Глава II. 5 всемирное тяготение. Элементы теории поля

II.5.1 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

1. Закон всемирного тяготения

, (II.76)

где - сила взаимного притяжения двух тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними;

и - массы тел; - расстояние между ними;

- гравитационная постоянная.

Два шара со сферически симметричным распределением плотности вещества в каждом шаре притягивают друг друга так, как будто вся масса каждого шара сосредоточена в его центре.

2. Напряжённость гравитационного поля

, (II.77)

где - сила тяготения, действующая на материальную точку массой , помещённую в данную точку поля.

Если гравитационное поле, напряжённость которого мы определяем, само создано материальной точкой или телом со сферически симметричным распределением плотности, то

= , (II.78)

где - масса материальной точки (тела, создающего поле);

- расстояние от неё до интересующей нас точки поля.

3. Ускорение свободного падения на высоте над поверхностью Земли

, (II.79)

где - радиус Земли; - ускорение на поверхности Земли.

Если , то

. (II.80)

 

4. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек всегда отрицательна и выражается формулой

, (II.81)

где и - массы материальных точек; - расстояние между ними.

При потенциальная энергия системы имеет максимальное значение, равное нулю.

5. Работа сил гравитационного поля при сближении двухматериальных точек равна уменьшению потенциальной энергии тяготения

. (II.82)

Работа сил гравитационного поля при сближении двухвзаимодействующих материальных точек положительна и выражается формулой

, (II.83)

где и - соответственно начальное и конечное расстояния между материальными точками ().

Если расстояние между материальными точками увеличивается, то работа сил поля отрицательна.

Работа сил гравитационного поля при перемещении материальной точки массой из точки поля с потенциалом в точку с потенциалом :

. (II.84)

6. Потенциал гравитационного поля

, (II.85)

где - потенциальная энергия материальной точки массой , помещённой в данную точку поля.

Потенциал гравитационного поля можно выразить и через работу сил тяготения , совершаемую при перемещении материальной точки массой из данной точки поля в бесконечность

. (II.86)

Работа в данном случае отрицательна.

Если поле создано материальной точкой или телом со сферически симметричным распределением плотности, то

, (II.87)

где - расстояние от материальной точки, создающей поле, до интересующей нас точки поля.

7. Связь между потенциалом поля тяготения и его напряжённостью

. (II.88)

 

8. Если какое-либо тело движется в поле тяготения Земли (или другого небесного тела), то полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергии

(II.89)

или

, (II.90)

где - масса тела; - масса Земли;

- расстояние тела от центра Земли.

9. Законы Кеплера

§ Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

§ Радиус – вектор планеты в равные времена описывают площади одинаковой величины.

§ Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит

. (II.91)

Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планет.

10. Первая и вторая космические скорости

; , (II.92)

где - радиус Земли.

11. Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчёта

, (II.93)

где и - соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчёта;

- силы инерции.

12. Силы инерции

, (II.94)

где - силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчёта с ускорением :

; (II.95)

- центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчёта на тела, удалённые от оси вращения на конечное расстояние ):

. (II.96)

- кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью во вращающейся системе отсчёта):

. (II.97)

 

II.5.2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

ЗАДАЧА № II.78 Барон Мюнхгаузен, герой известного произведения Э. Распе, привязав конец веревки к Луне, спускался по ней на Землю. Объясните с точки зрения физики невозможность такого передвижения.

Ответ. Барон Мюнхгаузен никак не мог бы скользить по веревке к Земле, так как этому препятствовала бы сила притяжения его к Луне.

 

ЗАДАЧА № II.79 На динамометре подвешен груз. Изменятся ли показания прибора, если его поднять на большую высоту над поверхностью Земли?

Ответ. Показания прибора уменьшатся, так как сила тяжести обратно пропорциональна расстоянию от тела до поверхности Земли.

 

ЗАДАЧА № II.80 Почему сила тяжести зависит от широты местности? В каком случае сила тяжести в разных точках на поверхности Земли была бы одинаковой? Зависит ли масса тела от широты местности?

Ответ. Так как Земля сплюснута у полюсов, то сила тяжести, зависящая от расстояния до центра Земли, будет разной на разных широтах. Масса тела не зависит от широты места.

