III. 1. Кинематика материальной точки

А. Вопросы по теории

1. Что изучает механика? Каково содержание: а) ньютоновской; б) релятивистской; в) квантовой механики?

2. Введите понятия: а) материальной точки (м.т.); б) системы материальных точек; в) абсолютно твердого тела.

3. Механическое движение. Простейшие виды механического движения.

4. Что называется траекторией движения материальной точки?

5. Какие существуют способы описания движения м.т.? Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется радиус – вектором ? Чем отличается система отсчёта от системы координат?

6. Покажите, что задание кинематического закона движения в координатной форме ; ; эквивалентно заданию его в векторной форме , где – декартовы координаты м.т., – ее радиус вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?

7. Действие над векторами и их проекциями.

8. Введите понятия следующих кинематических величин: а) перемещения; б) скорости; в) ускорения. В каких единицах они измеряются? Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траектории и друг друга?

9. Виды движения (равномерное, равнопеременное, неравномерное). Дать определение каждого из этих видов. Записать уравнения движения для координаты тела, скорости и ускорения. Графическое представление движения (графики зависимости координаты, скорости и ускорения точки от времени).

10. Запишите первый и второй законы равнопеременного движения и представьте их графически. Какие соотношения вытекают из данных законов?

11. Сформулируйте и запишите закон сложения скоростей в ньютоновской механике.

12. В чем состоит принцип независимости движения?

13. Дайте определение свободного падения тел. Что называется ускорением свободного падения и от чего оно зависит?

14. Запишите законы движения падающего тела и примените его к случаям: а) свободного падения с высоты ; б) движению тела, брошенного вертикально вниз; в) движению тела, брошенного горизонтально; г) движению тела, брошенного под углом к горизонту.

15. Что называется тангенциальным и нормальным ускорениями? Чему они равны? Как они направлены? Какое изменение скорости они характеризуют?

16. Классификация движения в зависимости от ускорений и .

17. Как, зная нормальное и тангенциальное ускорения, определить вектор полного ускорения и его модуль?

18. От чего зависит угол между векторами скорости и полного ускорения движущейся материальной точки?

19. Что называется угловым перемещением, угловой скоростью и угловым ускорением м.т.?

20. Как рассчитать угловое перемещение и угловую скорость при равномерном вращательном движении?

21. Какая существует связь между линейными и угловыми характеристиками движения м.т.?

 

В. Тестовые задания

1. Выберите правильное утверждение. Относительность движения означает, что…

A. скорость движения тела может иметь различные направления.

B. перемещение тела зависит от его скорости.

C. характеристики движения (перемещение, скорость, форма траектории) зависят от выбора системы отсчета.

 

2. Из горизонтально летящего самолёта выпал груз. Какова траектория движения груза в системе отсчёта, связанной с самолётом? Сопротивлением воздуха пренебречь.

A. вертикальная прямая.

B. наклонная прямая.

C. парабола.

D. гипербола.

 

3. Пловец плывёт против течения реки, скорость его относительно берега 1,5 м/с, скорость течения реки 0,5 м/с. Чему равна скорость пловца относительно воды?

А. 0,5 м/с. В. 1,0 м/с. С. 1,5 м/с. D. 2,0 м/с

 

4. Поезд длиной 600 м и автомобиль движутся в одном направлении. Скорость поезда 72 км/ч, автомобиля – 25 м/с. Сколько времени будет двигаться автомобиль мимо поезда?

А. 12,8 м/с. В. 120 с. С. 13,3 с. D. 6,2 с.

 

5. Вертолёт летел на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью будет лететь вертолёт, если подует западный ветер со скоростью 15 м/с?

А. 35 м/с. В. 25 м/с. С. 15 м/с. D. 10 м/с.

 

6. Скорость тела, движущегося в направлении оси , за 10 с уменьшилась с 35 до 15 м/с. Найдите проекцию ускорения на ось ?

А. 5 м/с². В. 2 м/с². С. -2 м/с². D. -5 м/с².

 

7. Приведённые графики (рис.90) описывают зависимость координаты тела от времени для двух движений. Какому движению соответствует большая скорость?

А. первому. В. второму.

 

 

.

 

 

Рисунок 90 – Графики зависимости координаты тела от времени

 

8. Графики приведённые на рисунке 91 описывают зависимость проекции скорости от времени для трёх движений. Какому движению соответствует наибольшее по модулю ускорение?

А. первому. В. второму. С. третьему.

