I. 1. 5 равнопеременное прямолинейное Движение

Равнопеременное прямолинейное движение является частным случаем неравномерного движения, ускорение при котором остаётся постоянным как по модулю, так и по направлению (.

Среднее ускорение будет равно мгновенному ускорению . Направлено ускорение вдоль траектории точки. Нормальное ускорение при этом отсутствует .

Если направление ускорения совпадает с направлением скорости то, движение называется равноускоренным. Модуль скорости равноускоренного движения точки с течением времени возрастает.

Если направление векторов ускорения и скорости противоположны то, движение называется равнозамедленным. Модуль скорости при равнозамедленном движении точки с течением времени уменьшается.

Изменение скорости в течение промежутка времени при равнопеременном прямолинейном движении равно: , или

На графике это можно будет представить следующим образом (рис.11).

 

	Рисунок 11 – График зависимости скорости от времени

 

На данном графике ускорение характеризуется тангенсом угла между касательной к скорости и осью времени: .

Если в начальный момент времени скорость точки равна (начальная скорость) и ускорение известно, то скорость в произвольный момент времени :

. (I.13)

Проекция вектора скорости на ось прямоугольной декартовой системы координат связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением:

. (I.13^/)

Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси.

Формулы (I.13) и (I.13^/) выражают алгебраическую зависимость скорости от времени и представляют собой первый закон равнопеременного движения. Та же зависимость может быть наглядно представлена графически (рис.12). Будем откладывать на оси абсцисс время , а на оси ординат скорость в соответствующие моменты времени; к первоначальной скорости каждую секунду, прибавляется приращение .

 

	Рисунок 12 – Графическое представление первого закона равнопеременного движения

 

 

Второй закон равнопеременного движения - устанавливает связь между пройденным расстоянием и временем движения (т.е. даёт уравнение этого движения). Получим его графическим методом, используя рисунок 12. Для этого разобьём площадь на узкие полоски и примем площадь каждой из них за площадь прямоугольника; она и выразит путь, пройденный материальной точкой за малый промежуток времени , в течение которого скорость можем принимать постоянной. Составив сумму таких площадей, определим путь, пройденный за время движения . Но сумма этих площадей и будет как раз площадью . Поэтому, выразив эту площадь в функции времени, мы и найдём зависимость от :

. Эта формула устанавливает искомую зависимость пройденного при равнопеременном движении расстояния от времени (второй закон равнопеременного движения):

. (I.14)

При путь равен:

. (I.15)

График зависимости для равноускоренного движения изображён на рисунке 13.

 

При прямолинейном равнозамедленном движении формула пути:

. (I.16)

График зависимости для равнозамедленного движения изображён на рисунке 14.

 

 

	Рисунок 14 - График зависимости для равнозамедленного движения

 

Окончательно два закона равнопеременного движения будут выглядеть следующим образом:

(I.17)

 

Из этих двух законов вытекают некоторые соотношения, имеющие частое применение в задачах и технике.

1. Для равноускоренного движения без начальной скорости (как уже говорилось выше) эти законы упрощаются:

(I.18)

 

2. Исключая время , получаем формулу для нахождения скорости в конце пройденного пути :

. (I.19)

при

. (I.20)

3. Обозначим через расстояния, проходимые в одну, две, три,…секунды; имеем:

; ; ; ;…;

 

; ; ;…;

Расстояния, проходимые в последовательные единицы времени, относятся, как ряд нечётных чисел.

Осталось рассмотреть графики зависимости ускорения от времени при равноускоренном и равнозамедленном движениях.

График при равноускоренном движении представляет собой линию, параллельную оси времени и расположенную выше этой оси (рис.15,а).

График при равнозамедленном движении представляет собой линию, параллельную оси времени и расположенную ниже этой оси (рис.15,б).

 

а)

б)

 

 

	Рисунок 15 – Графики зависимостей : а) при равноускоренном и б) при равнозамедленном движениях.

 

 

 

I.1.6 СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ

Падение тел происходит по законам равнопеременного движения; это было установлено Галилеем при движении шарика по наклонной плоскости и может быть продемонстрировано при помощи машины Атвуда и многих других приборов, которые имеют целью замедлить движение и сделать явление падения легко наблюдаемым.

Свободным падением называется движение, которое совершало бы тело только под действием силы тяжести без учёта сопротивления воздуха.

