Глава I. 2. Динамика материальной точки

В динамике рассматривается влияние взаимодействий между телами на их механическое движение.

Основная задача динамики состоит в определении положения тела в произвольный момент времени по известным начальному положению тела, начальной скорости и силам, действующим на тело.

В основе динамики лежат три закона Ньютона. На основе этих законов построено всё учение о механическом движении тел земных и небесных с бесчисленными приложениями этого учения в астрономии и в технике.

 

I.2.1 ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА.

Первый закон Ньютона: всякое тело сохраняет своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инертностью. Соответственно первый закон Ньютона называют также законом инерции, а движение тела, свободного от внешних воздействий, - движением по инерции.

В приведённой формулировке первого закона Ньютона подразумевается, что тело не деформируется, т.е. абсолютно твёрдое, и что в отсутствие внешних воздействий, оно движется поступательно. Кроме того, твёрдое тело может также ещё и равномерно вращаться по инерции. Если в первом законе Ньютона говорить не о «теле», а о материальной точке, которая по самому её определению не может ни деформироваться, ни вращаться, то необходимость во всех этих оговорках отпадает. Учитывая всё сказанное, можно дать следующую формулировку этого закона: существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго. Закон верен также в ситуации, когда внешние воздействия присутствуют, но взаимно компенсируются (это следует из 2-го закона Ньютона, так как скомпенсированные силы сообщают телу нулевое суммарное ускорение).

То, что тело остаётся в покое (т.е. сохраняет скорость, равную нулю) пока на него не действует другое тело, - вполне понятно и подтверждается повседневными наблюдениями. Камень сам не тронется с места, пока не будет кем-нибудь или чем-нибудь сдвинут. Но нам трудно поверить, что тело может вечно сохранять равномерное и прямолинейное движение. Брошенный камень испытывает сопротивление воздуха и притяжение к земле. Если бы этих воздействий не было, тело сохраняло бы состояние равномерного и прямолинейного движения (т.е. сохраняло бы величину и направление своей скорости). Или ещё один пример, разбежавшись, человек не может мгновенно остановиться или мгновенно свернуть в сторону. Чтобы обогнуть на бегу столб, человек инстинктивно хватается за него рукой, т.е. прибегает к воздействию другого тела (столба), чтобы изменить направление своей скорости.

 

I.2.2 СИЛА

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел или полей.

Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действия одних частиц на другие называется физическим полем.

Поле, действующее на материальную точку с силой , называется стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени , т.е. если в любой точке поля

.

Взаимодействие между удалёнными телами осуществляется посредством гравитационного и электромагнитного полей.

Гравитационное взаимодействие – возникает между телами в соответствии с законом всемирного тяготения.

Электромагнитное взаимодействие – возникает между телами или частицами, обладающими электрическими зарядами.

Кроме того, различают ещё сильное взаимодействие, существующее, например, между частицами, из которых состоят ядра атомов и слабое взаимодействие, характеризующее, например, процессы превращения некоторых элементарных частиц.

В задачах механики учитываются гравитационные силы (силы тяготения) и две разновидности электромагнитных сил – силы упругости и силы трения.

Силы взаимодействия между частями некоторой рассматриваемой системы тел называются внутренними силами.

Силы воздействия на тела данной системы со стороны других тел, не включённых в эту систему, называются внешними силами.

Совокупность физических тел, у которых взаимодействия с внешними телами отсутствуют или скомпенсированы, называется замкнутой (изолированной) системой.

Сила полностью определена, если заданы её модуль, направление и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

 

Одновременное действие на материальную точку нескольких сил ( , …, ) эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

. (I.48)

Формула (I.48) представляет собой принцип суперпозиции сил.

 

ВИДЫ СИЛ В ПРИРОДЕ

 

Наиболее простыми видами сил являются такие, которые обусловлены непосредственным механическим действием одного тела на другое при их соприкосновении, к ним относятся: силы тяги, трения, давления, упругости, натяжения.

Остановимся лишь на некоторых из них.

Силы упругости. Силы, возникающие при упругой деформации тел, называются силами упругости. Эти силы действуют между соприкасающимися слоями деформируемого тела, а также в месте контакта деформируемого тела с телом, вызывающим деформацию.

 

 

Например, со стороны упруго деформированной доски на брусок , лежащий на ней (рис. 25), действует сила упругости . Силы упругости являются силами электромагнитной природы.

Сила упругости, действующая на рассматриваемое в данной задаче тело со стороны опоры или подвеса, называется силой реакции опоры (подвеса) или силой натяжения подвеса. На рис. 26 приведены примеры приложения к телам сил реакции опоры (силы ) и силы натяжения подвеса (сила ).

 

 

 

	Рисунок 26 - Примеры приложения к телам сил реакции опоры и силы натяжения подвеса.