 

 

 

Рисунок 91 – Графики зависимости проекции скорости от времени

9. На графике (рис.92) представлена зависимость перемещения тела от времени. Выберите правильное утверждение:

 

A. приведённая зависимость практически неосуществима.

B. скорость тела при больше, чем при .

C. скорость тела при меньше, чем при .

D. скорость тела при равна скорости тела при .

 

 

Рисунок 92 – Графики зависимости перемещения тела от времени

 

10. Материальная точка начала равномерное движение со скоростью 1 м/с из точки , являющейся вершиной равностороннего треугольника , со стороной 10 см (рис. 93). Во сколько раз пройденный путь за 0,5 с отличается от перемещения за то же время?

 

А. в 50 раз больше; В. в 50 раз меньше; С. в 2 раза больше;

D. в 5 раз больше; Е. в 5 раз меньше.

 

	Рисунок 93 – Равномерное движение материальной точки вдоль сторон треугольника

 

11. Какие из графиков (рис.94), выражающих зависимость скорости тела от времени, соответствуют равноускоренному движению?

А. первый и третий. В. первый и второй.

С. второй и третий. D. только второй.

 

 

 

Рисунок 94 - Графики зависимости проекции скорости от времени

 

 

12. Материальная точка движется по окружности со скоростью . На рисунке 95, показан график зависимости проекции скорости от времени. При этом для нормального и тангенциального ускорения выполняются условия…

A. ; ; B. ; ;

C. ; ; D.

 

 

 

 

 

Рисунок 95 - Графики зависимости проекции скорости от времени

13. Материальная точка движется по окружности со скоростью . На рисунке 96,а. - показан график зависимости проекции скорости от времени. На рисунке 96,б - укажите направление ускорения в точке в момент времени от 0 до .

а) б)

 

 

 

Рисунок 96 – а) график зависимости проекции скорости от времени;

б) направление ускорения в точке в различные моменты времени

 

14. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени приведена на рисунке 97. Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1м от оси вращения равно…

А. 5 м/с²; В. 0,5 м/с²; С. - 5 м/с²; D. 0,5 м/с²

 

 

 

 

Рисунок 97 – График зависимости угловой скорости от времени

15. Диск вращается равнозамедленно вокруг оси (рис. 98). Укажите направление вектора углового ускорения точки А на ободе диска.

А. 1; В. 2; С. 3; D. 4.

 

 

Рисунок 98 – Равнозамедленное вращение диска вокруг оси

С. Задачи

1. Автомобиль при торможении уменьшил свою скорость с 54 до 28,8 км/ч за 7 с. Определить ускорение автомобиля и расстояние, пройденное им при торможении.

2. На рисунке 99 изображён график зависимости скорости от времени для некоторого тела. Определите характер движения, начальную скорость и ускорение на участках графика , и .

 

Рисунок 99 – График зависимости скорости от времени

 

3. Посадочная скорость самолёта 135 км/ч, а длина его пробега 500 м. Определить время пробега по посадочной полосе и ускорение самолёта, считая движение равнозамедленным.

4. Кабина лифта в течение первых 3 с поднимается с ускорением, затем в течение 6 с движется с постоянной скоростью, а последние 3 с замедленно с прежним ускорением. Постройте график скорости лифта и определите высоту подъёма.

5. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Первый, имея скорость 36 км/ч, начал подниматься в гору с ускорением 0,2 м/с², второй, имея скорость 9 км/ч, стал спускаться с горы с ускорением 0,2 м/с². Через сколько времени и в каком месте они встретятся, если первоначальное расстояние между ними было 100 м?

6. Груз поднимают лебёдкой. Первые 2 с груз движется с ускорением 0,5м/с², следующие 11 с – равномерно, последние 2 с – равнозамедленно с ускорением (-0,5 м/с²). Постройте график скорости движения груза и найдите высоту подъёма.

7. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью 5 км/ч. Определите среднюю скорость движения студента на всем пути.

8. Найти путь, пройденный телом, скорость которого изменяется по закону , за 4 с от начала движения.

9. Уравнение движения точки по прямой имеет вид , где м, м/с, м/с³. Найти: 1) положения точки в моменты времени: 2 с и 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.

10. С высоты 12 м над землей без начальной скорости падает тело. На какой высоте окажется тело через 1 с после начала падения?

11. Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 10 м/с. Чему равна горизонтальная составляющая скорости в момент времени 1 с.

