Глава II. 1. Кинематика материальной точки

II.1.1 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

1. Средняя скорость материальной точки:

, или , (II.1)

 

где - элементарное приращение точки за промежуток времени ;

- путь, пройденный точкой за промежуток времени .

2. Мгновенная скорость материальной точки:

, или . (II.2)

 

где - радиус-вектор точки.

3. Среднее ускорение материальной точки:

. (II.3)

 

4. Мгновенное ускорение материальной точки:

. (II.4)

5. Скорость для прямолинейного равномерного движения:

. (II.5)

6. Путь и скорость для прямолинейного равнопеременного движения:

; (II.6)

; (II.7)

 

, (II.8)

где - начальная скорость.

В уравнениях (II.6) и (II.8) ускорение положительно при равноускоренном движении и отрицательно при равнозамедленном.

7. Полное ускорение при криволинейном движении

, (II.9)

 

где - тангенциальное ускорение;

- нормальное (центростремительное) ускорение.

; (II.10)

, (II.11)

где - скорость движения материальной точки;

- радиус кривизны траектории в данной точке.

При вращении тела угол есть величина переменная, зависящая от времени .

8. Выражение вида называется кинематическим уравнением вращения.

9. Средняя угловая скорость материальной точки:

, (II.12)

где - изменение угла поворота за время .

10. Мгновенная угловая скорость материальной точки:

. (II.13)

11. Среднее угловое ускорение материальной точки:

 

, (II.14)

где - изменение угловой скорости за время .

12. Мгновенное угловое ускорение материальной точки:

. (II.15)

13. Уравнение равномерного вращения:

. (II.16)

14. Угловая скорость при равномерном вращательном движении:

. (II.17)

15. Угловое ускорение при равномерном вращательном движении:

. (II.18)

16. Уравнение равнопеременного вращения:

. (II.19)

17. Угловая скорость равнопеременного вращения:

 

. (II.20)

18. Угловое ускорение равнопеременного вращения:

 

. (II.21)

 

19. Частота вращения (число оборотов в единицу времени):

 

, (II.22)

или

, (II.23)

где - число оборотов, совершаемых за время ;

- период вращения (время одного полного оборота).

20. Связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

 

а) длина дуги, пройденная материальной точкой:

 

, (II.24)

 

где - угол поворота тела; - радиус вращения точки.

 

б) линейная скорость точки:

 

; (II.25)

 

в) тангенциальное ускорение точки:

 

; (II.26)

 

г) нормальное ускорение точки:

 

. (II.27)

II.1.2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

 

ЗАДАЧА № II.1 Вы сидите в одном из вагонов поезда и смотрите в окно. Соседний состав начинает отправляться, а вам кажется, что уходит ваш поезд. Почему? Наблюдалось бы такое явление, если бы вы могли одновременно видеть соседний состав и здание вокзала?

Ответ. Потому что невидно тело отсчета. Если бы видели здание вокзала, то такое явление не наблюдалось бы.

 

ЗАДАЧА № II.2 Автомобиль и троллейбус движутся прямолинейно так, что некоторое время расстояние между ними не меняется. Относительно каких тел, каждый из них в это время находится в покое и относительно каких тел каждый из них движется?

Ответ. Автомобиль и троллейбус покоятся относительно друг друга; движутся относительно дороги.

 

ЗАДАЧА № II.3 Во время сильного снегопада трудно понять, движется поезд или нет. Почему?

Ответ. Не видно тела отсчета, относительно которого можно определить, движется поезд или покоится.

 

ЗАДАЧА № II.4 Летчик-спортсмен сумел посадить небольшой спортивный самолет на крышу легкового автомобиля, движущегося относительно дороги. При каком условии это возможно?

Ответ. Скорости самолета и автомобиля должны быть одинаковыми относительно дороги.

 

ЗАДАЧА № II.5 В метро, на двух эскалаторах стоят пассажиры. Движутся они или покоятся относительно друг друга, если лестницы эскалаторов движутся в одном направлении; движутся в разных направлениях?

Ответ. В первом случае пассажиры покоятся относительно друг друга, во втором — пассажиры движутся относительно друг друга.

 

ЗАДАЧА № II.6 Допустим, что вам нужно перейти улицу под дождем, а зонта у вас нет. Как поступить: бежать или идти шагом? Если вы побежите, то под дождем проведете меньше времени. Однако в этом случае вы можете намокнуть сильнее, чем при ходьбе шагом, так как вы сами набегаете на дождевые струи. Зависит ли ваш ответ от того, какой идет дождь: косой или вертикальный?

Ответ. Если дождь идет навстречу или падает вертикально, то следует быстрее бежать к укрытию.

ЗАДАЧА № II.7 В первые годы существования авиации самой летной считали погоду с сильным устойчивым ветром. Специальных взлетно-посадочных полос не существовало. Взлетали с более или менее ровного поля и на него же садились. Почему именно в таких условиях подъем и посадка самолетов сопровождались наименьшим числом поломок?