При свободном падении тела с небольшой высоты от поверхности Земли (, где - радиус Земли) оно движется с постоянным ускорением , направленным по вертикали вниз.

Ускорение называется ускорением свободного падения. Оно одинаково для всех тел и зависит лишь от высоты над уровнем моря и от географической широты.

Величина нормального ускорения свободного падения (т.е. на уровне моря на северной широты) составляет м/с². На полюсах ускорение свободного падения больше ( м/с²), а на экваторе меньше ( м/с²). Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли – с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Различие значений невелико, поэтому ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с².

Законы движения падающего тела, вследствие постоянства (в скалярном виде), имеют вид:

; (I.21)

, (I.22)

где - путь, пройденный телом в свободном падении, к моменту времени .

Применим их к некоторым частным случаям.

1. Свободное падение с высоты . Свободное падение представляет собой частный случай равноускоренного движения при :

; . (I.23)

Скорость, с которой падающее тело достигает поверхности Земли, определяется по формуле:

. (I.24)

 

2. Движение тела, брошенного вертикально вверх (рис.16,а). Тело, брошенное вертикально вверх, движется равнозамедленно с начальной скоростью и ускорением . Для описания этого движения, используют следующие формулы:

 

. (I.25)

. (I.26)

 

. (I.27)

Движение тела, брошенного вертикально вниз (рис.16,б), представляет собой равноускоренное движение с ускорением . Для его описания можно воспользоваться формулами (I.25) - (I.27), поменяв в них знак «-» на «+».

Тело, брошенное вертикально вверх, достигает максимальной высоты в тот момент, когда его скорость обращается в нуль:

. (I.28)

А из формулы (I.26) найдём время подъёма тела на максимальную высоту:

. (I.29)

 

3. Движение тела, брошенного горизонтально. Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой комбинацию двух движений, взаимно перпендикулярных друг другу:

q горизонтального (равномерного) движения;

q вертикального (свободного падения).

Если построить траекторию движения тела, брошенного горизонтально, в системе координат , то координаты каждой точки траектории представляют собой перемещения тела в горизонтальном направлении (движение с постоянной скоростью ) и в вертикальном направлении (равноускоренное движение с ускорением ) (рис.16, в):

; . (I.30)

	Рисунок 16 – в) движение тела, брошенного горизонтально

 

Подставив во второе уравнение (I.30), получим уравнение траектории тела, брошенного горизонтально:

. (I.31)

Так как и - постоянные величины, то , т.е. траектория движения представляет собой параболу.

	Рисунок 17 – Направление вектора результирующего перемещения

 

Положение каждой точки траектории можно задать вектором положения (рис.17), который представляет собой результирующее перемещение: , или

(I.32)

	Рисунок 18 – Направление вектора мгновенной скорости

 

 

Вектор мгновенной скорости в каждой точке траектории является результирующей мгновенных скоростей этих движений (рис.18):

 

. (I.33)

Модуль вектора (I.33) запишется как:

. (I.34)

 

4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой комбинацию двух поступательных движений:

q свободного падения в вертикальном направлении;

q равномерного прямолинейного движения под углом к горизонту.

 

	Рисунок 19 – Движение тела, брошенного под углом к горизонту

 

На рисунке 19 представлена траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Перемещение тела к моменту времени в горизонтальном и вертикальном направлениях будет определяться следующим образом:

 

, (I.35)

 

. (I.36)

 

В наивысшей точке подъёма: . Тогда уравнение (I.26) для скорости будет иметь вид: , где -время подъёма на максимальную величину:

 

. (I.37)

Для нахождения общего времени движения, рассмотрим точку . В этой точке: ; . Тогда уравнение (I.25), перепишется в виде:

, где - общее время движения. Выразим его:

. (I.38)

Максимальная высота подъёма определится по формуле:

. Подставим сюда выражение (I.37), получим:

. (I.39)

 

Дальность броска определяется по формуле (I.35):

 

. Подставив выражение (I.38), получим:

 

. (I.40)

 

На что необходимо обратить внимание:

q Сопротивление воздуха не учитывалось.

q При постоянной начальной скорости дальность броска зависит от угла.

 

Из формулы (I.40) следует, что она максимальна при , так как . При значениях и дальность броска будет меньше.