12. Ракета пущена под углом 70° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Определить время полета ракеты до наивысшей точки траектории.

13. Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 3 с после начала движения численное значение скорости камня стало в 4 раза больше его начальной скорости. Найти начальную скорость камня. Сопротивление воздуха не учитывать.

14. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Уравнение движения автомобиля , где м, м/с, м/с². Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в момент времени равном 5 с.

15. Тело брошено с некоторой скоростью под углом 30° к горизонту. Чему равны тангенциальное () и нормальное () ускорения в наивысшей точке траектории?
1) а _t=9.8 м/с², а _n=4.9 м/с²; 2) а _t=4.9 м/с², а _n=9.8 м/с²;
3) а _t=0 м/с², а2=9.8 м/с²; 4) а _t=0 м/с², а2=0 м/с²;
5) а _t=9.8 м/с², а _n=0 м/с².

16. Материальная точка начинается двигаться по окружности радиусом с постоянным тангенциальным ускорением . Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения образует с вектором скорости угол , 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

17. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где . Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол с ее вектором скорости.

18. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время мин оно изменило частоту от 240 до 60 мин . Определите: 1) угловое ускорение колеса, 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

19. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 3 рад/с². Определить радиус колеса, если через 1 с после начала движения полное ускорение колеса 7,5 м/с².

20. Рабочее колесо турбины имеет диаметр 6,6 м и совершает 88,3 об/мин. Определите линейную скорость и центростремительное ускорение точек колеса, наиболее удалённых от оси вращения.

21. Маховик, вращающийся с постоянной частотой 10 об/с, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова сделалось равномерным, но уже с частотой 6 об/с. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равномерного движения маховик сделал 50 оборотов.

22. Диск радиусом 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задаётся уравнением ( рад/с², рад/с⁵). Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов, сделанных диском.

23. Линейная скорость точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определить радиус диска.

24. Самолёт при скорости 360 км/ч делает петлю Нестерова радиусом 400м. Определите центростремительное ускорение, с которым двигался самолёт.

25. Дисковая пила диаметром 400 мм имеет линейную скорость концов зубьев 12,56 м/с. Определите угловую скорость, период вращения и число оборотов в 1 с диска пилы.

26. Точка движется по окружности радиусом 15 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу четвёртого оборота после начала движения линейная скорость точки 15 см/с. Определить нормальное ускорение точки через 16 с после начала движения.

27. Диск радиусом 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задаётся уравнением ( м/с², м/с⁵). Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол 4⁰.

28. Диаметр переднего колеса телеги в два раза меньше диаметра заднего. Что можно сказать об угловых скоростях вращения колёс при движении телеги?

29. Отличаются ли центростремительные ускорения точек колеса, лежащих на ободе, и точек, удалённых от центра на расстояние, равное половине радиуса?

30. Во сколько раз увеличится центростремительное ускорение точек обода колеса, если период обращения колеса уменьшится в 5 раз?

 

§III. 2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

А. Вопросы по теории

1. В чём заключается основная задача динамики?

2. Какие системы отсчета называются инерциальными? В чем состоит закон инерции и какие утверждения он содержит?

3. Как в динамике определяется сила ? В каких единицах она измеряется? Какие силы называют внешними, а какие – внутренними? Чему равна сумма всех внутренних сил, действующих на систему тел?

4. Действия сил: а) сложение двух сил, приложенных к одной точке тела; б) разложение данной силы на составляющие.

5. Каково содержание закона независимости действия сил? Сформулируйте принцип суперпозиции сил. Объясните задачу о лебеде, раке и щуке.

6. Какое поле называется физическим, а какое стационарным? Виды взаимодействий.

7. Сила упругости. Закон Гука.

8. Силы трения. Законы трения скольжения.

9. Введите понятие массы. Свойства массы с точки зрения классической механики. Центр масс.

10. Введите понятие плотности для однородного и неоднородного тела. Что называется средней плотностью?

11. Основной закон динамики (второй закон Ньютона) материальной точки.

12. Получите из общей формулировки второго закона Ньютона основное уравнение динамики материальной точки .

13. Представьте второй закон динамики в дифференциальной форме.

14. Принцип независимости действия сил.

15. Сформулируйте третий закон Ньютона, поясните его. В чём заключается сущность этого закона?

