Две основные задачи динамики точки.

Две основные задачи динамики точки.

1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.

2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу и начальные условия движения определить траекторию.

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах.

Метод кинетостатики: если к движущейся под действием сил точке приложить силу инерции, то геометрическая сумма всех сил будет равна нулю: , где Ф - сила инерции.

Так как: , то проектируя на ось координат получаю: , так как: то аналогично для y и z получаю:

Динамическая теорема Кориолиса. Переносная и Кориолисова силы инерции.

Переносная сила инерции точки в ее относительном движении направлена противоположно вектору переносного ускорения точки и численно ровно произведению массы точки, на величину переносного ускорения точки: -ma_е=Ф_е - сила инерции

Сила инерции Кориолиса, направлена в сторону противоположную ускорению Кориолиса, и ровно произведению массы точки на величину ускорения Кориолиса: -ma_k=Ф_k – Кориолисова сила инерции. ma_r= - динамическая теорема Кориолиса

 

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

, подставляя в основное уравнение динамики: , обозначая переносную и Кориолисову силы инерции: . В проекциях на координатные оси:

 

Свободные колебания материальной точки

- диф. уравнение свободных гармонич. колебаний

x=x₀coskt+ sinkt – 1-я форма уравнения гармонич. колебаний

x=asin(kt+α) – 2-я форма уравнения гармонич. колебаний

k= – круговая частота колебаний

T= – период

a= – амплитуда колебаний

 

Затухающие колебания мат. точки

Затухающие колебания происходят в том случае, когда на точку, кроме восстанавливающей силы действует сила сопротивления.

R=-µv µ - коэффициент сопротивления среды

– диф. уравнение затухающих колебаний

n= - частота затухающих колебаний

 

Затухающие колебания в случае малого сопротивления

k

k₁= - частота

- 1- я форма ур. зат. колебаний - 2- я форма ур. зат. колебаний

Т= – период

Д=- логарифмический дикримент затухания

 

Затухающие колебания в случае большого сопротивления

n

k₁= - частота

– ур-е затух. колебаний большого сопрот.

случай апериодического движения

 

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

Такие колебания происходят, если на точку, кроме восстанавливающей силы действует вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону: H

диф. ур-е. вынужд. колеб. без сопр. сред

1-я форма ур-я.

2-я форма ур-я.

удельная амплитуда

A= амплитуда вынужденных колебаний

 

Случай резонанса

k=p

ур-е. колеб. р.

 

Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

Такие колебания происходят, если на точку, кроме восстанавливающей и вынуждающей силы действует сила сопротивления:

R=-µv µ - коэффициент сопротивления среды

диф. ур-е. вынужд. колеб. с сопр. среды

- амплитуда вынужденных колебаний с сопр.

- ур-е вынужденных колеб.

13. Координаты центра масс системы материальных точек.Силы, действующие на точки механической системы.

Механическая система материальных точек - совокупность точек, в которой положение и движение каждой зависит от остальных. Система с кинематическими ограничениями - несвободная. Масса механической системы - арифметическая сумма масс всех ее точек. Центр масс - геометрическая точка, положение которой определяется уравнениями: Задаваемые силы и реакции связи;

Внешние силы - силы, с которыми на механическую систему действуют другие тела, не входящие в нее.

Внутренние силы - силы взаимодействия точек системы. Свойства внутренних сил:

1. главный вектор внутренних сил равен нулю;

2. главный вектор момент внутренних сил относительно любого неподвижного центра равен нулю

 

Теорема о моменте инерции относительно параллельных осей.

Теорема: Момент инерции относительно оси равен сумме момента инерции относительно параллельной ей центральной оси и произведение массы тела на квадрат расстояния меду осями: I_z = I_zc + mh².

Радиус инерции.

Радиус инерции - расстояние от оси до воображаемой точки, в которой необходимо сосредоточить массу тела, чтоб момент инерции этой точки относительно заданной оси был равен моменту инерции данного тела относительно этой же оси: Ц ентробежный момент инерции: .

Работа.

Работа силы - количественная мера превращения механического движения в другие виды движения.

Если сила постоянна по модулю и направлению, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то работа равна произведению модуля силы, длинны перемещения и косинуса угла между этими векторами: . Знак работы совпадает со знаком проекции силы на ось перемещения. . Интегрируя для точки М получим:

Мощность - работа, выполненная за единицу времени.

Теорема о работе равнодействующей силы: работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, составляющих ее сил на этом же перемещении.

Явление удара.

Явление, при котором, за ничтожно малые промежутки времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, которые изменяют скорости точек в течении малого промежутка времени называются мгновенными или ударными.

Фаза изменения скоростей – фаза деформации

τ₁ – время фазы деформации Sд=

τ₂ – время фазы восстановления Sв=

Коэффициент восстановления при ударе K=

u – скорость после удара v – скорость до удара

Если К=0, то u=0 – абсолютно неупругий удар

Если К=1, то u=v – абсолютно упругий удар

Если К – упругий удар

 

Теоремы теории удара

-Теорема об изменении количества движения при ударе (Изменение количества движения системы за время удара, равно сумме всех внешних ударных импульсов действующих на систему: Q-Q_i=

-Теорема об изменении кинетического момента при ударе (Изменение за время удара кинетического момента системы относительно центра, ровно сумме моментов всех действующих на систему ударных импульсов: L-L₀=

-Теорема об изменении кинетической энергии при ударе (Т. Карно) (Кинетическая энергия потерянная системой, при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями:

T-T₀= ).

 

Две основные задачи динамики точки.

1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.

2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу и начальные условия движения определить траекторию.