 

ЗАДАЧА № II.81 Аристотель утверждал, что если на кирпич, который падает с определенной скоростью, положить сверху другой кирпич, то верхний будет давить на нижний, и поэтому два кирпича должны падать быстрее, чем один. Согласны ли вы с этим рассуждением Аристотеля?

Ответ. Оба кирпича будут падать с одинаковой скоростью, поэтому дополнительного давления верхнего кирпича на нижний не будет.

 

ЗАДАЧА № II.82 Представим себе, что вокруг Земли построили мост из однородного материала. Вес тела в любой части моста один и тот же. Обрушится ли мост, когда из-под него удалят все опоры? Можно ли будет им воспользоваться для практических целей?

Ответ. Мост должен держаться без опор, так как все его части притягиваются к центру Земли с одинаковой силой. Однако им пользоваться нельзя, так как достаточно даже небольшой мухе сесть на какую-нибудь часть моста, как нарушится равновесие, и мост рухнет.

 

ЗАДАЧА № II.83 С одной и той же высоты начинают одновременно падать монета и такой же по размеру кружок бумаги. Одновременно ли они упадут на поверхность Земли? Как изменится результат эксперимента, если бумажный кружок положить на монету и их отпустить?

Ответ. Воздух оказывает большее сопротивление падающему кружку бумаги, чем монете. Поэтому монета окажется на поверхности Земли раньше. Если бумажный кружок положить на монету, то они будут падать как единое целое с одинаковым ускорением, поэтому окажутся на поверхности Земли одновременно.

 

ЗАДАЧА № II.84 Из ружья произведен одиночный выстрел. Что раньше упадет на поверхность Земли: стреляная гильза или пуля, если считать, что они вылетают одновременно в горизонтальном направлении? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Ответ. Гильза и пуля упадут одновременно.

 

ЗАДАЧА № II.85 Если спортсмен перед прыжком делает разбег, то дальность прыжка увеличивается. Почему? В каком состоянии находится спортсмен во время полета?

Ответ. Разбег увеличивает горизонтальную составляющую скорости прыжка, поэтому увеличивается дальность полета. При этом спортсмен находится в состоянии свободного падения.

 

ЗАДАЧА № II.86 Известно, что в вакууме время подъема тела, брошенного вертикально вверх, равно времени его падения. Будет ли иметь место это равенство, если учитывать сопротивление воздуха?

Ответ. Время подъема будет меньше времени падения. При подъеме камня сила тяжести, действующая на него, направлена так же, как и сила сопротивления воздуха, а при падении — противоположно.

 

ЗАДАЧА № II.87 Может ли космонавт ходить в условиях невесомости, например, по полу или стене орбитальной станции, не пользуясь поручнями?

Ответ. В состоянии невесомости отсутствует сила давления человека на пол (стенки) станции, поэтому не возникает сила трения, необходимая для ходьбы.

 

ЗАДАЧА № II.88 Определитесреднюю плотность Земли, считая известными гравитационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободного падения на Земле.

 

Дано: м³/(кг∙с²);

м;

м/с².

Найти:

Решение

 

Среднюю плотность Земли можно будет найти, используя формулу:

, (1)

где - масса Земли; - объём Земли.

Так как масса по условию задачи нам не известна, то её можно будет выразить из закона Всемирного тяготения:

, (2)

где - масса тела; - радиус Земли.

На основании второго закона Ньютона: , тогда .

Выразим из последнего равенства массу Земли, получим:

. (3)

Объём Земли, определим по формуле:

. (4)

Подставим формулы (3) и (4) в формулу (1), получим:

 

; кг/м³.

 

ЗАДАЧА № II.89 Как известно, искусственный спутник Земли движется вокруг неё по круговой орбите. Определите, во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии.

Дано:

Найти:

Решение

 

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия искусственного спутника и Земли выражается формулой:

. (1)

Кинетическая энергия спутника может быть определена по формуле:

. (2)

Определим, во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии:

. (3)

Искусственный спутник Земли движется вокруг неё по круговой орбите, следовательно, на основании второго закона Ньютона:

. (4)

Из формулы (4) видно, .

Подставим данное выражение в формулу (3), получим:

.

