Кинематика материальной точки

Кинематика описывает движение тел, устанавливает характеристики движения, но причины, вызвавшие движение, ею не рассматриваются. Наиболее простой объект для описания – материальная точка, т.е. тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Наряду с термином "материальная точка" будем пользоваться также термином "частица".

1. Положение частицы в пространстве задается либо ее координатами, либо радиус-вектором, проекции которого на координатные оси совпадают с координатами частицы (Рис. 1):

r_x = х, r_у = y, r_z = z.

Сам же радиус-вектор r запишется тогда в виде:

r = e _x × x + e _y × y+ e _z × z,

Рис.1

где e _x, e _y, e _z – направляющие единичные векторы (орты) координатных осей.

2. Для такого описания нужно каким-то образом задать систему координат, связанную с некоторым телом, т.е. систему отсчёта. Обычно задают декартову систему координат, хотя нередко используют и другие координатные системы. Выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любую удобную систему отсчёта.

3. Если точка движется, то ее координаты x, y, z или, что то же самое, ее радиус–вектор r, будут изменяться с течением времени. Если известна зависимость координат от времени t, т.е. заданы х, у, z (или r) как функции t:

x=x (t), y=y (t), z=z (t),

r=r (t),

то говорят, что задан закон движения.

4. Если в моменты времени t ₁ и t ₂ положение точки характеризовалось радиус–векторами r (t ₁) и r (t ₂), то вектор

Dr = r( t ₁ ) – r( t ₂ )

называется перемещением точки за время D t = t₁ – t₂, вектор

v _cp=D r /D t

называется вектором средней скорости за время D t.

5. Скорость точки:

,

а ее проекции на оси координат:

6. Вектор скорости v направлен по касательной к траектории точки. Это иллюстрируется рис.2, где изображена траектория точки и радиус-векторы r (t ₁) и r (t ₂) в два момента времени t ₁и t ₂. Там же изображены векторы скорости v (t ₁) и v (t ₂) в эти же моменты времени.

Рис. 2

7. Ускорение точки a = d v / dt, его проекции на координатные оси:

8. Вектор ускорения а можно представить в виде суммы двух векторов:

а = a _n + a _t

Здесь a _t и а _n – векторы тангенциального и нормального ускорений. Эти векторы определяются следующим образом:

u= | v |

В свою очередь, векторы t и n - это векторы единичной длины. Направление вектора t совпадает с направлением вектора скорости v:

v = u× t,

Рис. 3

а вектор n перпендикулярен вектору скорости v и направлен в сторону, куда траектория вогнута (см. рис. 3). Можно утверждать, что каждый бесконечно малый участок кривой можно рассматривать как дугу окружности. Радиус этой окружности R называется радиусом кривизны кривой в данной точке. Разумеется, в разных точках кривой эти радиусы могут быть различны. Физический смысл векторов a _t и а _п следующий. Вектор a _t характеризует быстроту изменения модуля скорости, вектор же а _п характеризует быстроту изменения направления скорости. Отметим еще, что a _t направлен в сторону движения, если du / dt >0, т.е.когда величина скорости растет (ускоренное движение), и, соответственно, он направлен в обратную сторону, когда du / dt < 0, т.е. величина скорости убывает (замедленное движение).

9. Как было отмечено выше, выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любые системы отсчёта. Связь между значениями скоростей v и v 'одной и той же материальной точки в двух различных си­стемах отсчета[1] К и К 'даётся правилом сложения скоростей:

v' = v + V,

где V – скорость системы К относи­тельно К'.

Хотя правило сложения скоростей представ­ляется совершенно очевидным, однако, нужно иметь в виду, что оно основано на предпо­ложении об абсолютном течении времени. Именно, мы счи­таем, что интервал времени, за который частица смещается на величину ds в системе К, равен интервалу времени, за который частица смещается на соответствующую величину ds' в системе К'. Это предположение в действительности оказывается, стро­го говоря, неправильным, но следствия, вытекающие из неабсолютности времени, начинают проявляться только при очень больших скоростях, сравнимых со скоростью света. В частности, при таких скоростях уже не выполняет­ся правило сложения скоростей. Мы в дальнейшем будем рассматривать лишь достаточно малые скорости, когда предположение об абсолютности времени хорошо оправ­дывается.

