Глава II. 7 элементы специальной теории относительности

II.7.1 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

 

1. Преобразования Лоренца

; ; (I.109)

 

, (I.110)

 

где предполагается, что система отсчёта движется со скоростью в положительном направлении оси системы отсчёта , причём оси ( и ) совпадают, а оси ( и ), ( и ) параллельны;

- скорость распространения света в вакууме.

 

2. Релятивистское замедление хода часов

 

, (I.111)

 

где - интервал времени, между событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами;

- интервал времени, между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами;

.

3. Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

 

, (I.112)

где - длина стержня, измеренная в системе отсчёта, относительно которой стержень покоится;

- длина стержня, измеренная в системе отсчёта, относительно которой стержень движется со скоростью ;

4. Релятивистский закон сложения скоростей

; ; , (I.113)

 

где предполагается, что система отсчёта движется со скоростью в положительном направлении оси системы отсчёта , причём оси ( и ) совпадают, а оси ( и ), ( и ) параллельны.

5. Масса релятивистской частицы

, (I.114)

 

где - масса покоя тела (собственная масса);

- масса тела, движущегося со скоростью относительно системы отсчёта;

- скорость тела относительно системы отсчёта;

( м/с).

6. Релятивистский импульс частицы

(I.115)

 

7. Основной закон релятивистской динамики

, (I.116)

где - релятивистский импульс частицы;

- вектор результирующей силы, приложенной к частице.

8. Закон взаимосвязи массы и энергии

, (I.117)

где - скорость света в вакууме;

- полная энергия свободного тела (частицы);

- релятивистская масса.

9. Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

, (I.118)

где - энергия покоя.

10. Кинетическая энергия свободного тела (частицы)

(I.119)

II.7. 2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

ЗАДАЧА № II.118 Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление о теле в виде шара радиуса м, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью рад/с?

Ответ. Нет, не согласуется. Скорость экваториальных точек такого тела м/с превышает скорость света в пустоте.

ЗАДАЧА № II.119 Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление об электроне как о вращающемся вокруг своей оси однородном шарике массы кг (массы электрона) и радиуса м (классический радиус электрона), обладающем собственным моментом импульса (кг ∙ м²/с) (вытекающее из квантовой теории и подтверждённое экспериментально значение собственного момента импульса электрона)?

Ответ. Нет, не согласуется, так как скорость на «экваторе» такого шарика была бы равна м/с, т.е. превышала бы скорость света в пустоте почти в 300 раз.

 

ЗАДАЧА № II.120 Имеются два одинаковых стержня. Стержень 1 покоится в системе отсчёта , стержень 2 покоится в системе отсчёта . Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадающих осей . Стержни параллельны этим осям. Какой стержень будет короче: а) в системе , б) в системе ?

Ответ. А)Стержень 2. Б) стержень 1.

 

ЗАДАЧА № II.121 При каких условиях справедливы преобразования Галилея? преобразования Лоренца?

Ответ. Преобразования Галилея справедливы для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в вакууме. Преобразования Лоренца справедливы и для скоростей, близких к скорости света в вакууме.

ЗАДАЧА № II.122 Зависит ли от скорости движения системы отсчёта скорость тела? скорость света?

Ответ. Скорость тела зависит от выбора системы отсчёта; скорость света в вакууме не зависит от выбора системы отсчёта и во всех инерциальных системах отсчёта одинакова.

 

ЗАДАЧА № II.123 Неподвижный наблюдатель 1, находившийся посредине между точками и , увидел, что в эти точки одновременно попали молнии (рис. 87). Одновременны ли эти события для неподвижных наблюдателей 2 и 3? Для каких ещё неподвижных относительно и наблюдателей, кроме наблюдателя 1, события в и будут одновременными?

	Рисунок 87 - Неподвижный наблюдатель 1, находится посредине между точками и

 

 

Ответ. Нет. Для наблюдателя 2 в точку молния попала раньше; для наблюдателя 3 молния попала раньше в точку . Для наблюдателей, равноудалённых от и .

ЗАДАЧА № II.124 В тотмомент, когда середина поезда, движущегося равномерно и прямолинейно, проходит мимо наблюдателя , посредине перрона, одновременно для этого наблюдателя на концах перрона зажигаются фонари и (рис. 88). Одновременны ли эти события для наблюдателя , находящегося в середине движущегося поезда?

	Рисунок 88 – Движение поезда, относительно наблюдателей и .

Ответ. Нет. Так как поезд движется в точке , то свет от фонаря до встречи с движущимся наблюдателем должен пройти меньшее расстояние, чем свет от фонаря . Следовательно, для движущегося наблюдателя раньше загорится фонарь .

ЗАДАЧА № II.125 По условию задачи № II.118определить, какой фонарь для наблюдателя загорится раньше, если фонари зажгли в тот момент, когда наблюдатель находился (рис.90): 1) в точке ; 2) в точке ; 3) в точке . Где должен находиться наблюдатель в момент зажигания фонарей, чтобы свет из точек и пришёл к нему одновременно?

Ответ: 1) фонарь ; 2) фонарь ; 3) фонарь . Наблюдатель должен находиться в точке на таком расстоянии от середины перрона, чтобы к моменту прохождения наблюдателем середины перрона свет из и , одновременно пришёл в точку : , (рис.89).