ЗАДАЧА № II.90 Вычислить ускорение свободного падения тела, находящегося на расстоянии 100 км от поверхности Земли.

 

Дано: км м

Найти:

Решение

 

На тело, находящееся на высоте над поверхностью Земли, действует одна сила – сила тяготения, направленная к центру Земли и равная:

, (1)

где - масса Земли; - масса тела; - расстояние от центра Земли до тела.

Под действием этой силы тело будет двигаться вертикально вниз равноускоренно с ускорением (рис. 74).

	Рисунок 74 – Движение тела, вертикально вниз

 

 

Запишем для тела уравнение второго закона Ньютона в скалярной форме относительно оси , направленной вертикально вниз:

 

. (2)

 

Приравняем формулы (1) и (2), получим:

. (3)

Выразим из формулы (3), ускорение свободного падения:

 

, (4)

 

В формуле (4): , где - радиус Земли; - высота тела над поверхностью Земли. Тогда на высоте :

. (5)

У поверхности Земли , поэтому и . Это ускорение у поверхности Земли будем в дальнейшем обозначать :

; (6)

м/с².

После почленного деления уравнений (5) и (6), получим:

. (7)

Выразим из формулы (7) ускорение свободного падения :

. (8)

Так как , то воспользуемся приближённым соотношением . Тогда с учётом этого, уравнение (7), перепишется в виде:

; м/с².

ЗАДАЧА № II.91 Подлетев к неизвестной планете, космонавты придали своему кораблю горизонтальную скорость 11 км/с. Эта скорость обеспечила полёт корабля по круговой орбите радиусом 9100 км. Каково ускорение свободного падения у поверхности планеты, если её радиус 8900 км?

Дано: км/с м/с;

км м;

км м.

Найти:

Решение

 

На космический корабль действуют только одна сила тяготения со стороны планеты, направленная к её центру (рис.75) и согласно закону всемирного тяготения равная:

 

, (1)

где - масса планеты; - масса космического корабля;

- расстояние от центра планеты до корабля (радиус орбиты).

Преобразуем выражение (1), умножив числитель и знаменатель на , получим:

. (2)

Здесь, как и в случае Земли, - ускорение свободного падения у поверхности планеты.

 

	Рисунок 75 – Движение космического корабля, по круговой орбите, радиуса .

 

 

Запишем для космического корабля уравнение второго закона Ньютона в скалярной форме относительно оси , направленной к центру планеты:

, (2)

где

. (3)

Подставим выражения (1) и (3) в формулу (2) и выразим из неё ускорение , получим:

; м/с².

 

ЗАДАЧА № II.92 Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определить его скорость и период вращения.

Дано: км м

Найти:

Решение

 

Движение по круговой орбите происходит под действием только силы тяготения со стороны Земли:

, (1)

где - радиус Земли.

Запишем для спутника уравнение второго закона Ньютона в скалярной форме относительно оси , направленной к центру Земли:

, (2)

где

. (3)

Учитывая формулы (1) и (3), преобразуем уравнение (2) и выразим из него скорость движения спутника:

. (4)

Умножая числитель и знаменатель правой части уравнения (4) на , получаем: , где ускорение свободного падения у поверхности Земли. Следовательно,

, (5)

откуда

; (6)

м/с.

Период вращения спутника по круговой орбите радиусом , найдём по формуле:

, (7)

где - угловая скорость, в условиях данной задачи, она будет определена с.о.:

. (8)

Подставим выражение (8), в формулу (7), получим:

; с.

 

ЗАДАЧА № II.93 Найти первую космическую скорость . Первая космическая скорость – скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли.

Дано: км м;

м/с².

Найти:

Решение

 

	Рисунок 76 – Движение спутника, по круговой орбите вокруг Земли.

 

На тело, движущееся по круговой орбите вокруг Земли, действует единственная сила – сила тяготения. Эта сила и определяет центростремительное ускорение спутника (рис. 76).

Итак,

, (1)

где - высота спутника над поверхностью Земли. Считаем, что . Тогда

. (2)

Для удобства расчёта воспользуемся формулой:

. (3)

Перепишем формулу (3) в виде: и подставим её в формулу (2), получим:

; км/с.