Задача 1.

Материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону

где b – некоторая константа, а х – координата точки. Найти: зависимость от времени скорости u_x = u_x (t), координату точки х как функцию времени x = x (t), ускорение точки а_х. Учесть, что в момент времени частица находилось в точке с координатой .

Решение.

Так как по определению u_x = dx / dt, то, учитывая условие задачи, получим уравнение:

Интегрируя, получим:

Константу С выбираем так, чтобы, согласно начальному условию, х = 0 при t = 0, получаем С =0, откуда:

Найдем скорость v (t):

.

Ускорение:

Таким образом:

Как видим, движение является равноускоренным с нулевой начальной скоростью.

Задача 2.

Материальная точка движется вдоль прямой по закону:

x (t) = b×t× (c – t /2),

где b и с некоторые положительные константы, t – время движения, x (t) – координата тела в момент t. Найти: скорость тела, как функцию времени u_x = u_x (t), среднюю скорость тела за первые t секунд движения, ускорение и путь, пройденный телом за первые t секунд.

Решение.

Согласно определениям скорости, ускорения и средней скорости, находим скорость u_x = dx / dt, дифференцируя x (t) по времени t:

u_x (t) = b ×(c – t).

Повторное дифференцирование дает ускорение:

a_x = du_x / dt = – b

Полученный результат показывает, что тело движется с постоянным ускорением, знак минус означает, что направление ускорения противоположно направлению оси ОХ. При , когда движение равнозамедленное, а при , когда , движение равноускоренное. Подробный анализ дан ниже.

Средняя скорость:

u _cp(t) = [ x (t) – x (0)] / t = b ×(c – t /2).

Рис. 1

Найдем теперь путь S, пройденный телом за первые t секунд его движения. Здесь следует учесть, что путь S (t) и перемещение x (t) – это вещи разные. Нагляднее всего это видно в случае, когда траектория тела является некоторой кривой (см. рис. 1). На рис.1 вектор r (t) – перемещение за время t, а длина кривой АВ – путь S (t), пройденный за это же время.

Для нахождения S (t) разобьем кривую АВ на много малых частей, таких, чтокаждую из них можно считать отрезком прямой, тогда для каждой из этих частей dS = | v | dt (см. Рис. 1). Интегрируя это равенство, получим:

.

В нашем случае u_x (t) = b ×(c – t), поэтому для модуля скорости находим:

| u_x (t) | = b ×(c – t), если t < c,

| u_x (t) | = b ×(t – с), если t > c.

Тогда при t < с получаем:

Если же t > c, то:

Итак:

Посмотрим, что же мы получили. Как видим, путь и перемещение совпадают, пока t < c. Пусть t < c. Так как u_х (t) = b ×(c – t), то при t < с тело движется вправо (u (t) > 0). При t = с тело останавливается (u_х (t) = 0) в точке с координатой х = bс ²/2.

Для t > c картина сложнее. При t > с скорость отрицательна, т.е. направление движения изменяется на обратное и тело движется влево. При t = 2 с оно вновь окажется в начале координат, так как х (2 с) = 2 b×с ×(с – 2 с /2) = 0, а при t > 2 с сместится левее начала координат, так как x (t) < 0. Т.е. перемещение становится отрицательным. При этом путь S положителен:

.

Путь и перемещение совпадают лишь при t < с, т.е. при движении по прямой с неизменной по знаку скоростью.

Полученные результаты удобно проиллюстрировать графически. Построим графики зависимости u (t), | u (t)|, x (t), S (t) (см. рис. 2).

 

При t < с график пути S (t) совпадает с графиком x (t), который в свою очередь представляется параболой, а при t > с график S (t) получается из графика x (t) отражением его относительно прямой АА ’, которая параллельна оси ОХ и проходит через точку А с ординатой bс ²/2 (Почему? Подумайте сами. А в качестве подсказки советую еще раз посмотреть на полученные выражения для S (t) и u (t)).