 

В. Тестовые задания

1. Человек входит в лифт, который начинает двигаться равномерно вверх, при этом…

A. вес увеличится;

B. вес человека будет зависеть от скорости движения лифта;

C. вес человека уменьшится;

D. вес человека не изменится.

 

2. Лифт движется вниз с ускорением , при этом….

A. тело прижмётся к потолку лифта;

B. тело будет находиться в невесомости;

C. с телом ничего не произойдёт;

D. тело прижмётся к полу лифта.

3. Второй закон Ньютона в форме , где - силы, действующие на тело со стороны других тел справедлив …

A. в любой системе отсчёта;

B. для описания движения микрообъектов;

C. при скоростях движения тела как малых, так и сопоставимых со скоростью света в вакууме;

D. только при скоростях движения тела, много меньших скорости света в вакууме.

 

4. К потолку лифта, опускающего вниз тормозясь, на нити подвешено тело массой 10 кг. Модуль вектора скорости изменения импульса тела равен 100 (кг∙м)/с². Сила натяжения нити равна…

A. 100 (кг∙м)/с²; В. 0 (кг∙м)/с²;

С. 200 (кг∙м)/с²; D. 400 (кг∙м)/с².

 

5. Тело массой 10 кг движется по выпуклому мосту. В верхней точке моста сила давления на мост, вдвое меньше силы тяжести. Модуль скорости изменения импульса тела в этой точке равен…

A. 100 (кг∙м)/с²; В. 0 (кг∙м)/с²;

С. 10 (кг∙м)/с²; D. 50 (кг∙м)/с².

 

6. Величина скорости автомобиля изменялась во времени, как показано на графике зависимости (рис.100, б). В некоторый момент подъёма по участку дуги результирующая всех сил, действующих на автомобиль, была направлена так, как показано на рисунке 100, а.

А. ; В. ; С. ; D. .

а) б)

 

 

	Рисунок 100 – а) действие результирующей силы на автомобиль; б) график зависимости

 

Укажите этот момент времени.

 

7. Студент собрал на столе установку (рис.101). Тело под действием трёх сил находится в равновесии. Если силы Н и Н перпендикулярны друг другу, то сила упругости равна…

А. 3Н; В. 7Н; С. 5Н; D. 4Н.

 

	Рисунок 101 – Действие на тело различных сил

 

8. Система состоит из трёх шаров с массами кг, кг, кг, которые двигаются так, как показано на рисунке 102. Скорости шаров равны м/с; м/с; м/с. Найти величину скорости центра масс этой системы (ответ выразить в м/с).

 

 

	Рисунок 102 – Система, состоящая из трёх шаров

 

 

9. В каком из нижеприведенных соотношений находятся абсолютные удлинения пружин изображённых на рисунках 103, если их жёсткости одинаковы?

 

А. 1; В. 2; С. ; D. ; Е. .

 

	Рисунок 103 – Взаимодействие тел массами и

 

 

10. Система пружин, двигается вертикально вниз (рис.104,а), при этом его проекция скорости изменяется с течением времени так, как показано на графике (рис.104, б). Определить абсолютное удлинение пружины жесткостью , если масса тела 6 кг, а жёсткость пружины кН/м.

 

а) б)

 

 

 

	Рисунок 104 – а) система пружин, движущихся вертикально вниз; б) график зависимости проекции скорости от времени .

А. 4 мм; В. 2 мм; С. 6 мм; D. 8 мм; Е. 3 мм.

 

11. Тело массой скатывается из точки по полусфере (рис.105). Поверхность участка гладкая, а участка шероховатая. Вес данного тела в указанных точках находится в соотношении…

 

	Рисунок 105 – Движение тела массой по полусфере

 

 

А. ; В. ;

С. ; D. ;

Е. .

 

12. К покоящемуся телу массой 30 кг прикреплена пружина жёсткостью 3 кН/м. Пружину начинают растягивать с постоянной скоростью 5 см/с. Через сколько времени, тело сдвинется с места? Коэффициент трения 0,1.

 

А. 0,002 с; В. 5 с; С. 0,2 с; D. 20 с;

Е. тело мгновенно начнёт двигаться.

 

13. Равномерно движущееся тело въезжает на шероховатую поверхность, коэффициент трения о данную поверхность изменяется с расстоянием так, как показано на рисунке 106. Определить скорость, с которой тело выехало на поверхность, если, пройдя расстояние 5м оно остановилось.

 

А. м/с; В. м/с; С. м/с; D. м/с;

Е. недостаточно информации для ответа.

