главных осей инерции.

 

ЗАДАЧА № II.68 Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг (рис. 71). С каким ускорением будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?

 

Дано: кг;

кг.

 

Найти: -?

Решение

 

	Рисунок 71 – Движение гири, подвешенной к валу в виде сплошного цилиндра

 

 

Линейное ускорение гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением вала соотношением:

, (1)

где - радиус вала.

Угловое ускорение вала может быть выражено основным уравнением динамики вращающегося тела:

, (2)

где - вращающий момент, действующий на вал;

- момент инерции вала.

Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси:

. (3)

Вращающий момент, действующий на вал, равен произведению силы натяжения шнура на радиус вала:

, (4)

где - сила натяжения шнура.

Силу натяжения шнура найдём из второго закона динамики. На гирю действуют две силы: сила тяжести () и сила натяжения шнура ().

Направление вектора ускорения () совпадает с направлением оси .

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

. (5)

Проецируем обе части уравнения (5) на ось :

: . (6)

Выразим из уравнения (6) силу натяжения нити и подставим в формулу (4), получим:

. (7)

Подставим формулы (7) и (3) в формулу (2) и после небольшого преобразования, получим:

. (8)

Найденное выражение (8) для углового ускорения, подставим в формулу (1) и после ряда преобразований, получим формулу для нахождения линейного ускорения гири:

; м/с².

ЗАДАЧА № II.69 К ободу диска массой 5 кг приложена касательная сила 19,6 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 с после начала действия силы?

 

Дано: 5 кг;

19,6 Н;

5 с.

Найти: -?

Решение

 

Согласно второму закону Ньютона импульс силы равен

,

или

, (1)

где и - начальные значения времени и скорости. По условию задачи и , значит, из (1) следует, что

. (2)

Выразим из (2) скорость вращения диска:

. (3)

Кинетическая энергия вращения диска равна:

, (4)

где - момент инерции диска; - угловая скорость его вращения. Момент инерции диска равен:

. (5)

Угловая скорость находится по формуле:

. (6)

Подставим в формулу (4) формулы (3), (5) и (6), получим:

 

; Дж.

 

ЗАДАЧА № II.70 Медный шар радиусом 10 см вращается с частотой 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вдвое?

 

Дано: см м;

об/с;

;

кг/м³.

Найти: -?

Решение

 

Работа по увеличению угловой скорости вращения шара будет равна приращению его кинетической энергии

. (1)

Кинетическая энергия вращения шара в начальный момент времени равна:

, (2)

где - момент инерции шара,

. (3)

Кинетическая энергия вращения шара в конечный момент времени равна:

. (4)

По условию задачи

. (5)

Подставим (5) в (4), получим

. (6)

Подставим в формулу (1) формулы (2) и (6)

. (7)

Угловая скорость связана с частотой формулой

. (8)

 

Масса шара равна:

, (9)

где - плотность меди.

Объем шара находится по формуле:

. (10)

Подставим в (3) формулы (9) и (10), получим:

. (11)

Подставим формулы (8) и (11) в формулу (7), после преобразований получим:

; Дж.

 

ЗАДАЧА № II.71 На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи 50 см. Скамья вращается с частотой 1 с^-1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведёт человек, если он сожмёт руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до 20 см? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения 2,5 кг·м². Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи.

Дано: см = м;

см = м;

кг;

с^-1;

кг·м².

Найти: -?

Решение

 

Частота вращения скамьи Жуковского изменяется в результате действий, производимых человеком при сближении гирь. (Предполагается, что человек не движется относительно скамьи). Однако и характер движения гирь, и характер взаимодействия гирь с человеком, и человека со скамьёй очень сложны. В системе тел скамья-человек-гири все эти силы являются внутренними и не изменяют ни импульса, ни момента импульса системы. Поскольку все тела системы совершают чисто вращательное движение вокруг одной и той же неподвижной оси, очевидно, следует рассматривать только момент импульса системы.

При перемещении гирь относительно оси вращения на систему скамья-человек-гири действуют внешние силы: силы реакции оси (линия действия которых проходит через ось); сила тяжести и сила нормальной реакции, параллельные оси вращения. Моменты всех этих внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. (Для скамьи Жуковского силы трения в оси можно считать отсутствующими). Следовательно, момент импульса этой системы остаётся постоянным:

, (1)

где - момент импульса системы до сближения гирь;

- момент импульса системы после сближения гирь.

Перепишем уравнение (1) в виде:

. (2)

До сближения гирь момент инерции всей системы:

. (3)

После сближения

. (4)

Выразим угловые скорости и через частоту вращения и :

; . (5)

Подставим формулы (5), (3) и (4) в уравнение (2), получим:

. (6)

Выразим из формулы (6) частоту вращения скамьи :

; с^-1.