Мы решили задачу при условии положительности констант b и с. Разберитесь самостоятельно с характером движения тела, если b или с или обе эти величины отрицательны.

Задача 3.

Камень брошен со скоростью v ₀ под углом a к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: зависимость вектора скорости v от времени движения t, вектор r перемещения камня за время t, среднюю скорость v _cp камня за первые t секунд полета, максимальную высоту подъема Н, дальность полета S и полное время полета Т, векторы тангенциального a _t и нормального a _n ускорения камня как функцию времени t, радиус кривизны траектории R как функцию t и уравнение траектории y = f (х).

Решение.

В задачах подобного рода отсутствие сопротивления воздуха означает постоянство ускорения камня: a = g, где g – вектор ускорения свободного падения. Этот факт обусловлен тем обстоятельством, что в отсутствие сопротивления воздуха на камень действует единственная сила – сила тяжести m g (m – масса камня). В силу второго закона Ньютона:

m a = m g,

откуда a = g.

Для нахождения v (t) вспомним, что a = d v / dt. Поскольку a = g, то v – линейная функция времени:

v (t) = g t + v ₀ (1),

где v ₀ – некоторый постоянный вектор. Выясним смысл v ₀. Полагая t = 0, получим:

v (0) = v ₀,

то есть v ₀ – вектор начальной скорости камня.

Найдем радиус-вектор r (t). Вспоминаем, что v = d r / dt. В нашем случае v определяется формулой (1). Поэтому:

d r / dt = g t + v ₀ (2).

Интегрируя (2) по времени получим:

(3).

При t = 0 r (0) = r ₀. Если выбрать начало координат в точке бросания, то r (0) = 0. Таким образом, r ₀ = 0 и:

(4).

Полученный результат показывает, что траектория камня – плоская кривая, лежащая всеми своими точками в вертикальной плоскости, образованной векторами g и v ₀.

Средняя скорость v _cp(t) камня за первые t секунд полета по определению равна:

,

согласно (3) получаем:

(5).

Как видим v _ср(t) ≠ v (t). Результаты (1) – (5) иллюстрируются рис. 1.

Для нахождения максимальной высоты подъема Н заметим, что в наивысшей точке траектории вертикальная компонента скорости v_y равна нулю. Действительно, если бы это было не так, то тело поднималось бы, либо опускалось, но в любом случае оно не могло бы находиться в наивысшей точке траектории.

Рис. 1

Выберем систему координат с осью OY, направленной вертикально вверх и горизонтальной осью OX, ориентированной так, чтобы плоскость XOY содержала вектор начальной скорости v ₀. В этом случае, согласно (2), компоненты скорости равны соответственно:

u_x (t) = u ₀×cos a, v_y (t) = u ₀×sina – g × t (6).

Из условия u_y (t ₀) = 0, найдем из (6) t ₀ – время подъема на максимальную высоту:

t ₀ = u ₀×sin a / g.

Координаты камня в момент t равны соответственно:

(7).

Подставляя сюда найденное значение t ₀, получим:

Для нахождения дальности полета S (расстояния между точкой падения и точкой бросания), заметим, что в точке падения y (t) = 0, откуда найдем время полёта Т:

а также дальность полёта S:

Рис. 2

Заметим, что Т = 2 t ₀, т.е. время подъема t ₀ на максимальную высоту равно половине времени полета камня Т и, тем самым, времени спуска. Отметим, что это справедливо только при игнорировании силы сопротивления воздуха. Подумайте: как будут соотноситься время подъема и время спуска, если учесть силу сопротивления воздуха?

Заметим также, что высота и дальность полёта пропорциональны квадрату начальной скорости тела.

Найдём теперь компоненты ускорения a_t и a _n. Заметим, что сумма этих векторов равна ускорению свободного падения (Рис. 2):

g = a_t + a _n.

Для нахождения величины тангенциального ускорения a _t найдем квадрат модуля скорости:

u ² (t) = (v (t), v (t)) = (v ₀+ g t, v ₀+ g t) = v ₀ ² + 2(v ₀, g) t + g ² × t ² = u ₀ ² – 2 u ₀ gt sina+ g ² t ² (8)

Здесь мы воспользовались определением квадрата модуля вектора, как скалярного произведения вектора самого на себя:

| v |² = (v, v).

