Тема 1.9. Простейшие движения твердого тела

Иметь представление о поступательном движении, его осо­бенностях и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах.

Знать формулы для определения параметров поступательного и вращательного движений тела.

Уметь определять кинематические параметры тела при по­ступательном и вращательном движениях, определять парамет­ры любой точки тела.

Поступательное движение

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается парал­лельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2).

При поступательном движении все точки тела движутся одина­ково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы. Поэтому для описания движения тела можно рассматривать движение одной его точки, обычно центра масс.

Поступательное движение может быть прямолинейным и кри­волинейным.

 

Вращательное движение

 

При вращательном движении все точки тела описывают окруж­ности вокруг общей неподвижной оси.

Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

При этом каждая точка движется по окружности, радиус кото­рой равен расстоянию точки до оси вращения. Точки на оси враще­ния не перемещаются.

Для описания вращательного движения тела вокруг неподвиж­ной оси можно использовать только угловые параметры (рис. 11.3):

φ — угол поворота тела, [ φ ] = рад;

ω — угловая скорость, определяет изменение угла поворота в единицу времени, [ω] = рад/с.

 

Для определения положения тела в любой момент времени используется уравнение φ = f(t).

Следовательно, для определения угловой скорости можно пользоваться выражением

ω = dφ/dt.

Иногда для оценки быстроты вра­щения используют угловую частоту вращения п, которая оценивается в обо­ротах в минуту.

Угловая скорость и частота враще­ния физически близкие величины:

 

Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением ε, [ε] = рад/с²;

Частные случаи вращательного движения

Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):

ω = const.

Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид:

φ = φ₀ + ωt.

где φ₀ – угол поворота до начала отсчёта.

Кинематические графики для этого вида движения изображены на рис. 11.4.

 

 

Равнопеременное вращение (угловое ускорение постоянно):

ε = const.

Уравнение (закон) равнопеременного вращения

гдеω₀ — начальная угловая скорость.

 

Угловое ускорение при ускоренном движении — величина поло­жительная, угловая скорость будет все время возрастать.

 

Угловое ускорение при замедленном движении — величина от­рицательная; угловая скорость убывает.

Для данного движения кинематические графики представлены на рис. 11.5.

 

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

 

Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки А, расположенной на расстоянии r _а от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).

Путь точки A: S_A = ωr_А

Линейная скорость точки A: v_A = ωr_А

Ускорения точки A: a_tA = ε r_А — касательное;

а_пA = ω² r_А — нормальное, где r_А — радиус окружности, траектории точки А.

Примеры решения задач

Пример 1. По заданному графику угловой скорости (рис.11.8)определить вид вращательного движения.

 

Решение

1. Участок 1 — неравномерное ускоренное движение,

ω = φ^/; е = ω^/.

 

2. Участок 2 — скорость постоянна — движение равномерное, ω = const.

3. Участок 3 — скорость убывает равномерно — равнозамедленное движение, е = ω^/ < 0.

 

Пример 2. Ротор электродвигателя вращается со скоростью, описываемой уравнением

ω = πt.

Определить вид движения.

Решение

1. Анализируем выражение для скорости: скорость меняется и зависит от времени линейно. Следовательно, угловое ускорение — постоянно, е = ω' = 2π = const.

2. Движение равнопеременное (равноускоренное, т.к. ускорение положительно).

Пример 3. Тело вращалось равноускорено из состояния покоя и сделало 360 оборотов за 2 мин. Определить угловое ускорение.

Решение

1. Один оборот равен 2π радиан. Следовательно:

360 оборотов = 720 π рад, φ = 720 π рад.

2.

Закон равнопеременного вращательного движения

Пример 4. Тело вращалось с угловой частотой 1200 об/мин. Затем движение стало равнозамедленным, и за 30 секунд скорость упала до 900 об/мин. Определить число оборотов тела за это время и время до полной остановки. Использовать пункт 1 примера 3.

Решение

1. Построить график изменения скорости за 30 с (рис. 11.9).

 

Определяем угловую скорость вращения тела:

 

Определяем угловое ускорение:

 

Определяем угол поворота за прошедшее время:

Число оборотов за 30 с:

2. Определяем время до полной остановки.

Скорость при остановке равна нулю, ω = 0.