	Рисунок 89 – Движение поезда, относительно наблюдателей и .

ЗАДАЧА № II.126 Какой стала бы длина тела по направлению движения относительно неподвижного наблюдателя при ?

Ответ. Из формулы следует, что при , . Следовательно, при длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.

ЗАДАЧА № II.127 Что можно сказать о длине стержня в различных инерциальных системах отсчёта? Имеет ли смысл понятие «длина стержня» вне связи с системой отсчёта?

Ответ. Длина стержня в различных системах отсчёта неодинакова. Понятие длины стержня имеет смысл только в конкретной системе отсчёта.

ЗАДАЧА № II.128 Какую скорость должно иметь тело, чтобы его продольные размеры уменьшились для неподвижного наблюдателя в 3 раза? До этого тело покоилось относительно данного наблюдателя.

Дано: ;

м/с.

Найти:

Решение

 

Относительно наблюдателя продольные размеры движущегося тела изменяются:

, (1)

где - длина покоящегося тела.

Выразим из уравнения (1) скорость движения тела, предварительно возведя обе части равенства в квадрат, получим:

; ,

 

т.е. скорость тела должна составлять скорости света. Поперечные размеры тела при этом не меняются.

 

ЗАДАЧА № II.129 Какова должна быть энергия частицы, чтобы её продольный размер стал в раз меньше поперечного?

Дано: ;

м/с.

Найти:

Решение

 

Кинетическая энергия частицы определяется по формуле:

. (1)

Преобразуем уравнение (1) к виду:

. (2)

Относительно наблюдателя продольные размеры движущегося тела изменяются:

. (3)

Выразим из формулы (3) , по условию задачи: , следовательно,

. (4)

Подставим формулу (4), в формулу (2), получим:

.

 

ЗАДАЧА № II.130 При какой относительной скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25%.

 

Дано:

Найти:

Решение

 

Относительно наблюдателя продольные размеры движущегося тела изменяются:

. (1)

По условию задачи . Отсюда, следует, что , или . Подставим это значение в формулу (1), получим: . Значит .

Таким образом,

, следовательно,

; км/с.

 

ЗАДАЧА № II.131 Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя со скоростью, равной скорости света в вакууме. Какое время пройдёт по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся вместе с ракетой, прошло 6 лет?

Дано: ;

лет;

м/с.

Найти:

Решение

 

Время, прошедшее по часам неподвижного наблюдателя, найдём по формуле:

. (1)

где - интервал времени, между событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами;

- интервал времени, между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами;

.

В данной задаче время можно не выражать в секундах, а оставить в годах.

лет.

ЗАДАЧА № II.132 Собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени жизни по неподвижным часам. Определите .

Дано:

Найти:

Решение

 

Релятивистское замедление хода часов определяется по формуле:

 

, (1)

 

где - интервал времени, между событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами;

- интервал времени, между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами;

Собственное время жизни частицы отличается от времени жизни по неподвижным часам на величину равную:

. (2)

Перепишем формулу (2) в виде:

. (3)

Выразим из формулы (1) и подставим в формулу (3):

. (4)

 

Из формулы (4), определим :

 

;

 

 

ЗАДАЧА № II.133 Определите зависимость скорости частицы (масса частицы ) от времени, если движение одномерное, сила постоянна и уравнение движения релятивистское.

Дано: ; .

Найти:

Решение

 

Для нахождения зависимости скорости движения частицы от времени, используем основной закон релятивистской динамики:

, ,

. (1)

 

Релятивистский импульс частицы определяется формулой:

 

. (2)

 

Приравняем формулы (1) и (2):

 

. (3)

 

Выразим из полученного равенства скорость , после преобразований получим:

. (4)

 

Формула (4) и будет устанавливать зависимость скорости движения частицы от времени .

ЗАДАЧА № II.134 Определите релятивистский импульс и кинетическую энергию протона, движущегося со скоростью .

 

Дано: кг;

.

Найти:

Решение

 

Релятивистский импульс протона определим по формуле:

 

; (Н·с).

 

Кинетическая энергия протона будет равна:

 

; Дж.

 

ЗАДАЧА № II.135 Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы от до .

Дано: .

Найти:

Решение

 

Работу, которую необходимо совершить, для увеличения скорости частицы, найдём из уравнения:

 

, (1)

 

где и - начальная и конечная кинетическая энергия частицы. Они соответственно равны:

 

и . (2)

 

Подставим формулу (2) в формулу (1), получим:

 

 

; .

ЗАДАЧА № II.137 С какой скоростью достигают электроны анода рентгеновской трубки, работающей при напряжении 50 кВ? Решить задачу с учётом релятивистской поправки и найти процент ошибки при расчёте, произведённом по классическим формулам.

 

Дано: кВ.

Найти:

 

Решение

 

Согласно классическим формулам, из закона сохранения энергии имеем:

. (1)

 

Из формулы (1), найдём :

 

; м/с.

 

Согласно релятивистским формулам, из закона сохранения энергии имеем:

. (2)

Отсюда

. (3)

 

Из равенства (3), найдём :

 

; м/с.

 

Процент ошибки можно определить по формуле:

 

.

ЧАСТЬ III. ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