Дифференцируя обе стороны (8) по времени получим:

отсюда найдём тангенциальное ускорение:

(9)

Отметим, что a _t, которое мы получили, это не модуль вектора | a _t|, а проекция вектора a _t на направление вектора скорости v. Так, если a _t > 0, то a _t и v направлены в одну сторону, если a _t < 0, тo – в противоположные.

Найдем теперь a _n. Для этого учтем, что a _t+ a _n = g (см. рис. 2). Так как a _t и а _n взаимно перпендикулярны, то:

g ² = a _t² + a _n²,

откуда получим:

(10).

Для нахождения радиуса кривизны траектории воспользуемся связью между a _n, u и R:

a_n = u ²/ R.

Отсюда с учетом (8) и (10):

(11).

Проанализируем полученные результаты. Выражение (9) для a _t показывает, что a _t < 0 при t < v ₀ sina/ g. Т.е. на восходящей части траектории du / dt < 0 и это означает, что скорость камня уменьшается. При t > u ₀ sina/ g ускорение a _t > 0, и скорость камня растет на нисходящей части траектории.

Из (11) нетрудно видеть, что радиус кривизны R сначала уменьшается (т.к. числитель в (11) равен u ^3/2, а скорость вначале уменьшается), а затем при t > u ₀×sina/ g растет.

В частности, в точке бросания при t = 0:

а в наивысшей точке траектории при t = u ₀ sina/ g:

Уравнение траектории в параметрическом виде (x=x (t), y=y (t)) дается (7). Выразив t через x (t) и, подставив его во второе из уравнений (7), получим уравнение траектории в явном виде:

(12)

Из (12) можно найти максимальную высоту подъема H и дальность полета S, найденные нами ранее из других соображений. Для нахождения S заметим, что у = 0 при x=S. Откуда с помощью (12) получим уравнение для S:

Сокращая на S, получим знакомый результат:

Для нахождения Н = max у (х) продифференцируем (12) по х:

В точке максимума dy/dx = 0, откуда найдем х ₀, соответствующее максимуму у (х):

Подставив х ₀ в (12), найдём высоту:

Задача 4.

Зависимость координат частицы от времени имеет вид:

x = b ×cos w t, y = b ×sin w t.

Здесь b >0 и w>0 – константы.

Найти: радиус-вектор r (t), скорость v (t), ускорение a (t), а также их модули, скалярные произведения и объяснить полученный результат; найти уравнение траектории частицы и направление ее движения.

Решение.

Согласно определению:

r (t) = x× e _x + y× e _y = b ×cos w t× e _x + b ×sin w t× e _y

.

Найдем модули векторов r, v и а:

Найдём теперь скалярные произведения (r, v) и (r, a):

(r, v) = x × u_x + y × u_y = b ×cos w t× (– b ×sin w t) + b ×sin w t× b ×cos w t = 0,

(r, a) = – w² (r, r) = b ²×w².

Как видим, векторы r и v взаимно перпендикулярны.

Поскольку а = – w r, то а и r направлены в противоположные стороны, причем, вектор ускорения а направлен к началу координат. Траекторию можно определить двумя способами.

Рис. 1

1 способ. Так как координата частицы всё время и r = b = const, то траектория лежит в плоскости XOY и представляет собой окружность радиуса b с центром в начале координат.

2 способ. Так как х = b× cos w t, у = b ×sin w t, то х ² + у ² = b ².

Мы получили уравнение окружности радиуса R = b с центром в начале координат.

Найдем направление движения точки. При t = 0 частица находится в точке с координатами х = b, у = 0 и имеет скорость:

v (0) = u_x (0)× e _x + u_y (0)× e _y = 0× e _x + b w× e _y,

направленную вдоль оси OY. Т.е. движение происходит против часовой стрелки (см. Рис.1).

Если b< 0, то направление движения изменяется на противоположное.