Заметим, что все тела внутри спутника будут находиться в состоянии невесомости, так как они движутся с одинаковым ускорением, которое создаётся только силой тяготения. Сила нормальной реакции , следовательно, равен нулю и вес тела.

ЗАДАЧА № II.94 Радиус орбиты Нептуна в 30 раз больше радиуса орбиты Земли. Определить продолжительность года на Нептуне, предварительно показав, что квадраты периодов вращения планет вокруг Солнца относятся как кубы радиусов орбит их вращения.

Дано: км м;

Найти:

Решение

 

Покажем, что квадраты периодов вращения планет вокруг Солнца относятся как кубы радиусов орбит их вращения. Для этого сначала запишем формулу, по которой находится период вращения:

. (1)

Для нахождения скорости , воспользуемся вторым законом Ньютона в скалярной форме:

, (2)

где

. (3)

Движение по круговой орбите происходит под действием только силы тяготения со стороны Земли:

, (4)

где - радиус Земли.

Подставим формулы (3) и (4) в (2), получим:

. (5)

Выразим из равенства (5), скорость , подставим её в формулу (1) и возведём обе части равенства в квадрат, получим:

 

. (6)

Аналогично, найдём период вращения :

. (7)

В формулах (6) и (7) периоды: и соответствуют продолжительности года на Земле и Нептуне: и , а радиусы и , соответствуют радиусам и . С учётом этого и поделив почлено (6) на (7), получим следующее отношение:

. (8)

Выразим продолжительность года на Нептуне из формулы (8):

 

с.

 

ЗАДАЧА № II.95 Наэкваторе воображаемой планеты,имеющей форму шара, тела весят вдвое меньше, чем на полюсах. Найти среднюю плотность вещества планеты, если период вращения вокруг оси 1ч 27,2 мин.

 

Дано: ч мин.

Найти:

Решение

	Рисунок 77 – Тело, расположенное на полюсе и на экваторе.

 

 

На полюсе, согласно второго закона Ньютона (в скалярной форме) (рис.77):

. (1)

, (2)

где - масса планеты. Она может быть найдена через плотность вещества планеты и объём планеты , равный:

(3)

. (4)

Подставим формулы (4), (3) и (2) в формулу (1), получим:

. (5)

Применительно к экватору, второй закон Ньютона в скалярной форме будет иметь вид:

, (6)

где

. (7)

Выразим из формулы (6) и подставим формулу (7), получим:

. (8)

где - угловая скорость, она может быть определена через период вращения :

. (9)

Решая совместно уравнения (9), (8) и (5) и учитывая, что (по условию задачи), получим:

; кг/м³.

ЗАДАЧА № II.96 Найти центробежную силу инерции, действующую на экваторе на тело массой 100 кг. Радиус Земли равен м.

 

Дано: кг;

м.

Найти:

Решение

 

Центробежная сила инерции определяется по формуле:

, (1)

где - радиус Земли.

Угловую скорость вращения Земли, можно определить по формуле:

, (2)

где - период вращения ( ч. с).

Подставим формулу (2) в формулу (1), получим:

; Н.

 

ЗАДАЧА № II.97 Пластинка радиусом 20 см равномерно вращается в горизонтальной плоскости, совершая 33 оборота в минуту. От точки , отстоящей на расстоянии 10 см от оси вращения, строго вдоль прямой со скоростью 10 см/с ползёт жучок (рис. 78). Под каким углом к радиусу пластинки должен ползти жучок, чтобы он смог добраться до края пластинки, не соскользнув с неё. Коэффициент трения жучка о поверхность пластинки равен 0,2.

Дано: (об/мин) об/с;

см м;

см м;

(см/с) м/с;

Найти:

Решение

 

	Рисунок 78 – Перемещение жучка вдоль пластинки

 

Во вращающейся системе на жучка действуют сила Кориолиса и центробежная сила . Равнодействующая этих сил должна уравновешиваться силой трения. Найдём эти силы.

; (1)

 

где - угловая скорость; - масса жучка.

Центробежная сила определяется с.о.:

; . (2)

Сила трения будет равна:

; . (3)

Сравнивая (1), (2) и (3) можно заключить, что самый критический момент соответствует краю пластинки.

Угол , , , .

Равнодействующую сил , найдём, используя теорему косинусов:

 

. (4)

Отсюда

;

; .