 

Сила упругости зависит только от изменения расстояний между взаимодействующими частями данного упругого тела. Работа силы упругости не зависит от формы траектории и при перемещении по замкнутой траектории равна нулю. Поэтому силы упругости являются потенциальными силами (понятие работы и потенциальности сил будет рассмотрено в главе I.3 (§ I.3.1, стр. 41), (§ I.3.2, стр.45)).

Закон Гука: сила упругости пропорциональна вектору удлинения (сжатия) и противоположна ему по направлению:

 

, (I.49)

где - жёсткость тела – величина, определяемая силой упругости, возникающей при единичной деформации данного тела;

- вектор удлинения – величина, характеризующая одномерное (линейное) растяжение (сжатие).

Силы трения. При всяком перемещении одного тела по поверхности другого возникает сопротивление этому движению, которое мы представляем себе как силу трения, направленную против этого движения.

Различают внешнее и внутреннее трение. Внешним трением называется механическое сопротивление, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел в плоскости их касания. Например, внешнее трение существует между бруском и наклонной плоскостью, на которой лежит брусок или с которой он соскальзывает. При определённых условиях внешнее трение переходит во внутреннее трение, при котором в зоне контакта нет скачка скорости при переходе от одного тела к другому.

Трение между поверхностями двух соприкасающихся твёрдых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки называется сухим трением. Трение между поверхностью твёрдого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой, в которой тело движется, называется жидким или вязким трением.

Сухое трение подразделяют на:

§ трение покоя – трение при отсутствии относительного перемещения соприкасающихся тел;

§ трение скольжения – трение при относительном движении соприкасающихся тел.

Сила трения, препятствующая возникновению движения одного тела по поверхности другого, называется силой трения покоя.

Обычно, говоря о силе трения покоя, имеют в виду предельную силу трения покоя . Обозначим через внешнюю силу, прикладываемую к телу, находящемуся в соприкосновении с другим телом. Эта сила параллельна плоскости соприкосновения. Относительное движение тела возникает при условии . Сила трения покоя вызывается зацеплением неровностей поверхностей тел, упругими деформациями этих неровностей и сцеплением (слипанием) тел в тех местах, где расстояния между их частицами оказываются малыми и достаточными для возникновения межмолекулярного притяжения. В связи с этим силу трения покоя можно рассматривать как разновидность проявления сил упругости.

Опытным путём установлено, что максимальная сила трения покоя () не зависит от площади соприкосновения тел и приблизительно пропорциональна модулю силы нормального давления (), прижимающей трущиеся поверхности друг к другу: .

Безразмерный множитель называется коэффициентом трения покоя. Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей.

Трение скольжения объясняется шероховатостью трущихся поверхностей. Большую роль играют также силы межмолекулярного взаимодействия.

Законы трения скольжения.

 

I. Отношение силы трения к силе давления ( т.е. к силе, которая прижимает друг к другу трущиеся поверхности ) есть величина для данных поверхностей постоянная. Первый закон трения можно сформулировать и так: сила трения прямо пропорциональна силе давления. Экспериментально показано, что сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления: .

 

II. Коэффициент трения зависит от материалов трущихся поверхностей.

 

III. Коэффициент трения не зависит от величины трущихся поверхностей. Если величина поверхности очень мала, так что движущееся тело может оставлять царапину на неподвижном (например, остриё гвоздя), то этот закон теряет силу.

 

IV. Коэффициент трения уменьшается с увеличением скорости движения. Это объясняется тем, что при больших скоростях не все выступы шероховатых поверхностей успевают достаточно глубоко зацепиться друг за друга.

 

На рисунке 27 приведён график зависимости коэффициента трения от скорости движения .

 

Из графика видно, что наибольший коэффициент трения (следовательно, и наибольшая сила трения) существует в состоянии покоя. Это кратко выражают так: максимальное значение силы трения покоя больше силы трения скольжения. Законы I, II и III были найдены Кулоном из опытов с трибометром.

Примечание: в простейших случаях сила трения и сила нормального давления связаны неравенством , обращающимся в равенство только при наличии относительного движения. Это соотношение называется законом Амонтона – Кулона (эмпирический закон, устанавливающий связь между силой трения, возникающей при скольжении тела по поверхности, с силой нормального давления, действующей на тело со стороны поверхности). Для большинства пар материалов значение коэффициента трения не превышает 1 и находится в диапазоне от до . Если коэффициент трения превышает 1 (), это означает, что между контактирующими телами имеется сила адгезии и формула расчёта коэффициента трения меняется на .

Адгезия зависит от природы контактирующих тел, свойств их поверхностей и площади контакта. Адгезия определяется силами межмолекулярного притяжения