Задача 5

Колесо радиуса R катится без скольжения со скоростью V. Найти закон движения точки на ободе колеса, полагая в начальный момент t = 0её координаты х = 0 и y = 0. Изобразить её траекторию, и указать направления скорости и ускорения.

Решение

За время t после начала движения центр колеса сместится на расстояние Vt, а само колесо повернётся вокруг оси на некоторый угол j. Точка колеса А, которая в начальный момент находилась в начале координат, повернётся вместе с колесом. Угол j поворота колеса связан с перемещением центра колеса очевидным соотношением (см. Рис. 1), являющимся следствием, предполагаемого в условии, отсутствия скольжения:

Рис. 1

Vt = R j (1).

Проще всего этот результат получить, если представить, что на обод колеса намотана лента, конец которой закреплён в начале координат. Если колесо откатится вправо на расстояние S = Vt, то с колеса смотается кусок ленты также длины S = Vt. С другой стороны, этот кусок ленты, будучи намотан на обод колеса, представляет собой дугу окружности, концы которой видны из центра колеса под углом j = S / R. Этот результат и доказывает справедливость (1).

Координаты точки А, как следует из рис. 1, равны:

x = R (j– sin j),

y = R (1 – cos j),

j = Vt / R.

Кривая, задаваемая этими соотношениями, называется циклоидой. Она изображена на Рис. 2.

Из найденного закона движения легко найти компоненты вектора v скорости точки A:

Рис. 2

В те моменты времени, когда y = 0, т.е. точка А оказывается в нижнем положении (j = 0, 2p, 4p, …), её скорость становится равной нулю. Что не удивительно, так как по условию проскальзывание отсутствует, отсутствие скольжения было "заложено" в соотношение (1) выше.

Подумайте сами, как изменится вид траектории, если колесо скользит. Здесь возможны два случая: скорость точки касания колеса с землёй направлена навстречу оси ОХ (так движется колесо автомобиля при езде на скользкой дороге), или наоборот – скорость точки касания направлена вперёд, т.е. в направлении оси ОХ. Это случай экстренного торможения автомобиля, когда он скользит по дороге.

Что касается направления вектора v скорости точки А, то этот вектор направлен из точки А в точку С, находящуюся в данный момент на самом верху колеса. Действительно, проведём из точки B касания колеса с осью ОХ в точку А вектор r. Его проекции на оси ОХ и ОY, очевидно, равны:

r_x = x – Vt = – R sinj,

r_y = y = R (1 –cosj).

Этот вектор r ортогонален вектору v скорости точки А, поскольку скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(r, v) = r_x u_x + r_y u_y = – R sinj× V ×(1 –cosj) + R ×(1 –cosj)× V sinj = 0.

Вектор r – есть катет АВ прямоугольного треугольника АВС. Поскольку всякий прямоугольный треугольник вписанный в окружность имеет гипотенузой диаметр этой окружности, то ВС – диаметр колеса. Но точка В есть самая нижняя точка колеса, следовательно, С – самая верхняя его точка.

Этот результат можно получить и без вычислений, если заметить, что скорость точки соприкосновения колеса с осью ОХ равна нулю, поскольку колесо не скользит. Но это означает, что колесо в данный момент времени вращается вокруг этой точки. Следовательно скорость точки А направлена перпендикулярно радиус-вектору r. Всё остальное вытекает из этого факта.

Продифференцировав компоненты скорости по времени, найдём компоненты ускорения:

Нетрудно понять, что ускорение точки в любой момент времени направлено к центру колеса. Проще всего это сделать, перейдя в систему отсчёта, которая равномерно движется вместе с осью колеса. В этой системе отсчёта точка А движется равномерно со скоростью V по неподвижной окружности радиуса R. Тем самым ускорение точки А есть центростремительное ускорение, и направлено оно к центру колеса.

Вычисления очень просты. В этой системе отсчёта компонента скорости v_y остаётся неизменной, а v_x уменьшается на V:

Дифференцируя по времени, найдём компоненты ускорения:

Сравнивая компоненты ускорения с проекциями радиус-вектора R:

R_x = x–R j = –R sin j,

R_y = y – R = –R cos j,

видим, что проекции этих векторов пропорциональны друг другу и отличаются знаками, т.е. вектор ускорения направлен навстречу вектору R (см. Рис. 2).

