Глава II. 2. Динамика материальной точки

II.2.1 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

1. Импульс (количество движения) материальной точки:

(II.28)

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки):

(II.29)

Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть выражен формулой:

, (II.30)

 

где - ускорение тела (материальной точки).

Если сила постоянна по величине и действует по неизменному направлению, то изменение импульса тела за конечный промежуток времени равно произведению силы на время её действия:

 

или , (II.31)

 

где и - начальная и конечная скорости тела, разделённые промежутком времени .

Равенство (II.30) также выражает второй закон Ньютона. В случае переменной массы связь между силой, массой и ускорением выражается уравнением Мещерского:

, (II.32)

 

где - действующая сила; - реактивная сила; - скорость присоединяющейся (отделяющейся) массы относительно тела.

2. Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по криволинейной траектории, может быть разложена на две составляющие – тангенциальную и нормальную:

а) тангенциальная или касательная сила

, (II.33)

 

или

, (II.34)

 

где - радиус кривизны траектории; - угловое ускорение.

б) нормальная или центростремительная сила:

, (II.35)

или

, (II.36)

 

где - угловая скорость тела.

3. Центробежная сила инерции (в неинерциальной системе отсчёта):

 

, (II.37)

или

. (II.38)

Центробежная сила инерции направлена вдоль радиус - вектора от центра или оси вращения.

4. Сила трения скольжения

 

, (II.39)

 

где - коэффициент трения скольжения; - сила нормального давления.

5. Сила трения качения

, (II.40)

где - коэффициент трения качения; - радиус катящегося тела.

6. Сила упругости

, (II.41)

 

где - деформация тела; - коэффициент жёсткости (упругости) тела.

7. Третий закон Ньютона

 

, (II.42)

 

где и - силы, с которыми взаимодействуют две материальные точки.

II.2.2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

ЗАДАЧА № II.21 Поезд подходит к станции и замедляет свое движение. В каком направлении в это время легче тащить тяжелый ящик по полу вагона: по ходу поезда или в обратную сторону?

Ответ. По ходу поезда.

 

ЗАДАЧА № II.22 Что произошло бы с людьми, если бы Земля внезапно остановилась и прекратила свое движение вокруг Солнца?

Ответ. Люди по инерции с огромной скоростью полетели бы от Земли.

 

ЗАДАЧА № II.23 В зоопарках белок помещают в цилиндрический барабан, где имеются спицы. Барабан подвешен на оси, вокруг которой он может свободно вращаться. В какую сторону и почему барабан вращается во время движения белки по спицам?

Ответ. Барабан вращается в сторону, противоположную движению белки, которая при своем беге отталкивается от спиц, приводя барабан в движение.

 

ЗАДАЧА № II.24 Предложите способ определения вместимости сосуда, в котором находится вода, используя только весы и разновес.

Ответ. Сначала с помощью весов определяют массу стакана, а затем, заполнив его полностью водой, снова ставят на весы. По плотности и массе воды, находящейся в стакане, определяют вместимость этого стакана.

 

ЗАДАЧА № II.25 Почему в конце прыжка спортсмен опускается на согнутые ноги?

Ответ. Сгибая ноги в конце прыжка, спортсмен как бы увеличивает тормозной путь, а следовательно, уменьшает силу удара о поверхность Земли.

 

ЗАДАЧА № II.26 В кинофильмах каскадер часто совершает в прыжке пересадку с одного автомобиля на другой. Почему это опасно делать при большой разнице в скоростях автомобилей?

Ответ. При пересадке каскадер испытывает большое изменение скорости за короткий промежуток времени. В результате он переносит большие перегрузки, что для человека опасно.

 

ЗАДАЧА № II.27 Океанский лайнер при столкновении с маленьким пароходом может потопить его почти без всяких для себя повреждений. Как это согласуется с третьим законом Ньютона?

Ответ. Массы лайнера и парохода разные. В результате столкновения суда приобретают разные ускорения, что приводит к их различным повреждениям.

 

ЗАДАЧА № II.28 На внутренней стенке закрытой банки, уравновешенной на чувствительных весах, сидит муха. Что произойдет с весами, если муха станет летать внутри банки?

Ответ. Покинув стенку банки и держась в воздухе на одном уровне, муха давит крылышками на воздух силой, равной собственному весу. Это давление передается дну банки. Следовательно, весы останутся в равновесии. Если же, летая в банке, муха поднимается вверх или опускается вниз, то чувствительные весы должны покачнуться.

 

ЗАДАЧА № II.29 Мальчик везет санки. Сила, с которой он их тянет, равна силе, с которой санки противодействуют этому движению. Казалось бы, санки должны оставаться на месте. Почему же они движутся?

Ответ. Сила, с которой мальчик тянет санки, вполне достаточна для того, чтобы они двигались. Однако такая же по модулю сила, противодействующая этому движению, недостаточна, чтобы преодолеть значительное сцепление подошв его обуви с поверхностью снега или льда.

 

ЗАДАЧА № II.30 Почему трудно разбить орех на мягкой опоре и легко его разбить на твердой опоре?