Ответ. Для взлета самолета была необходима большая скорость относительно воздуха, а относительно поля, наоборот, — большая скорость была не нужна, так как встречные кочки и другие неровности могли стать причиной опасных поломок. Сильный устойчивый ветер был союзником первых авиаторов именно потому, что он помогал им взлетать и садиться при пониженных скоростях самолета относительно поля.

 

ЗАДАЧА № II.8 Почему парашют бесполезен при падении с небольшой высоты?

Ответ. Раскрытие парашюта и превращение равноускоренного движения парашютиста при падении в равномерное требует времени, в течение которого парашютист успевает пролететь большой путь.

 

ЗАДАЧА № II.9 С какой целью над колесами велосипеда устанавливаются щитки?

Ответ. Грязь, пристающая к колесам, отбрасывается по касательной, поэтому она может попасть в велосипедиста и запачкать велосипед.

 

ЗАДАЧА № II.10 Во время движения поезда с верхней полки вагона упал мяч. Будет ли он падать вертикально? Какие ответы дадут на этот вопрос наблюдатели, находящиеся в вагоне поезда и на насыпи железной дороги?

Ответ. Для наблюдателя, находящегося в вагоне поезда, мяч будет падать вертикально, а для наблюдателя, находящегося на насыпи железной дороги, мяч будет падать по криволинейной траектории.

ЗАДАЧА № II.11 Тело переместилось из точки с координатами (0; 2) м в точку с координатами (4; -1) м. Сделать чертёж, найти модуль вектора перемещения тела и его проекции на оси координат.

Дано: ; м;

м; =-1 м.

 

Найти: ;

Решение

 

 

	Рисунок 48 – Перемещение тела из точки с координатами (0; 2) в точку с координатами (4; -1).

 

Из рисунка 48 найдём проекции перемещения на оси координат и :

; (1)

м; м.

Модуль вектора перемещения найдём из прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

м.

ЗАДАЧА № II.12 Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он ехал со скоростью 12 км/ч. Половину оставшегося времени движения – со скоростью 6 км/ч, а затем до конца пути шёл пешком со скоростью 4 км/ч. Определить среднюю скорость на всём пути (км/ч).

 

Дано: км/ч;

км/ч;

км/ч

Найти: -?

 

Решение

Среднюю скорость велосипедиста на всём пути определим по формуле:

. (1)

Так как (по условию задачи). Тело движется равномерно, следовательно, , а . По условию задачи , значит

. (2)

Выразим из формулы (2) время , получим:

. (3)

После ряда преобразований, получаем выражение для средней скорости:

; км/ч.

ЗАДАЧА № II.13 Два тела движутся под углом друг к другу со скоростями и соответственно. Найти относительную скорость тел и расстояние между ними в момент времени . Каким будет направление относительной скорости тел по отношению к направлению скорости первого тела .

Дано: ; ; ;

Найти: -? -?

 

Решение

 

Пусть , где - относительная скорость тел (рис.49)

 

 

	Рисунок 49 – Движение двух тел со скоростями и под углом друг к другу

 

Для нахождения относительной скорости тел, воспользуемся теоремой косинусов:

. (1)

Расстояние между телами в момент времени определим по формуле:

. (2)

Для определения угла , характеризующего направление относительной скорости тел по отношению к направлению скорости первого тела , воспользуемся теоремой синусов:

, .

ЗАДАЧА № II.14 Из двух точек и , расположенных на расстоянии 90м друг от друга, одновременно в одном направлении начали движение два тела. Тело, движущееся из точки , имело скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки , - скорость 2 м/с. Через какое время, первое тело догонит второе? Какое перемещение совершит каждое тело? Задачу решить аналитически и графически.

Дано: ;

м;

м/с;

м/с.

 

Найти: -? -?

 

Решение

 

а) Аналитический способ решения.

Выберем начало оси в точке и направим её по движению тела (рис.50).

	Рисунок 50 – Движение двух тел со скоростями и вдоль оси

Запишем уравнения движения двух тел:

; , (1)

где и - координаты первого и второго тел. В момент встречи двух тел (точка ): . С учётом формулы (1):

. (2)

Из уравнения (2) находим время движения тел:

; с.

Определим перемещения тел по формулам:

; м;

; м.

 

б) Графический способ решения.

Отложим в масштабе по оси абсцисс время движения, а по оси ординат – значения координаты . Запишем уравнения движения тел (с учётом условия задачи):

; . (3)

 

Тогда зависимость координат от времени может быть изображена прямыми 1 и 2 (рис.51).

 

		Рисунок 51 – График зависимости

 

 

Найдём координаты их точки пересечения : с; м. Следовательно, первое тело догонит второе через 30 с. Перемещения тел соответственно равны: м и м.