Задача 6

Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью u. Навстречу колонне бежит тренер со скоростью u<u. Каждый из спортсменов, поравнявшись с тренером, поворачивает назад и продолжает бежать с прежней скоростью u. Какой будет длина колонны L’ после того как последний спортсмен поравняется с тренером?

Решение

Решать задачу проще всего в системе отсчёта, связанной с тренером. В этой системе спортсмены приближаются к тренеру со скоростью u + u, а удаляются от него со скоростью u – u. Тогда время t, за которое колонна пробежит мимо тренера равно:

t = L /(u + u).

Но за это время голова колонны удалится от тренера на расстояние, равное новой длине колонны:

.

Задача 7

Как показывают астрономические наблюдения, в видимой нами части Вселенной звёзды удаляются от Солнца со скоростями, пропорциональными расстоянию до Солнца: v = a r. Как будет выглядеть движение звёзд, если рассматривать его, находясь на какой–либо другой звезде?

Решение

Пусть Солнце расположено в точке О. Пусть в качестве новой системы отсчёта выбрана звезда О ', положение которой относительно Солнца задаётся радиус–вектором R. Пусть, кроме того, мы наблюдаем за движением некоторой звезды А, положение которой относительно Солнца задаётся радиус–вектором r. Тогда положение этой же звезды относительно новой системы отсчёта задаётся радиус–вектором r' = r – R (см. Рис. 1). Тогда, согласно условию задачи, звезда А удаляется от Солнца со скоростью V = a r, а звезда О ’ – со скоростью U = a r'. Согласно правилу сложения скоростей:

Рис. 1

V = V' + U.

Следовательно, скорость V' звезды А относительно звезды О’ равна:

V' = V – U = a ×(r – R) = a × r'.

Полученный результат означает, что и в новой системе отсчёта звёзды удаляются друг от друга со скоростями, пропорциональными расстоянию между ними.

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

При решении задач этого раздела следует руководствоваться следующими основными положениями:

1. Существуют такие системы отсчёта (их называют инерциальными), в которых тело, не взаимодействующее с другими телами, движется равномерно и прямолинейно. Это утверждение носит название закона инерции, или первого закона Ньютона. В дальнейшем будут использоваться, если не оговорено особо, только инерциальные системы отсчёта.

2. Всякое взаимодействие тел характеризуется силой.

3. m a = SF – второй закон Ньютона.

Здесь m – масса частицы, a – вектореё ускорения, SF – векторная сумма сил, действующих на частицу со стороны других тел. Отметим здесь, что если в задаче рассматривается движение нескольких тел, то для каждого из них необходимо записать своё уравнение второго закона Ньютона. При этом система отсчёта может быть выбрана одной для всей системы тел, а можно для каждого тела выбирать свою систему отсчёта.

Рис. 1

4. При соприкосновении тел между ними возникают силы, приложенные в точке их соприкосновения, эти силы носят название сил реакции поверхностей. Силы реакции, если поверхности гладкие, направлены перпендикулярно поверхностям соприкасающихся тел, или, более строго, силы реакции направлены перпендикулярно касательной плоскости, проходящей через точку касания тел (Рис. 1).

5. Если поверхности шероховатые, то сила реакции уже не будет перпендикулярна касательной плоскости. Её компонента, параллельная касательной плоскости, называется силой трения. Причем сила трения возникает либо при попытке сдвинуть одно тело по отношению к другому, либо при скольжении одного тела по поверхности другого. Следует различать два случая, когда встречается сила трения. Рассмотрим тело, находящееся на горизонтальной поверхности. Пусть к телу приложена сила F, направленная горизонтально.