Таким образом, ω = ω₀ + et 0 = ω₀ + et

Тогда t_0CT = -ω₀/ε t_ocr = 40π*3/π = 120 c.

Пример 5. Маховое колесо вращается равномерно со скоро­стью 120 об/мин (рис. 11.10). Радиус колеса 0,3 м. Определить ско­рость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии 0,15 м от центра.

 

Решение

Касательное ускорение точки A a _tA = 0; нормальное ускорение точки А а_nA = ω²r_A

а_пA = (12,56)² • 0,3 = 47,3м/с². 5. Полное ускорение точек на ободе колеса

 

Пример 6. Точка начала двигаться равноускорено по прямой из состояния покоя и через 25 с ее скорость стала равна 50 м/с. С этого момента точка начала равнозамедленное движение по дуге окружности радиуса г = 200 м и через 20 с ее скорость снизилась до 10 м/с. После этого точка продолжила свое движение с этой скоростью по прямой и через 5 с внезапно остановилась.

Определить: 1) среднюю скорость точки на всем пути;

2) полное ускорение точки через 10 с после начала ее равнозамедленного движе­ния по окружности.

Решение

 

1. Представим траекторию движения точки, как пока­зано на рис. 5. Весь путь, пройденный точкой, разбиваем на участки равноускоренного (по отрезку АВ), равнозамедленного (по дуге ВС) и равномерного (по отрезку CD) движения.

2. Рассмотрим движения точки по отрезку АВ:

3. Рассмотрим движение точки по дуге ВС:

4. Рассмотрим движение точки на отрезке CD:

5. Определим среднюю скорость точки на всем пути по траектории движения ABCD (см. рис. 5):

t_ABCD = t_AB + t_BC + t_CD = 25 + 20 + 5 = 50 c

6. Определим значение полного ускорения точки через 5 с после начала равнозамедленного движения (см. положение К на рис. 5)

Полное ускорение

 

Пример 7. Тело начало вращаться из состояния покоя и через 15 с его угловая скорость достигла 30 рад/с. С этой угловой скоростью тело вращалось 10 с равномерно, а затем стало вращаться равнозамедленно в течение 5 с до полной остановки.

Определить:

1) число оборотов и среднюю угловую скорость тела за все время вращения;

2) окружную скорость точек тела, расположен­ных на расстоянии r = 0,5 м от оси вращения тела через 5 с после начала движения.

Решение

 

1. Разграничим вращательное движение данного тела на участки равноускоренного, равномерного и равнозамедленного дви­жения. Определим параметры вращательного движения тела по этим участкам.

2. Равноускоренное вращение (участок 1):

3. Равномерное вращение (участок II):

4. Равнозамедленное вращение (участок III):

5. Определим полное число оборотов тела за все время вращения:

 

6. Определим среднюю угловую скорость тела за все время враще­ния:

 

7. Определим окружную скорость точек тела, расположенных на расстоянии r = 0,5 м от оси вращения через 5 с после начала движения тела:

 

 

Пример 8. Диск радиусом R = 2 м вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению

(φ — в радианах, t — в секундах). Определить скорость и ускорение точки поверхности диска в моменты времени t₁ = 0 и t₂ = 2 с.

Решение

 

Для определения скорости и ускорения точки необходимо знать угловую скорость и угловое ускорение диска.

Уравнение изменения угловой скорости диска:

Уравнение изменения углового ускорения диска:

Определим угловую скорость и угловое ускорение диска в моменты времени t₁ = 0 и t₂ = 2 с:

 

Определим скорость точки поверхности диска в ука­занные моменты времени:

Определим нормальное и касательное ускорения точки поверхности диска в моменты времени t₁ и t₂:

 

Тогда

 

Пример 9. Точка А, лежащая на ободе равно­мерно вращающегося шкива, движется со скоростью v = 2 м/с и нормальным ускоре­нием а_п = 5 м/с². Определить ра­диус шкива OA и величину угло­вой скорости (рис. 1.46).

Решение

 

Здесь для решения следует воспользоваться известны­ми соотношениями для линейной скорости и нормального ускорения точек вращающегося тела:

Если второе уравнение разделить на первое, найдем угловую скорость вращения шкива:

Тогда

 

Пример 10. Шарик А (рис. 1.47), подвешенный на стержне OA, колеблется в вертикальной плоскости около неподвижной горизонтальной оси О согласно уравнению

(φ — в радианах, t — в секундах).

