Пространственная сходящаяся система сил

Пространственная сходящаяся система сил — система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересекают­ся в одной точке.

Равнодействующую пространственной системы сил можно опре­делить, построив пространственный многоугольник (рис. 7.3),

Доказано, что равнодействующая системы сходящихся сил при­ложена в точке пересечения линий действия сил системы.

Модуль равнодействующей пространственной системы сходя­щихся сил можно определить аналитически, использовав метод про­екций.

Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий дей­ствия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и сум­мируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:

 

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле

Направление вектора равнодействующей определяется углами

Произвольная пространственная система сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О.

Дана пространственная система сил (рис. 7.5, а). Приведем ее к центру О.

Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.

В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) F_ГЛ (рис. 7.5, б).

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы М_гл (главный момент).

Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.

 

Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5, в).

Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.

Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.5б) равно

Абсолютное значение главного момента определяется по форму­ле.

 

Уравнения равновесия пространственной системы сил

При равновесии F _гл = 0; М_гл = 0. Получаем шесть уравнений равновесия:

Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил со­ответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.

Примеры решения задач

 

Пример 1. На тело в форме куба с ребром а = 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

 

Решение

1. Моменты сил относительно оси Ох:

 

2. Моменты сил относительно оси Оу.

 

 

Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, г₁ = 0,4 м; г₂ = 0,8 м. Остальные размеры — на рис. 7.7. К коле­су 1 приложена сила F₁, к колесу 2 — силы F₂ = 12 кН, F₃ = 4кН.

Определить силу F₁ и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.

Напомним:

1. При равновесии выполняются шесть урав­нений равновесия.

Уравнения моментов следует составлять относи­тельно опор А и В.

2. Силы F ₂ \\O x; F ₂\\Oy; F ₃\\Oy.

Моменты этих сил относительно соответству­ющих осей равны нулю.

3. Расчет следует завершить проверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.

Решение

1. Определяем силу F\, составив уравнение моментов сил отно­сительно оси Oz:

2. Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две со­ставляющие реакции (Y_A; X_A).

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох' (в опоре В).

Поворот вокруг оси Ох' не происходит:

 

 

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противополож­ную сторону.

Поворот вокруг оси Оу' не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу' (в опоре В):

 

3.Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две со­ставляющие реакции (X_B, Y_B). Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох (опора А):

Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):

 

4.Проверка. Используем уравнения проекций:

 

 

Расчёт выполнен верно.

 

Пример 3. Определить численное значение силы P₁, при котором вал ВС (рис. 1.21, а) будет находиться в равновесии. При найденном значении силы Р₁ определить опорные реакции.

Действующие на зубчатые колеса силы Р и Р₁ направлены по касательным к на­чальным окружно­стям колес; силы Т и Т₁ — по радиусам колес; силы А₁ па­раллельны оси вала. Т = 0,36Р, 7Т₁ = Р₁; А₁ = 0,12P₁.

Решение

 

Опоры вала, изображенные на рис. 1.21, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие линейным перемеще­ниям в направлениях осей и и v (выбранная система координат показана на рис. 1.21, б).

Освобождаем вал от связей и заменяем их действие реакциями V_В, Н_В, V_C, Н_С (рис. 1.21, б). Получили прост­ранственную систему сил, для которой составляем урав­нения равновесия, пользуясь выбранной системой коор­динат (рис. 1.21,6):

где А₁ *1,25D/2 — момент относительно оси и силы A₁, приложенной к правому зубчатому колесу.

Моменты относительно оси и сил Т₁ и А₁ (приложен­ных к среднему зубчатому колесу), Р₁ (приложенной к правому зубчатому колесу) и Р равны нулю, так как силы Р, T₁, Р₁ параллельны оси и, а сила А₁ пересекает ось и.

откуда V_С = 0,37P;

или

откуда V_B=0,37P.

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции V_B и V_С определены верно;

где А₁* 1 ,25D/2 — момент относительно оси v силы А₁, приложенной к среднему зубчатому колесу.

Моменты относительно оси v сил Т, Р₁ (приложенной к среднему зубчатому колесу), А₁ и Т₁ (приложенных к правому зубчатому колесу) равны нулю, так как силы Т, Р₁, Т₁ параллельны оси v, сила А₁ пересекает ось v.

откуда H_C = 0,81Р;

или

откуда H_С = 1,274Р

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции Н_В и Н_С определены верно.

В заключение отметим, что опорные реакции получи­лись со знаком плюс. Это указывает на то, что выбран­ные направления V_B, Н_В, V_C и Н_С совпадают с действи­тельными направлениями реакций связей.

Пример 4. Сила давления шатуна парового дви­гателя Р = 25 кН передается на середину шейки колен­чатого вала в точке D под углом α = 30° к горизонту при вертикальном расположении щек колена (рис. 1.22). На конец вала насажен шкив ременной передачи. Натя­жение ведущей ветви ремня в два раза больше, чем ведомой, т.е. S₁ = 2S₂. Сила тяжести маховика G = 10 кН.

Определить натяжения ветвей ременной передачи и реакции подшипников А и В, пренебрегая массой вала.

 

Решение

 

Рассматриваем равновесие горизонтального коленчатого вала со шкивом. Прикладываем в соответ­ствии с условием задачи заданные силы Р, S₁, S₂ и G. Освобождаем вал от опорных закреплений и заменяем их действие реакциями V_A, Н_А, V_B и Н_В. Координатные оси выбираем так, как показано на рис. 1.22. В шарнирах А и В не возникает реакций вдоль оси w, так как натя­жение ветвей ремня и все остальные силы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

Составим уравнения равновесия:

Кроме того, по условию задачи имеем еще одно уравне­ние

Таким образом, здесь имеется шесть неизвестных уси­лий S_1, S₂, Н_А, V_A, Н_В и V_B и шесть связывающих их уравнений.

Уравнение проекций на ось w в рассматриваемом примере обращается в тождество 0 = 0, так как все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси w.

Подставляя в уравнения равновесия S₁=2S₂ и решая их, находим:

 

Значение реакции Н_В получилось со знаком минус. Это значит, что в действительности ее направление про­тивоположно принятому на рис. 1.22.

Контрольные вопросы и задания

 

1. Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил.

2. Запишите формулу для расчета главного вектора простран­ственной системы произвольно расположенных сил.

3. Запишите формулу для расчета главного момента простран­ственной системы сил.

4. Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.

5. Какое из уравнений равновесия нужно использовать для опре­деления реакции стержня R₁ (рис. 7.8)?

 

6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка приведения — начало координат. Координатные оси совпадают с реб­рами куба, ребро куба равно 20 см; F ₁ — 20кН; F ₂ — 30кН.

7. Определите реакцию Хв (рис. 7.10). Вертикальная ось со шки­вом нагружена двумя горизонтальными силами. Силы F₁ и F₂ па­раллельны оси Ох. АО = 0,3 м; ОВ = 0,5 м; F₁ = 2кН; F₂ = 3,5 кН.

Рекомендация. Составить уравнение моментов относительно оси Оу' в точке А.

8. Ответьте на вопросы тестового задания.