Определим работу, которую совершит человек. Она будет равна изменению кинетической энергии системы:

. (7)

Учтём, что , получим:

. (8)

Подставим формулы (3),(4) и (5) в формулу (8), после ряда преобразований получим:

; Дж.

 

ЗАДАЧА № II.72 Выведите формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна , внутренний радиус , внешний .

 

Дано: ; ;

Найти:

Решение

 

Момент инерции полого шара, определим по формуле:

, (1)

где

; (2)

Подставим формулу (2) в формулу (1), получим:

. (3)

Обозначим через , получим:

.

 

ЗАДАЧА № II.73 Доска массой лежит на двух катках. Масса каждого их них равна (рис.72). Доску начинают толкать силой в горизонтальном направлении. Определить ускорение доски. Считать, что проскальзывания доски и катков нет.

 

Дано: ; ; .

Найти:

Решение

 

Под действием силы осуществляются: поступательное и вращательное движения доски.

 

 

	Рисунок 72 – Движение доски под действием силы .

 

 

Часть силы, обеспечивающая поступательное движение доски:

. (1)

Катки вращаются относительно осей, лежащих на земле и перпендикулярных силе (точки , рис. 73). В соответствии с основным законом динамики вращательного движения:

, (2)

где - момент той части силы, которая обеспечивает качение катков. Она равна: ; - момент инерции катков; - угловое ускорение.

Для определения момента инерции катка относительно оси применим теорему Штейнера в виде:

(3)

Произведём в формуле (2), соответствующие замены, получим:

. Выразим из полученного равенства силу :

. (4)

Сила, обеспечивающая движение второго катка, будет такой же.

Следовательно,

. (5)

Ускорение движения доски, выразим из формулы (5):

.

 

 

ЗАДАЧА № II.74 Определите момент инерции тонкого однородного стержня (рис.73) длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: а) конец стержня; б) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

 

Дано: г кг;

см м.

Найти: 1) 2)

Решение

 

 

		Рисунок 73 – Тонкий однородный стержень длиной .

 

 

Для определения момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец используем теорему Штейнера:

 

, (1)

 

где - момент инерции тела относительно произвольной оси ();

- момента инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции тела (центр масс) параллельно рассматриваемой оси. Он равен .

- масса стержня; - расстояние между осями.

Произведём, соответствующие замены в формуле (1), получим:

 

; кг · м².

Для определения момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку , теорема Штейнера будет иметь вид:

, (2)

где . Подставим его значение и значение в формулу (2), получим:

; кг · м².

ЗАДАЧА № II.75 Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от неё. Скорость цилиндра до удара о стену 1,4 м/с, после удара – 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

 

Дано: кг;

м/с;

м/с.

Найти:

Решение

 

Количество теплоты, выделившееся при ударе, определим по формуле:

, (1)

где - кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения до удара; - кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения после удара;

Запишем формулу для нахождения кинетической энергии тела, катящегося по плоскости без скольжения в общем виде:

, (2)

где - кинетическая энергия поступательного движения тела;

- скорость центра инерции тела;

- кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

До удара:

. (3)

После удара:

, (4)

где , а ; .

Подставим формулы (3) и (4) в формулу (1), после преобразований, получим:

; Дж.

ЗАДАЧА № II.76 Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению ( рад/с², рад/с³). Определите момент сил для момента времени равном 3 с.

 

Дано: кг;

см;

;

рад/с²;

рад/с³.

Найти:

Решение

Для нахождения момента сил, используем основной закон динамики вращательного движения:

, (1)

где - угловое ускорение;

- момент инерции шара. Он равен:

. (2)

Угловое ускорение шара определяется как

, (3)

где - угловая скорость, её можно выразить через угловое перемещение :

. (4)

По условию задачи , следовательно,

 

. (5)

Подставим формулу (5) в формулу (3), получим:

. (6)

Формулы (6) и (2), подставим в формулу (1):

 

; Н∙м.

 

ЗАДАЧА № II.77 Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м, вращается с частотой 18 мин^-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг∙м² до 1 кг∙м².

 

Дано: кг;

м;

мин^-1 с^-1;

кг∙м²;

кг∙м².

Найти:

Решение

Момент импульса материальной точки, определяется по формуле:

 

, (1)

где - момент инерции диска, он равен: ; - угловая скорость: , где - частота вращения диска.

Для замкнутой системы . Тогда уравнение (1), можно будет переписать в виде:

, (2)

где и - момент инерции человека.

Произведём в формуле (2) соответствующие замены, получим:

. (3)

Выразим из формулы (3) частоту вращения платформы:

; мин ^-1.