Определить:

1. Ближайшие моменты времени, соответствующие максимальным отклонениям стержня OA от вертикали OC вправо и влево, а также значение максимальных углов отклонения.

2. Ближайший момент времени после начала движе­ния, при котором нормальное ускорение шарика равно нулю.

3. Ближайший момент времени, при котором касатель­ное ускорение шарика равно нулю.

4. Полное ускорение шарика при t = 1,5 с и угол, образованный вектором ускорения со стержнем OA.

Решение

 

Стер­жень OA совершает вращательное (коле­бательное) движение. Максимальные углы отклонения стержня от вертикали соот­ветствуют наиболь­шим абсолютным значениям функции sin (πt/6). Очевидно, это имеет место при sin (πt/6) = ± 1:

При t₁ = 3 с φ_тах = π /4, при t₂ = 9 с φ_тах = -- π/4.

Крайние положения стержня OA на рис. 1.47 пока­заны штриховыми линиями OA₁ и ОА₂.

Напомним, что за положительное направление считаем вращение по часовой стрелке.

Уравнение изменения угловой скорости стержня OA

Уравнение изменения углового ускорения стержня OA

Направления ω и ε показаны на рис. 1.47. В приве­денном примере направления ω и ε противоположны. Следовательно, стержень OA совершает замедленное вра­щательное движение.

Нормальное и касательное ускорения шарика опреде­ляются по формулам:

В рассматриваемом примере касательное ускорение шари­ка направлено к точке С (рис. 1.47).

Определим момент времени, при котором а_п равно нулю. Для этого выражение а_п приравняем нулю:

Записанное условие выполняется при

но

Тогда

Нормальное ускорение шарика равно нулю, когда стержень OA занимает крайние положения.

Определим момент времени, при котором a_t равно нулю. Для этого выражение a_t приравняем нулю:

Это условие выполняется при

Касательное ускорение шарика обращается в ноль в тот момент, когда стержень OA совпадает с линией OC. Вычислим а_n и a_t при t = 1,5 с:

Ускорение шарика при t = 1,5 с

 

Угол между вектором ускорения шарика и стержнем OA определяется из соотношения

Откуда

 

Пример 11. Через 30 с равномерного вращательного движения с частотой n ₀ = 600 об/мин тело начало равнозамедленное движение и в течение последую­щих 20 с частота вращения тела уменьшилась до n = 450 об/мин.

Определить угловое ускорение тела при равнозамедленном вращательном движении, а также количество оборотов тела за время равномерного и равнозамедленного движения.

Решение

 

1. Переведем начальную и конечную частоты вращения тела в еди­ницы угловой скорости:

2. За время t₁ = 30 с тело, вращаясь равномерно с угловой скоростью ω₀ = 20π рад/с, повернулось на угол

3. По формуле угловое ускорение, с которым тело вращалось в те­чение времени t₂ = 20 с

 

4. За время равнозамедленного движения тело повернулось на угол

 

 

5. За весь промежуток времени t₁ + t₂ = 50 с тело повернулось на угол

 

следовательно, тело сделало

Для определения количества оборотов, сделанных телом, можно было частоту вращения и не переводить в единицы угловой скорости. За время t₁ = 30 с = 0,5 мин при равномерном движении тело сделало

За время t₂ = 20 с = 1/3 мин при равнозамедленном вращении тело сделало

 

Всего

 

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Какими кинематическими параметрами характеризуется по­ступательное движение и почему?

2. Запишите уравнение равномерного поступательного движе­ния твердого тела.

3. Запишите уравнение равнопеременного поступательного дви­жения твердого тела.

4. Запишите уравнения равномерного и равнопеременного вра­щательного движений твердого тела.

5. Задано уравнение движения тела S = f(t). Как определяют скорость и ускорение?

6. Для заданного закона (уравнения) движения

φ = 6,28 + 12 t + 3 t ² выберите соответствующий кинематический график движения (рис. 11.11).

 

7. Для движения, закон которого задан в вопросе 6, определите угловое ускорение в момент t = 5 с.