Рис. 2

Случай а). Тело покоится относительно поверхности. Тогда сумма сил, приложенных к телу, равна нулю. Спроецировав силы, действующие на тело, на вертикальное и горизонтальное направление, получим, что сила тяжести уравновешивается нормальной составляющей силы реакции поверхности. А горизонтальная составляющая силы реакции, т.е. сила трения покоя, равна по величине и противоположна по направлению внешней силе F, направленной вдоль поверхности, на которой находится тело. Сказанное иллюстрируется рис.2, на котором

Случай б). Тело скользит по поверхности. В этом случае сила трения называется силой трения скольжения . Она направлена в сторону, противоположную направлению движения тела и равна по величине

,

где N – величина нормальной составляющей силы реакции поверхности, k – коэффициент трения между телом и поверхностью. Считается также, что:

6. Силы взаимодействия между телами равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой (третий закон Ньютона).

Задача 1

На горизонтальном столе находятся два бруска с массами m ₁ и m ₂, связанные невесомой, нерастяжимой нитью. Брусок m ₁ тянут с силой F, направленной параллельно столу. Коэффициент трения между брусками и столом – k. Найти ускорение, с которым движутся бруски и силу натяжения нити, связывающей их.

Решение

На рис. 1 изображены силы, действующие на каждое из тел. Т.к. нить предполагается нерастяжимой, то тела движутся с одинаковыми скоростями и, следовательно, с одинаковыми ускорениями. Составим уравнения второго закона Ньютона для каждого тела:

m ₁ a = F + T₁ + F_тр1+ N₁ + m ₁ g (1)

m ₂ a = T₂ + F_тр2 + N₂ + m ₂ g (2)

Рис. 1

Выберем систему координат XOY так, чтобы ось ОХ была направлена горизонтально, а ось OY – вертикально. Записывая (1) и (2) в проекциях на ОХ и OY, получаем:

m₁a_x = F – T₁ – F_тр1,(3),

0 =N₁ – m₁g (4),

m₂a = T₂ – F_тр2,(5),

0 =N₂ – m₂g (6).

Мы получили четыре уравнения для семи неизвестных: а_х, T ₁, Т ₂, N ₁, N ₂, F_{тр 1}, F_{тр 2}. Для того, чтобы эта система имела единственное решение, необходимы еще три уравнения. Первое из этих трех уравнений получим, если помимо нерастяжимости нити учтем еще и её невесомость. Так как нить нерастяжима, то ее ускорение равно ускорению тел, которые она соединяет. Тогда уравнение второго закона Ньютона для нити имеет вид:

m_нитиa_x = T ₁ – T ₂,

где m_нити – масса нити, T ₁и T ₂ – силы, приложенные к нити со стороны первого и второго тел соответственно. Т.к. нить невесома, то m_нити = 0 и T ₁ – T ₂ = 0, т.е.

T ₁ = T ₂.

Иными словами нерастяжимая, невесомая нить действует с одинаковыми силами на тела, которые она соединяет. Причем, силы эти направлены вдоль нити. В дальнейшем мы этот результат будем постоянно использовать и не делать различия между T ₁и T ₂, обозначая их одной буквой, скажем, Т. Равенство T ₁ = T ₂ одно из трех недостающих уравнений. Нам нужны еще два уравнения. Для их получения рассмотрим силы трения. Возможны, очевидно, два случая.

Случай 1. Тела движутся, поэтому: F_{тр 1} = kN ₁, F_{тр 1} = kN ₁.

Тогда, с учетом этих соотношений, имеем вместо (3) – (6) следующую систему уравнений:

m ₁ a_x = F – T – km ₁ g (7),

m ₂ a_x = T – km ₂ g (8).

Складывая эти уравнения, получим:

(m ₁+ m ₂) a_x = F – k (m ₁+ m ₂) g,

откуда находим ускорение:

(9).

Затем из второго уравнения этой системы найдем Т:

T =m ₂ a_x + km ₂ g

подставляя сюда а_х из (9), получим:

(10).

Проанализируем полученное выражение для а_х. Это следует делать всегда, но особенно в тех случаях, когда результат не является знакопостоянной величиной (т.е. в нём где–то содержится разность некоторых величин). Так как результат для а_х получен в предположении, что тела движутся, то очевидно, а_х должно быть положительной величиной:

,

откуда:

F > kg (m ₁+ m ₂).

Если же это неравенство нарушается, т.е.

F < kg (