ЗАДАЧА № II.15 При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за пятую секунду 90 см. Определить перемещение тела за седьмую секунду.

 

Дано: м; м/с;

с; с;

с; с;

см = м

Найти: -?

Решение

 

Проведём ось в направлении движения тела, а начало оси выберем в точке , из которой тело начинает движение (рис.52).

	Рисунок 52 – Движение тела в направлении оси

 

 

Уравнение движения тела имеет вид:

. (1)

В моменты времени с; с; и с учётом условия задачи: ; . Следовательно, перемещение тела за седьмую секунду будет равно: или

. (2)

Аналогичным способом получим формулу для перемещения тела за пятую секунду:

. (3)

Выразим из формулы (3), ускорение движения тела и подставим его выражение в формулу (2), получим:

; м.

 

ЗАДАЧА № II.16 Уравнение движения тела дано в виде . Определить начальную скорость и ускорение движения тела, а также координату и скорость тела через 5 с.

 

Дано: с;

Найти: -?

Решение

 

Данную задачу можно решить двумя способами.

1-й способ. Запишем уравнение движения тела в общем виде:

(1)

и сравним его с уравнением движения, которое нам даётся по условию задачи. Очевидно, что ; м/с; м/с².

Координату тела через 5 с, найдём из уравнения (1): м.

Скорость тела через 5 с определим по формуле: ; м/с.

2-й способ. Координату при с, найдём также, из уравнения (1).

По определению скорости:

; м/с.

По определению ускорения:

м/с².

 

ЗАДАЧА № II.17 Два тела брошены вертикально вверх с земли из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью 19,6 м/с с промежутком времени 0,5 с (рис. 53). Через какое время после бросания второго тела и на какой высоте они встретятся?

Дано: с;

м/с

Найти:

Решение

	Рисунок 53 – Движение двух тела в направлении оси

 

Запишем уравнение движения тела в общем виде:

. (1)

Применительно ко второму телу, оно будет иметь следующий вид:

. (2)

Тогда уравнение движения первого тела:

. (3)

В момент встречи двух тел их координаты совпадают, т.е. , отсюда следует:

. (4)

Выразим из уравнения (4) время и проведём ряд преобразований, получим:

; (5)

с

Высоту найдём, используя формулы (2) и (5):

; м.

ЗАДАЧА № II.18 Как двигался мотоциклист, график скорости, движения которого изображён на рисунке 54?

 

 

Рисунок 54 – График скорости движения мотоциклиста

Решение

 

Из графика (рис.54) видно, что мотоциклист начал движение из состояния покоя (точка ). На участке он двигался равноускоренно, на участке его движение было равномерным, а на участке - равнозамедленным с большим по абсолютному значению ускорением, чем на участке . Участок соответствует остановке. Участки , , данного графика соответствуют движению мотоциклиста в обратном направлении: участок - равноускоренному; участок - равномерному и участок - равнозамедленному.

ЗАДАЧА № II.19 Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Уравнение движения автомобиля , где м, м/с, м/с². Найти скорость движения автомобиля; его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в момент времени равном 5 с. Определить направление полного ускорения.

 

Дано: м;

;

м;

м/с;

м/с²;

с.

Найти:

Решение

 

Запишем общее выражение для скорости движения автомобиля:

. (1)

Подставим в формулу (1) уравнение движения автомобиля, получим:

. (2)

Заменим постоянные и их значениями, получим: м/с.

Для нахождения тангенциального ускорения, воспользуемся формулой (II.10):

. (3)

Взяв производную по времени от общего уравнения скорости и подставив значения постоянной и времени, получим:

м/с².

Полученное выражение для тангенциального ускорения не содержит времени: это значит, что тангенциальное ускорение постоянно по величине, поэтому движение автомобиля является равнозамедленным.

Для нахождения нормального ускорения, используем уравнение (II.11):

. (4)

Подставим в формулу (4) значения скорости и радиуса кривизны траектории, получим: м/с².

Полное ускорение определяется по формуле (II.9):

; м/с².

Направление полного ускорения можно определить, если найти угол , образуемый полным ускорением с направлением радиуса или с направлением нормального ускорения:

или .

 

ЗАДАЧА № II.20 Колесо вращается по закону . Найти угловую и линейную скорость колеса, а также полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса в конце первой секунды вращения. Радиус колеса 20см.

Дано: 0 см = м;

;

с.

Найти:

Решение

 

Угловая скорость определяется по формуле (II.13):

.

Подставим в эту формулу уравнение для углового перемещения:

; рад/с.

Используем формулу (II.24) для нахождения линейной скорости:

; м/с

По определению, угловое ускорение определяется по формуле (II.15):

.

С учётом уравнения угловой скорости, получим:

; рад/с².

Полное ускорение определяется уравнением (II.9): , где

и находят соответственно по формулам: (II.27) и (II.26):

; .

Тогда ; м/с².