Ответ. Чтобы разбить орех, надо приложить к нему две равные, но противоположно направленные силы, которые сожмут его так, что скорлупа разрушится. Одна сила характеризует взаимодействие ореха с молотком, а другая — взаимодействие ореха с опорой. Если опора твердая и неподвижная, то эти условия соблюдаются. Если опора мягкая, то при ударе орех приобретает скорость, но, углубляясь в мягкую опору, он эту скорость теряет, поэтому скорлупа почти не изменяет своей формы и орех не разрушается.

 

ЗАДАЧА № II.31 Вагон массой 20 т движется равнозамедленно с ускорением 0,3 м/с² и начальной скоростью 54 км/ч. Найти силу торможения, действующую на вагон, время движения вагона до остановки и перемещение вагона.

Дано: т = кг;

м/с²;

км/ч = м/с.

Найти:

Решение

 

 

	Рисунок 55 – Действие различных сил на вагон

 

На вагон, движущийся вдоль оси действуют: сила тяжести (); сила трения (); сила нормальной реакции опоры () (рис.55).

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

. (1)

Направление вектора скорости совпадает с направлением оси . Вектор ускорения будет направлен в сторону противоположную направлению движения (так как движение вагона равнозамедленное).

Проецируем обе части уравнения (1) на ось :

: или ; Н = 6 кН.

Время движения вагона до остановки найдём из уравнения (II.8): , так как (по условию задачи), то:

, ; с.

Расстояние, пройденное вагоном до остановки определяется формулой (II.7): или ; м.

 

ЗАДАЧА № II.32 Тело массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной под углом 30⁰ к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.

Дано: кг;

Н;

;

рад

Найти:

Решение

	Рисунок 56 – Движение тела под действием силы тяги, направленной под углом к горизонту.

 

На тело действуют: сила тяжести (); сила трения (); сила нормальной реакции опоры (); сила тяги () (рис.56).

Направление вектора ускорения () совпадает с направлением оси .

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

. (1)

Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :

: ;

: ; (2)

Решим полученную систему уравнений (2) относительно неизвестного параметра (ускорения), получим:

 

; м/с².

 

ЗАДАЧА № II.33 Тело равномерно скользит по наклонной плоскости с углом наклона . Определить коэффициент трения тела о плоскость.

 

Дано:

Найти:

Решение

 

 

	Рисунок 57 – Движение тела по наклонной плоскости

 

При скольжении тела по наклонной плоскости на него действуют: сила тяжести (); сила трения (); сила нормальной реакции опоры () (рис.57). Ускорение при равномерном скольжении тела равно нулю.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

. (1)

Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :

: ;

: ; (2)

Решим полученную систему уравнений (2) относительно неизвестного параметра (коэффициента трения тела о плоскость), получим:

;

. (3)

Уравнение (3) показывает, что если тело равномерно скользит по наклонной плоскости, то коэффициент трения тела о плоскость будет определяться тангенсом угла наклона этой плоскости.

В случае равнопеременного движения данное утверждение не применимо.

 

ЗАДАЧА № II.34 Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза массой 0,5 кг, прикреплённого к концу нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о поверхность 0,1. Найти ускорение движения тела и силу натяжения нити. Массами блока и нити, а также трением в блоке пренебречь.

Дано: кг;

кг;

Н;

.

Найти:

Решение

 

Будем рассматривать движение каждого тела в отдельности.

Первое тело. На брусок действуют: сила тяжести (); сила трения (); сила нормальной реакции опоры (); сила натяжения нити () (рис.58).

 

Запишем для бруска второй закон Ньютона в векторной форме:

. (1)

Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :

:

: (2)

После ряда преобразований системы уравнений (2), получим:

. (3)

Второе тело. На груз действуют: сила тяжести (); сила натяжения нити () (рис.58).

Запишем для груза второй закон Ньютона в векторной форме:

. (4)

Проецируем обе части уравнения (4) на ось :

. (5)

Складывая уравнения (3) и (5) и учитывая, что , а , получаем: . Выразим из последнего равенства ускорение:

; м/с².

Силу натяжения нити находим из уравнения (5):

; Н.

ЗАДАЧА № II.35 Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найти силу натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту 36⁰. Массами нитей и блока, а также трением в блоке пренебречь.

Дано: кг;

кг;

рад;

.

Найти:

Решение

 

Рассмотрим движение каждого груза в отдельности.

Первый груз. На груз действуют: сила тяжести (); сила трения (); сила нормальной реакции опоры (); сила натяжения нити () (рис.59).

Запишем для груза второй закон Ньютона в векторной форме:

. (1)

Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :

: ;

: ; (2)

Преобразуем систему уравнений (2) к виду:

. (3)

Второй груз. На груз действуют: сила тяжести (); сила натяжения нити () (рис.59).

Запишем для груза второй закон Ньютона в векторной форме:

. (4)

Проецируем обе части уравнения (4) на ось :

. (5)

Складывая уравнения (3) и (5) и учитывая, что , а , получаем: . Выразим из последнего равенства ускорение:

;

м/с².

Силу натяжения нити находим из уравнения (5):

; Н.