 

 

	Рисунок 106 – График зависимости

 

 

14. Цепочка, состоящая из одинаковых шариков, связанных друг с другом тонкими нерастяжимыми нитями (рис.107) под действием силы 12 Н двигается с постоянным ускорением. Сколько шариков в данной цепочке, если сила натяжения между 2 и 3 шариками на 4 Н больше силы натяжения между 5 и 6 шариками?

А. 7; В. 8; С. 9; D. 10; Е. 11.

 

	Рисунок 107 - Цепочка, состоящая из одинаковых шариков

 

С. Задачи

1. Под действием силы массой 1.5 кг тело движется так, что зависимость пути от времени описывается уравнением , где 3 м/с, 2 м/с², - время. Чему равна сила, действующая на тело?

2. Под действием силы 2 кН автомобиль движется прямолинейно так, что его путь выражается уравнением (м). Определить массу автомобиля.

3. Поезд, подъезжая к станции со скоростью 72 км/ч, начинает равномерно тормозить. Каково должно быть наименьшее время торможения поезда до полной остановки, чтобы спящие пассажиры не упали с полок? Коэффициент трения пассажира о полку равен 0.2.

4. Вагон массой 20 т движется равнозамедленно с ускорением 0,3 м/с² и начальной скоростью 54 км/ч. Найти силу торможения, действующую на вагон, время движения вагона до остановки и перемещение вагона.

5. Тело массой 3 кг падает в воздухе с ускорением 8 м/с². Найти силу сопротивления воздуха.

6. Груз массой 50 кг равноускоренно поднимают с помощью каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Определить силу натяжения каната. Какой можно сделать вывод по полученному результату?

7. Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной под углом 30⁰ к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.

8. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 30⁰. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

9. Вагонетка начинает двигаться вниз по наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Определить скорость вагонетки через 5 секунд, если коэффициент трения равен 0.5.

10. После скатывания с горы сани начинают движение по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Коэффициент трения между полозьями саней и дорогой равен 0,1. Какой путь пройдут сани за 5 с?

11. Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30⁰ под действием силы тяги 7 кН. Найти ускорение автомобиля, считая, что сила сопротивления не зависит от скорости и составляет 0,1 от силы нормальной реакции опоры.

12. Две гири массами 4 кг и 3 кг подвешены на концах нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Меньшая гиря находится на 2,8 м ниже, чем большая. Определить через какое время гири окажутся на одной высоте, если дать им возможность двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести. Массой нити и блока пренебречь.

13. Три груза массой по 1 кг связаны нитью и движутся по горизонтальной плоскости под действием силы 10 Н, направленной под углом 30⁰ к горизонту. Определить ускорение системы и силы натяжения нити, если коэффициент трения 0,1.

14. Ведёрко с водой вращают в вертикальной плоскости на верёвке длиной 50 см. С какой наименьшей скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении через верхнюю точку удержать воду в ведёрке?

15. В нижней точке петли Нестерова лётчик давит на сиденье кресла самолёта с силой 7,1 кН. Масса летчика 80 кг, радиус петли 250 м. Определить скорость самолёта.

16. Автомобиль “Москвич - 412” массой 10 кг движется со скоростью 36 км/ч по выпуклому мосту. Траектория движения автомобиля является дугой окружности радиусом 50 м. Определите вес автомобиля в верхней точке моста.

17. Определить давление груза весом Р на пол кабины лифта, движущегося равноускоренно с ускорением а: а) при движении лифта вверх; б) при движении вниз.

18. Лифт с пассажирами поднимается вверх с ускорением, равным 5 м/с², вес лифта вместе с пассажирами равен 10 кН. Чему равно (в кН) натяжение троса?

19. Масса лифта с пассажирами 800 кг. С каким ускорением и в каком направлении движется лифт, если известно, что сила натяжения троса, поддерживающего лифт 12 кН.

20. Шарик массой m висит на нити, которая закреплена в точке О. С каким ускорением, и в каком направлении по вертикали следует перемещать точку подвеса О, чтобы натяжение нити было равно половине веса шарика?

21. По столу тянут груз с помощью нити, прикреплённой к динамометру, показывающему - 30 Н. Второй раз тот же груз приводят в движение с помощью нити, перекинутой через неподвижный блок, на которой висит гиря массой 3 кг. В каком случае груз движется быстрее?

22. Почему пассажир, стоящий у правой (по ходу поезда) двери движущегося вагона метро, при его повороте оказался прижатым к двери?