ЗАДАЧА № II.36 Невесомый блок укреплён на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 30⁰ и 45⁰. Гири 1 и 2 массой 1 кг каждая соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силу натяжения нити. Считать нить невесомой и нерастяжимой. Трением пренебречь.

Дано: кг;

рад;

рад.

Найти:

Решение

Рассмотрим движение каждой гири в отдельности.

Первая гиря. На гирю действуют: сила тяжести (); сила нормальной реакции опоры (); сила натяжения нити () (рис.60).

Запишем для гири второй закон Ньютона в векторной форме:

. (1)

Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :

: ; (2)

: . (3)

	Рисунок 60 – Движение гирь по плоскостям с разными углами наклона

 

 

Вторая гиря. На гирю действуют: сила тяжести (); сила нормальной реакции опоры (); сила натяжения нити () (рис.60).

Запишем для гири второй закон Ньютона в векторной форме:

. (4)

Проецируем обе части уравнения (3) на оси и :

: ; (5)

: ; (6)

Уравнения (3) и (6) в данной задаче не используются, так как силой трения пренебрегаем.

Складывая уравнения (2) и (5) и учитывая, что , а , получаем: . Выразим из последнего равенства ускорение:

 

; м/с².

Силу натяжения нити найдём из (2):

; Н.

 

ЗАДАЧА № II.37 Три тела массами , и связаны нитями и находятся на гладком горизонтальном столе. К телу массой приложена горизонтальная сила (рис.61). Определить силу натяжения между грузами и .

Дано: ; ; ; .

Найти:

Решение

	Рисунок 61 – Движение связанных тел по гладкому горизонтальному столу

 

 

Так как поверхность стола гладкая, влиянием силы трения можно пренебречь.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел:

Первое тело. На тело действуют: сила тяжести (); сила нормальной реакции опоры (); сила натяжения нити (); сила тяги () (рис.61).

Запишем для этого тела второй закон Ньютона в векторной форме:

. (1)

Проецируем обе части уравнения (1) на ось :

(2)

Второе тело. На тело действуют: сила тяжести (); сила нормальной реакции опоры (); сила натяжения нити (); сила натяжения нити () (рис.61).

Запишем для этого тела второй закон Ньютона в векторной форме:

. (3)

Проецируем обе части уравнения (3) на ось :

(4)

Третье тело. На тело действуют: сила тяжести (); сила нормальной реакции опоры (); сила натяжения нити () (рис.61).

Запишем для этого тела второй закон Ньютона в векторной форме:

. (5)

Проецируем обе части уравнения (5) на ось :

. (6)

Проекция на ось в данной задаче не используется.

Сложив почленно, левые и правые части уравнений: (2), (4) и (6), получим:

. (7)

Выразим из уравнения (7), ускорение движения тел: и подставим его в формулу (6), получим:

.

 

ЗАДАЧА № II.38 На доске (рис.62), равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси , укреплён на вертикальной стойке, отстоящей от оси вращения на расстоянии 5 см, отвес. Какова частота вращения доски, если нить отвеса длиной 8 см отклонилась от вертикали на угол 40⁰?

Дано: см = м;

см = м;

.

Найти:

Решение

 

 

Запишем второй закон Ньютона:

(1)

Проецируем обе части уравнения (2) на оси и :

: ; (2)

: . (3)

Перепишем уравнение (3) в виде:

. (4)

Поделим почленно уравнение (2) на уравнение (4), получим:

. (5)

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью соотношением (II.25):

, (6)

где

, (7)

. (8)

Выразим из уравнения (8) частоту и введём соответствующие замены, получим:

; с^-1.

ЗАДАЧА № II.39 Ведёрко с водой вращают в вертикальной плоскости на верёвке длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении через верхнюю точку удержать воду в ведёрке?

Дано: см = м;

Найти:

Решение

	Рисунок 63 – Вращение ведёрка с водой в вертикальной плоскости

 

На воду в верхней точке траектории действуют: сила тяжести (); сила нормальной реакции дна () (рис.63).

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

, (1)

где - центростремительное ускорение, оно равно:

. (2)

Направим ось вертикально вниз к центру окружности . Проецируем обе части уравнения (1) на ось и с учётом (2):

. (3)

В момент отрыва воды от дна ведёрка , поэтому

. (4)

Выразим из уравнения (4) наименьшую скорость вращения ведёрка:

 

; м/с.

 

ЗАДАЧА № II.40 Жёсткость одной пружины равна , а другой . Какова жёсткость пружины, составленной из этих пружин соединённых: а) последовательно; б) параллельно.

Дано: ; .

Найти: -?

Решение

а) При последовательном соединении пружин:

, (1)

где

; ; . (2)

. (3)

Выразим из формулы (2) следующие величины: , и подставим их в формулу (3), а также учитывая равенство (1), получим:

. (4)

Перепишем уравнение (4) в виде:

. (5)

Выразим из последней формулы жёсткость пружины , получим:

.

б) При параллельном соединении пружин: , а . Учитывая, что , получим

 

или .

 

 

ГЛАВА II.3 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